7初中数学.二次函数图象的几何变换.第07讲

模块一  二次函数的平移

1. 几种二次函数解析式之间的平移关系：

①         函数的图象可以看做是由函数的图象向上或向下平移个单位得到的；时，向上平移；时，向下平移。

②         函数的图象可以看做是由函数的图象向左或向右平移个单位得到的；时，向右平移；时，向左平移。

③         函数的图象可以看做是由函数的图象先向左或向右平移个单位，再向上或向下平移个单位得到的；当时，向右平移，当时，向左平移；时，向上平移，时，向下平移。

2. 将二次函数，向左平移个单位，函数解析式变为；向右平移个单位，函数解析式变为。
3. 将二次函数，向上平移个单位，函数解析式变为；向下平移个单位，函数解析式变为。
4. 通常，将平移前的函数化成的形式，在根据顶点的平移情况确定函数的平移情况，再将顶点式整理成一般式。
5. 平移前后的的函数的开口方向与开口大小不改变，即不变。

【例1】         将二次函数的图象平移后，可得到二次函数的图象，平移的方法是（　  　）

A．向上平移1个单位

B．向下平移1个单位

C．向左平移1个单位

D．向右平移1个单位

【难度】1星

【解析】考查函数与函数之间的平移关系，可以根据解析式之间的性质考虑，也可以用顶点的变化情况来考虑。

【答案】C

【巩固】（2008 泰州）二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是（　  　）

A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位

C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

【难度】2星

【解析】将抛物线的解析式化成顶点式再平移，考查了学生将一般式化成顶点式的能力

【答案】B

【巩固】把二次函数的图象沿轴向右平移1个单位，再沿轴向上平移3个单位，那么平移后所得图象的函数解析式是（　  　）

A．

B．

C．

D．

【难度】1星

【解析】考查函数与函数之间的平移关系，可以根据解析式之间的性质考虑，也可以用顶点的变化情况来考虑。

【答案】C

【难度】1星

【解析】考查函数的平移的性质。

【答案】方法一：将函数化为顶点式

        所以平移后的解析式为

        方法二：直接变换函数解析式

【巩固】把二次函数的图象沿轴向右平移3个单位，沿轴向下平移2个单位，则平移后的图象所表示的函数解析式是              

【难度】1星

【解析】考查函数的平移的性质。

【答案】

【例3】         已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点．

（1）求该二次函数解析式；

（2）将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的解析式。

【难度】2星

【解析】本题先要确定函数的解析式，再对函数进行平移变换，求变换后的解析式。

【答案】（1）设该二次函数的解析式为

∵经过点，则，

∴

∴二次函数的解析式为

（2）令，则

解得：

∴该二次函数的图象向左平移3个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点．

此时，图象顶点为

∴平移后图象对应的二次函数的解析式为

【巩固】若二次函数的图象与轴相交于，

（1）求这个二次函数的关系式；

（2）如果要通过适当的平移，使得这个函数的图象与轴只有一个交点，那么应该怎样平移？向右还是向左？或者是向上还是向下？应该平移多少个单位？

【难度】3星

【解析】先用待定系数法确定函数的解析式，再对函数进行平移变换，求变换后的解析式。

【答案】（1）∵，

把，代入上式，得

∴

解得：

∴这个二次函数的解析式为

（2）∵二次函数的解析式为

∴顶点坐标为

∴欲使函数的图象与轴只有一个交点，应向下平移2个单位

模块二  二次函数的轴对称

1. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

2. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

【例4】         如果二次函数的图象与已知二次函数的图象关于轴对称，那么这个二次函数的解析式是（     ）

A．

B．

C．

D．

【难度】2星

【解析】考查二次函数关于轴对称的解析式，可以将变为考虑。

【答案】B

【巩固】二次函数的图象关于轴对称，则的值（　  　）．

A．0                             B．3

C．1                             D．0或3

【难度】2星

【解析】本题考查的是图象自身关于轴对称，也就是说图象的对称轴是轴。要区别轴对称图形和图形成轴对称两个概念。图象的对称轴为轴，即令，同时又要保证。

【答案】B

【例5】         将二次函数的图象进行适当的平移或轴对称变换后所得图象的函数表达式为，请写出一种符合条件的变换                             

【难度】2星

【解析】本题考查同时考查平移和对称变换两种，由于抛物线的开口方向改变，可知函数关于轴对称变换。

【答案】作轴的轴对称变换，向下平移2个单位（答案不唯一）

【巩固】已知一个二次函数的图象经过点

（1）求的值；

（2）求抛物线关于轴对称的抛物线的解析式．

【难度】2星

【解析】先确定待定的系数，再求抛物线对称的解析式。

【答案】（1）把点代入得：

∴

∴此抛物线的解析式为

（2）∵关于轴对称

∴抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为

【例6】         二次函数与的图象关于轴对称，则的值为（　　  ）

A．9                             B．10

C．20                            D．25

【难度】3星

【解析】考查两个函数关于轴对称的性质，本题需要先将两个二次函数进行整理，将解析式整理成一般式，再根据两个函数关于轴对称的特性来解题。

【答案】C

模块三  二次函数的中心对称

1. 关于原点对称

    关于原点对称后，得到的解析式是；

    关于原点对称后，得到的解析式是；

2. 关于顶点对称

    关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

3. 关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

【例7】         二次函数的图象关于原点对称的图象的解析式是？

【难度】1星

【解析】求函数关于原点对称的解析式。抛物线的开口方向相反，对称轴关于轴对称，与轴的交点关于轴对称。

【答案】

【小结】求函数关于原点对称的函数解析式，可以根据其开口方向、对称轴和与轴的交点坐标等的改变来求得。

【巩固】二次函数的图象关于原点对称的图象的解析式是                 

【难度】1星

【解析】求函数关于原点对称的解析式。

【答案】

【巩固】已知二次函数的图象的顶点坐标为且图象经过原点，求这个二次函数的解析式。

【难度】1星

【解析】待定系数法用顶点式确定二次函数的解析式。

【答案】设此二次函数的解析式为

∵其图象经过原点

∴

∴

∴

【例8】         关于二次函数图象有下列命题：

（1）当时，函数的图象经过原点；

（2）当时，函数的图象开口向下时，方程必有两个不等实根；

（3）当时，函数图象关于原点对称．

其中正确的个数有（　　）

A．0                             B．1

C．2                             D．3

【难度】2星

【解析】主要考查字母系数与二次函数的性质之间的关系。根据二次函数的性质可知：（1）当时，函数的图象经过原点，正确；（2）当时，函数的图象开口向下时，图象与轴有2个交点，所以方程必有两个不等实根，正确；（3）当时，函数图象关于轴对称，错误．有两个正确．

【答案】C

【例9】         函数与的图象关于______________对称，也可以认为是函数的图象绕__________旋转        °得到的。

【难度】2星

【解析】考察函数的对称性

【答案】轴；原点；旋转180°

【巩固】已知二次函数，求：

（1）关于轴对称的二次函数解析式；

（2）关于轴对称的二次函数解析式；

（3）关于原点对称的二次函数解析式．

【难度】2星

【解析】综合考察函数的图形变换

【答案】（1）；（2）（3）

【例10】     二次函数的图象关于其顶点对称的图象的解析式是                 

【难度】2星

【解析】求函数关于顶点对称的函数解析式，得到的解析式是

【答案】

【小结】求二次函数关于其顶点对称的函数解析式，一方面，可以将二次函数整理成顶点式，将顶点式中的的符号改变；另一方面，可以通过一般式，考虑函数其开口方向、对称轴和与轴的交点坐标等的改变情况来求得。

【巩固】二次函数的图象关于其顶点对称的图象的解析式是                 

【难度】2星

【解析】求函数关于顶点对称的函数解析式，得到的解析式是

【答案】

【例11】     二次函数的图象关于点对称的图象的解析式是                 

【难度】3星

【解析】先将解析式整理成顶点式，再由关于点对称后，得到的解析式是求解。函数整理得

【答案】

【小结】本类题目还可以转化成求顶点关于已知点的对称点的方法，在将函数的开口方向改变来求。这样的方法更容易理解。

【巩固】二次函数的图象关于点对称的图象的解析式是                 

【难度】2星

【解析】先将解析式整理成顶点式，再由关于点对称后，得到的解析式是求解。

【答案】

模块四  二次函数的旋转

【例12】     已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的解析式。点为抛物线 (为常数，)上任一点，将抛物线绕顶点逆时针旋转后得到的新图象与轴交于、两点（点在点的上方），点为点旋转后的对应点.

（1）当，点横坐标为4时，求点的坐标；

（2）设点，用含、的代数式表示；

（3) 如图，点在第一象限内, 点在轴的正半轴上，点为的中点，平分，，当时，求的值

【难度】4星

【解析】本题是近年来唯一的一个考查二次函数旋转的题目，需要注意的是函数旋转以后得到的图象并不是函数，所以不能将其解析式表示出来。

【答案】(1)当时，，则，.

如图，连接、,过点作轴于,过点作轴于.

依题意,可得△≌△.

则∴ .∴ .

（

(2)用含的代数式表示：. 

(3)如图，延长到点E，使,连接.

∵ 为中点,∴ .

∵ ,∴ △≌△.

∴ .

∵ ,∴ .

∵ 平分,∴ .

∴ △≌△. 

∴ .∴ .

∵ 在新的图象上, ∴ .

∴ ，（舍）.∴ .

1. 函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤是（      ）

A．右移两个单位，下移一个单位

B．右移两个单位，上移一个单位

C．左移两个单位，下移一个单位

D．左移两个单位，上移一个单位

【难度】1星

【解析】考查函数顶点式的平移。

【答案】C

2. 一抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后得抛物线，则平移前抛物线的解析式为                       

【难度】1星

【解析】考查函数平移，可以看做是将函数先向左平移3个单位，再向上平移2个单位来求。

【答案】

3. 把二次函数的图象经过翻折、平移得到二次函数的图象，下列对此过程描述正确的是（　  　）

A．先沿轴翻折，再向下平移6个单位

B．先沿轴翻折，再向左平移6个单位

C．先沿轴翻折，再向左平移6个单位

D．先沿轴翻折，再向右平移6个单位

【难度】2星

【解析】两个函数的开口方向相反，需先将原函数沿轴翻折，然后再根据“左加右减，上加下减”的规律将函数进行平移。

【答案】D

4. 在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（    ）

A．                        B．

C．                        D．

【难度】2星

【解析】二次函数图象的几何变换。

【答案】C

5. 已知抛物线，求

（1） 关于轴对称的抛物线的表达式；

（2） 关于轴对称的抛物线的表达式；

（3） 关于原点对称的抛物线的表达式．

【难度】2星

【解析】二次函数图象的几何变换。

【答案】（1）；

（2）；

（3）

6. 设曲线为函数的图象，关于轴对称的曲线为，关于轴对称的曲线为，则曲线的函数解析式为________________．

【难度】4星

【解析】二次函数图象的几何变换。

【答案】

7. 如图，中，，点的坐标是，，以点为顶点的抛物线经过轴上的点，．

⑴ 求点，，的坐标．

⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．

【难度】3星

【解析】二次函数图象的几何变换。

【答案】(1)在中，且，

∴点的坐标为，

设抛物线的对称轴与轴相交于点，

则，

∴点，的坐标为，，，．

∴由抛物线的顶点为，，

(2)设抛物线的解析式为，

把，代入上式，解得．

设平移后抛物线的解析式为

把，代入上式得

∴平移后抛物线的解析式为．

即．

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1. 由二次函数的图象如何平移，可得到的图象（　  　）

A．向左移动个单位，向上移动个单位

B．向左移动个单位，向下移动个单位

C．向右移动个单位，向上移动个单位

D．向右移动个单位，向下移动个单位

【难度】1星

【解析】将二次函数整理成顶点式，再根据顶点的移动情况平移函数．

【答案】C

2. 平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（　　）

A．向上平移4个单位

B．向下平移4个单位

C．向左平移4个单位

D．向右平移4个单位

【难度】3星

【解析】先由二次函数求出抛物线，然后求出抛物线与轴的两个交点横坐标，利用坐标轴上两点间距离公式即可求得距离是1 。主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点

【答案】二次函数

设，则原二次函数为

则原抛物与轴没的交点．

若原抛物线向下平移4个单位，则新抛物的解析式为：

则新抛物与x轴的交点距离为|

B

3. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为（    ）

A．1              B．2              C．3             D．4

【难度】2星

【解析】将函数整理成顶点式比较容易考虑。

【答案】B

4. 阅读材料：我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象沿轴向左平移3个单位长度得到函数的图象，再沿轴向下平移1个单位长度，得到函数的图象．
   类似的，将一次函数的图象沿轴向右平移1个单位长度可得到函数的图象，再沿轴向上平移1个单位长度，得到函数的图象．
   解决问题：
   （1）将一次函数的图象沿轴向右平移2个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度，可以得到函数                  的图象；
   （2）将的图象沿轴向上平移3个单位长度，得到函数               的图象，再沿轴向右平移1个单位长度，得到函数                的图象；
   （3）函数的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？

【难度】3星

【解析】解决本题的关键是得到平移函数解析式的一般规律：上下平移，直接在函数解析式的后面上加，下减平移的单位；左右平移，比例系数不变，在自变量后左加右减平移的单位

【答案】（1）

       （2），

       （3），所以是由反比例函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的

5. 如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求点坐标及的值；

（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

【难度】3星

【解析】二次函数的综合题，本题涉及到函数图象的平移和对称等变换。

【答案】（1）由抛物线：得

顶点的为

∵点在抛物线上

∴

        解得，

（2）连接，作轴于，作轴于

∵点、关于点成中心对称

∴过点，且

∴≌

∴，

∴顶点的坐标为

        抛物线由关于轴对称得到，抛物线由平移得到

∴抛物线的表达式为

（3）∵抛物线由绕点轴上的点旋转180°得到

∴顶点、关于点成中心对称

     由（2）得点的纵坐标为5

设点坐标为

     作轴于，作轴于

     作于

     ∵旋转中心在轴上

∴

     ∴，点坐标为

     坐标为，坐标为，

根据勾股定理得

     ①当时，，解得，∴点坐标为

②当时，，解得，∴Q点坐标为

③∵

∴

综上，当点坐标为或时，以点、、为顶点的三角形是直角三角形