6初中数学.二次函数解析式的确定.第06讲

模块一  平移的方法确定函数的解析式

1. 将平移前的函数化成的形式，在根据顶点的平移情况确定函数的平移情况．
2. 平移前后的函数的开口方向与开口大小不改变，即不变。
3. 对于函数向左或向右平移个单位，其解析式变为，其中向左为“”，向右为“”。

【例1】         将抛物线向左平移4个单位，求此时抛物线的解析式？

【难度】1星

【解析】将抛物线的解析式化成顶点式再平移，本题也可用知识点3来实现。

【答案】方法一：

        将抛物线向左平移4个单位得

方法二：

【巩固】将抛物线向下平移2个单位，求此时抛物线的解析式？

【难度】1星

【解析】将抛物线的解析式化成顶点式再平移

【答案】

        将抛物线向下平移2个单位得

【例2】         把抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为，求原来抛物线的解析式。

【难度】2星

【解析】本题应采用逆向思维平移抛物线求解，可以简化求解的过程。

【答案】将抛物线先向上平移6个单位得

       再将抛物线向左平移4个单位，得

       所以，原来抛物线的解析式为

【例3】         怎样平移抛物线，才能使它经过点和两点？

【难度】3星

【解析】本题主要讨论图象平移是状况，与平移的先后顺序无关。本题需要设解析式，运用方程的思想来解题。

【答案】设将抛物线平移后，所得抛物线的解析式为

        因为过点，

        解得

        所以原抛物线的解析式为

【巩固】把抛物线沿轴向上或向下平移后所得抛物线经过点，求平移后的抛物线的解析式。

【难度】2星

【解析】本题难度不大，孩子只要细心计算就行。

【答案】设平移后的解析式为，

        因为抛物线过点

        所以，解得

        所以平移后抛物线的解析式为

模块二  一般式

1. 任何二次函数都可以整理成一般式的形式
2. 如果已知二次函数的图象上的三点坐标，可用一般式求解二次函数解析式

【例4】         已知已知一个二次函数过、、三点，求二次函数的解析式

【难度】2星 

【解析】设成二次函数的一般式，用待定系数法解题。

【答案】设二次函数的解析式为：，

  ∵函数图象经过、、三点，

  ∴，

解此方程组得：．

  ∴二次函数的解析式为．

【巩固】已知图象经过点（0，3），（，0），（2，），且与轴交于A、B两点．

（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点是否在这个图象上？如果在，请求出面积；如果不在，试说明理由．

【难度】2星

【解析】运用待定系数法求二次函数解析式，并研究二次函数图象上点的坐标特征。

【答案】：（1）设二次函数的解析式为；

∵二次函数的图象经过点（0，3），（，0），（2，），则有：

解得

∴

（2）∵当时，

∴点在这个二次函数的图象上

∵-

∴

∴与x轴的交点为：（，0），（1，0）

∴

【例5】         已知图象分别经过点，，．求：

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的最值。

【难度】2星

【解析】已知任意三点，用待定系数的方法求解析式，本题由于已经给出解析式，所以解题时不用再设。之后，根据函数图象的特点求极值。

【答案】（1）依题意得

        解得

       二次函数的解析式为

      （2）

所以抛物线开口向下，函数有最大值

       当时，函数有最大值4

【巩固】已知图象经过，,三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当为何值时，；

【难度】2星

【解析】已知任意三点，用待定系数的方法求解析式。根据函数的图象找出时函数自变量的取值范围。

【答案】（1）依题意得

解得

∴抛物线的解析式为：

（2）∵A（2，3），B（0，3），

∴当时，

模块三  顶点式

1. 任何二次函数的解析式经过配方都可以整理成的形式，这叫做二次函数的顶点式。为抛物线的顶点坐标。
2. 已知二次函数的顶点和图象上的任意一点，都可以用顶点式来确定解析式。
3. 对于任意的二次函数，都可配方为的形式。

【例6】         已知：二次函数的顶点为，且过点，求该二次函数的解析式．

【难度】1星

【解析】待定系数法用顶点式确定二次函数的解析式。

【答案】设此二次函数的解析式为

∵其图象经过点，

∴

∴

∴

【巩固】已知顶点坐标为，且其图象经过点，求此二次函数的解析式

【难度】1星

【解析】待定系数法用顶点式确定二次函数的解析式。

【答案】设此二次函数的解析式为

∵其图象经过点，

∴

∴

∴

【巩固】已知二次函数的图象的顶点坐标为且图象经过原点，求这个二次函数的解析式。

【难度】1星

【解析】待定系数法用顶点式确定二次函数的解析式。

【答案】设此二次函数的解析式为

∵其图象经过原点

∴

∴

∴

模块四  交点式

1. 交点式：，其中为二次函数图象与轴的交点的两个横坐标。
2. 已知二次函数与轴的交点坐标，和图象上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式。
3. 已知二次函数与轴的交点坐标，可知二次函数的对称轴为。
4. 根据二次函数的对称性可知，对于函数图象上的两点，如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为。
5. 对于任意的二次函数，当时，利用求根公式可得，，可知
6. 对称式：。当抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式．

【例7】         已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的解析式。

【难度】1星

【解析】待定系数法用交点式确定二次函数的解析式。本题虽然已经给了一般式，但用交点式解题会更加简便，建议学生用交点式解题。

【答案】设二次函数的解析式为

        将点代入

        得，

       二次函数的解析式为

【巩固】已知二次函数的图象经过，和三点，求这个二次函数的解析式

【难度】1星

【解析】待定系数法用交点式确定二次函数的解析式

【答案】设二次函数的解析式为

        将点代入

        得，

       二次函数的解析式为

【例8】         二次函数的图象与轴的交点坐标是，，且函数有最小值，求二次函数的解析式。

【难度】2星

【解析】待定系数法用交点式确定二次函数的解析式，同时要根据与轴的交点是关于对称轴对称的特性推出函数的对称轴，从而推出函数图象上的第三点顶点的坐标。

【答案】设

       根据题意，点在抛物线上

        得，

       二次函数的解析式为

【例9】         当时，二次函数取最大值1，且图象与轴两交点之间的距离为2，求这个二次函数解析式。

【难度】3星

【解析】根据题意需要推出二次函数顶点坐标和对称轴，以及二次函数与轴的两个交点的坐标

【答案】因为当时，函数有最大值1

        所以抛物线的顶点坐标为

        所以抛物线的对称轴为

        因为图象与轴的两个交点之间的距离为2

        所以图象与轴的两个交点的坐标为

        设此二次函数的解析式为

        将点代入

        得，解得

        所以二次函数的解析式为

模块五  几种解析式的综合运用

1．   根据已知条件的不同要选择不同的解析式设法。

2．   三种形式是可以互相转化的。

【例10】     已知一个二次函数过、、三点，求二次函数的解析式。

【难度】1星

【解析】二次函数解析式的确定。本题用三种解析式都能够求解，希望学生通过本题可以理解选择不同的方法解题的难度不同。同时可以理解三种解析式的形式之间是可以相互转化的。

【答案】解法一：设一般式

  设此二次函数解析式为：，

  由已知得：，解得

  ∴此二次函数的解析式为．

  解法二：设顶点式

  ∵抛物线经过、，

  ∴抛物线的对称轴为．

  设抛物线的解析式为：，

  将、代入得：，解得，

  ∴抛物线的解析式为，化为一般式为：．

  解法三：设对称点式

  ∵抛物线经过、，

  ∴设抛物线的解析式为：．

  将代入得：，解得，

  ∴抛物线的解析式为，

  化为一般式得．

【巩固】已知二次函数的对称轴为，且经过点、，求二次函数的解析式．

【难度】2星

【解析】二次函数解析式的确定。

【答案】解法一：设交点式

  ∵二次函数的对称轴为，且经过点，

  ∴二次函数与轴的另一个交点坐标是，

  设二次函数的解析式为：，即：，

  又∵图象经过点，

  ∴，即：，

  ∴．

  ∴二次函数的解析式为．

  化为一般式得．

  解法二：设顶点式

  ∵抛物线的对称轴为，

  ∴设二次函数的解析式为：，

  又∵抛物线经过点、，

  ∴有方程组：，即：，

  解方程组得：，

  ∴所求二次函数的解析式为，

  化为一般式得．

  解法三：设一般式

  根据题设可得：，解此方程组得：，

  ∴所求二次函数的解析式为．

【例11】     已知二次函数过点，且顶点为，求函数解析式．

【难度】1星

【解析】二次函数解析式的确定。本题用顶点式最方便。

【答案】设二次函数的解析式为：，

  ∵二次函数过点，

  ∴，即：．

  ∴．

  ∴二次函数的解析式为，

  化为一般式得．

【例12】     已知一条抛物线的形状和相同且对称轴为，抛物线与轴交于一点，求函数解析式．

【难度】2星

【解析】本题需要认真梳理已知条件，用顶点式比较简便。但由于函数只说与的形状相同，并没有说明图象的开口方向，所以需要分类讨论。

【答案】设函数的解析式为：或，

  将代入和，

  解得，，

  ∴所求抛物线的解析式为或，

  化为一般式得或．

【巩固】已知一抛物线的形状与的形状相同．它的对称轴为，它与轴的两交点之间的距离为，则此抛物线的解析式为？

【难度】2星

【解析】本题需要认真梳理已知条件，用交点式比较简便。由于没有说明图象的开口方向，所以需要分类讨论。

【答案】设所求抛物线的解析式为：，

  ∵所求抛物线的对称轴为，且它与轴的两交点之间的距离为，

  ∴它与轴的两交点的坐标为和．

  ∴．

  又∵所求抛物线的形状与的形状相同，

  ∴，即：．

  ∴所求抛物线的解析式为：或，

  化为一般式得或．

1．   已知二次函数

（1）求证：不论为任何实数，此二次函数的图象与轴都有两个交点；

（2）当二次函数的图象经过点时，确定的值，并写出此二次函数的解析式。

【难度】2星

【解析】考查函数图象与轴有无交点的特性以及求函数解析式。要证明二次函数的图象与轴有两个交点，证明二次函数的判别式是正数即可。

【答案】（1）∵二次函数，

∴

而

∴

∴二次函数的图象与x轴都有两个交点；

（2）∵二次函数的图象经过点（3，6），

∴，

∴

∴

2．   已知：二次函数，其图象对称轴为直线，且经过点,求此二次函数的解析式．

【难度】2星

【解析】利用待定系数法，列对称轴方程和将点代入来解题。

【答案】由已知条件得

        解得

       此二次函数的解析式为

3．   已知二次函数的图象经过 （，3）、（1，3）、（2，6）三点．

（1）求二次函数的解析式

（2）写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标．

【难度】2星

【解析】本题可以用一般式求解，但用对称点式会更加的方便。

【答案】（1）设函数的解析式为

        将点（2，6）代入

        解得

        所以函数的解析式为

       （2）由（1）知，抛物线对称轴为轴，顶点为

4．   已知二次函数图象的对称轴平行于轴，顶点为，且与直线相交于，试求：

（1）二次函数的解析式；

（2）的值；

（3）该二次函数的图象与直线的另一交点的坐标．

【难度】2星

【解析】本题可以用顶点式比较简便。

【答案】（1） 因为二次函数图象的顶点为，对称轴平行于轴，所以，可令此二次函数的解析式为．

又点在二次函数的图象上，则有

，

得．

故所求的二次函数解析式为

．

（2）由题意知点在直线上，则．

得．

（3） 根据题意有

，

即，

得或．

所以时，；时，．

故二次函数的图象与直线的另一交点的坐标为

5．   设二次函数满足条件；，，且其图象在轴上所截得的线段长．求这个二次函数的解析式。

【难度】3星

【解析】本题一方面学生要理解的表示，另一方面要会应用在轴上截取线段的应用。

【答案】由，，得

即

因此．

设图象与轴的交点坐标为，，则

，

整理得，

则或．

所以，

或者．

6．   （1）设抛物线，把它向右平移个单位，或向下移个单位，都能使抛物线与直线恰好有一个交点，求、的值．

（2）把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，则得到的抛物线经过点和，求、的值．

【难度】2星

【解析】考查函数平移确定函数的解析式。

【答案】⑴ 抛物线向右平移个单位后，得到．由

得方程，

即．

因为抛物线与直线恰好有一个交点，所以上述方程有两个相同的实数根，故判别式

，

得，

这时的交点为．

抛物线向下平移个单位，得到抛物线，于是得方程

，

即，

该方程有两个相同的实数根，故判别式

，

得，

这时的交点为．

⑵ 把向左平移个单位，向上平移个单位，得到的抛物线为．于是，由题设得．

解得

即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1．   将抛物线向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______       .

【难度】1星

【解析】考查通过平移确定二次函数的解析式．

【答案】

2．   （2011湖南怀化）已知：关于的方程

（1）       当取何值时，二次函数的对称轴是；

（2）       求证：取任何实数时，方程总有实数根.

【难度】2星

【解析】考查二次函数的对称轴的性质，以及函数图象与坐标轴交点的情况．

【答案】(1)解：∵二次函数的对称轴是

∴

解得

经检验是原分式方程的解.

所以时，二次函数的对称轴是；

（2）1）当时，原方程变为，方程的解为；

      2）当时，原方程为一元二次方程，，

当时，方程总有实数根

∴

整理得，

∵时  总成立

所以取任何实数时，方程总有实数根.

3．   如图，已知二次函数的图象经过,两点。

（1）求这个二次函数的解析式

（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，连结、，求的面积

【难度】2星

【解析】考查二次函数解析式的确定，并根据图象确定点从而求面积．

【答案】（1）把，代入

得解析式为

（2）∵该抛物线对称轴为直线

∴点C的坐标为（4，0）

∴

∴

4．   如图, 已知抛物线与轴相交于，与轴相交于、，点的坐标为，点的坐标为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是线段上一动点，过点作轴于点，连结，当的面积最大时，求点的坐标。

【难度】2星

【解析】考查二次函数解析式的确定，并根据图象确定点从而求面积．

【答案】（1）∵二次函数的图象经过点，

∴

 解得：

∴二次函数的解析式为

（2）设点的坐标为

∴ ，  ∴

由∽得，

∴

∴

∴

当时，的面积最大

∴点的坐标为

5．   已知二次函数的图象过，且与直线相交于、两点，点在轴上，点在轴上。

（1）求二次函数的解析式

（2）如果是线段上的动点，为坐标原点，试求的面积与之间的函数关系式，并求自变量的取值范围。

【难度】2星

【解析】考查二次函数解析式的确定．

【答案】（1）由题意知，，

        因为抛物线过A、B、C三点，建立方程组

        解得

        抛物线的解析式为

       （2）

6．   把抛物线向左平移个单位，向下移个单位后，所得抛物线为，其图象经过点，求原解析式

【难度】2星

【解析】考查函数平移确定函数的解析式。

【答案】首先，抛物线经过点，可求得，设原来的二次函数为

，

可得

解得

所以原二次函数为，

即．