10初中数学.旋转与中心对称（一）.第10讲

一、旋转有关概念

旋转：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图⑴)

注意：⑴研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．

⑵每一组对应点所构成的旋转角相等．

旋转的性质：

①旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角)

②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(进而得到等腰三角形)

③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形)

旋转作图的基本步骤：

由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件：

⑴旋转中心；⑵旋转方向及旋转角度．

具体步骤分以下几步：

连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．

转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)

截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．

连：即连接所得到的各点．

二、中心对称

中心对称的有关概念：

把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图⑵)

注意：

⑴两个图形成中心对称是旋转角为定角()的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．

⑵中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系．

中心对称的特征：

关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．

关于中心对称的两个图形是全等图形．

关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等．

如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．

中心对称图形：

把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．(如图⑶)

中心对称与中心对称图形的区别与联系：

中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．

关于原点对称的点的坐标特征：

两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．

中心对称图形与旋转对称图形的比较：

中心对称图形与轴对称图形比较：

模块一 图形的旋转

旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等．

【例1】         在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换叫做旋转．这个点O叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的．

【解析】略

【答案】一点O，一个角度，旋转中心，旋转角，旋转中心，旋转角．

【巩固】如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两点叫做这个旋转的______．

【解析】略

【答案】对应点

【巩固】下图中，不是旋转对称图形的是(    )．

【解析】略

【答案】

【例2】         有下列四个说法，其中正确说法的个数是(    )．

①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；

②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；

③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；

④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】根据旋转的概念和性质可得．

【答案】

【巩固】如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为(    )．

A．∠BOF  B．∠AOD

C．∠COE  D．∠COF

【解析】略

【答案】

【例3】         如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有(    )个．

A．1  B．2

C．3  D．4

【解析】略

【答案】

【点评】本题很多考生容易做错，将答案选为，认为只有两个旋转点，但是一定要注意边的中点也是一个旋转点，所以应该有3个旋转点．

【巩固】下面各图中，哪些绕一点旋转180°后能与原来的图形重合?(    )．

A．①、④、⑤  B．①、③、⑤

C．②、③、⑤  D．②、④、⑤

【解析】略

【答案】

【例4】         图中的“笑脸”是图⑴逆时针旋转形成的是(    )

【解析】 由旋转的概念可知选择

【答案】

【巩固】将下图按顺时针方向旋转后得到的是(    )

【解析】 A

【例5】         下图中，不能由左图经过平移或旋转得到的是（　　）

 A．  B．

 C．  D．

【解析】根据题意，结合图形，采用排除法判定正确结果．

【答案】观察图形可知：C与原图是轴对称图形，故不能由左图经过平移或旋转得到．

故选C．

【点评】本题考查平移、旋转的性质．平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．

【巩固】如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（　　）

  A．   B．  C．   D．

【解析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察，直接选出拼木．A、C和D旋转之后都不能与图形拼满，B旋转180°后可得出与图形相同的形状，故选B．

【答案】

【点评】本题难度一般，主要考查的是旋转的性质．

【例6】         按图中第一、二两行图形的平移、轴对称及旋转等变换规律，填入第三行“？”处的图形应是（　　）

 A、  B、 C、  D、

【解析】根据旋转的性质，结合图形，第一行变为第三行，将第二行图形按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．

【答案】B．

【点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．

【巩固】一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是（    ）；在前16个图案中有        个；第2008个图案是       ．

【解析】分析可得，图形三个一组，且依次循环；10除3的余数为1，2008除3的余数为1，故第10个图案与第2008个图案相同，都是第一个图案，即；在前16个图案中有共5组，第六组只有第一个图案；故在前16个图案中有5个．

【答案】；5；．

【点评】根据图形找规律的方法．

模块二 中心对称与中心对称图形

【例7】         线段不仅是轴对称图形，而且是______图形，它的对称中心是______．

【解析】略

【答案】中心对称，线段中点

【巩固】平行四边形是______图形，它的对称中心是____________．

【解析】略

【答案】中心对称，对角线交点

【巩固】圆不仅是轴对称图形，而且是______图形，它的对称中心是______．

【解析】略

【答案】中心对称，圆心

【例8】         (09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

【解析】 根据中心对称和周对称的概念进行判断．

【答案】

【巩固】(09天津)在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的个字母中，是中心对称图形的有(    )

A．2个  B．3个  C．4个  D．5个

【解析】 根据中心对称图形的概念可得．

【答案】

【巩固】(09内蒙古包头)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有(    )

A．4个   B．3个   C．2个   D．1个

【解析】 根据中心对称图形和轴对称图形的概念可得．

【答案】

【例9】         已知：如图，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心，并简要说明理由．

【解析】根据中心对称的性质，分别连结CG、BF，则它们的交点O为两四边形的对称中心．其理由是关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而CG、BF两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心．

【答案】

【巩固】如下图，图(1)和图(2)是中心对称图形，仿照(1)和(2)，完成(3)，(4)，(5)，(6)的中心对称图形．

【解析】根据中心对称的性质可得答案．

【答案】略

模块三 旋转类几何作图与计算

几何作图

【例10】     如图，六角星可看作是由什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的?

【解析】

【答案】答案不唯一，如可看成正△ACE绕其中心旋转60°得到的．

【巩固】如图，五角星可看作是由什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的?

【解析】

【答案】可看成四边形AFOJ绕O点每次旋转72°，共旋转了四次得到的．

【例11】     已知：如图，四边形ABCD及一点P．

求作：四边形A′B′C′D′，使得它是由四边形ABCD绕P点顺时针旋转150°得到的．

【解析】根据旋转作图的基本步骤：

连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．

转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)

截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．

连：即连接所得到的各点．

可很容易得到答案．

【答案】略

【巩固】如图，已知有两个同心圆，半径OA、OB成30°角，OB与小圆交于C点，若把△ABC每次绕O点逆时针旋转30°，试画出所得的图形．

【解析】方法入同上题．

【答案】略

旋转计算

【例12】     如图，△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′=90°，则旋转中心是点______．旋转角是______．点A的对应点是______．线段AB的对应线段是______．∠B的对应角是______．∠BOB′=______．

3题图

【解析】略

【答案】O，90°，点，，∠，∠AO＝90°．

【巩固】如图，△ABC绕着点O旋转到△DEF的位置，则旋转中心是______．旋转角是______．AO=______，AB=______，∠ACB=∠______．

4题图

【解析】根据旋转的定义：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．

【答案】O点；∠DOA或∠FOC或∠EOB；D；DE；∠DFE．

【巩固】如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转______度，可与其自身重合．

【解析】略

【答案】

【例13】     一个平行四边形ABCD，如果绕其对角线的交点O旋转，至少要旋转______度，才可与其自身重合．

【解析】根据旋转的概念及平行四边形是中心对称图形的特点，可得到答案．

【答案】

【巩固】钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了______度．

【解析】略

【答案】

【例14】     旋转的性质是对应点到旋转中心的______相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于______；旋转前、后的图形之间的关系是______．

【解析】略

【答案】距离，旋转角，全等．

【巩固】已知：如图，F是正方形ABCD中BC边上一点，延长AB到E，使得BE=BF，试用旋转的性质说明：AF=CE且AF⊥CE．

【解析】略

【答案】△CBE可看成由△ABF按顺时针旋转90°得到的，所以△CBE≌△ABF，并且CE＝AF，AF⊥CE．

1．下列图不是中心对称图形的是 (  )

A．①③   B．②④   C．②③   D．①④

【解析】 根据中心对称图形的定义判定

【答案】

2．下列图形中，绕某个点旋转能与自身重合的有(    )

①正方形 ②长方形 ③等边三角形  ④线段   ⑤角

A．5个    B．2个    C．3个    D．4个

【解析】 根据中心对称图形的定义，三角形都不符合，所以③不是，⑤也不是，所以有①②④．

【答案】

3．在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是(    )

①中心对称　②旋转　③轴对称　 ④平移

A．①②  B．②③　C．③④　D．①④

【解析】 根据这四种变换的概念可得答案．

【答案】

4．下列图形中，不能通过上述方式得到的是 (     ) 

【解析】 图可以由基本图形绕中心每次旋转，顺时针旋转二次得到；

图可以由基本图形绕中心顺时针旋转得到；

图可以由基本图形绕中心顺时针旋转得到；

图只能由基本图形对折得到；所以选

【答案】

5．已知：如图，当半径为30cm的转动轮按顺时针方向转过120°角时，传送带上的物体A向哪个方向移动?移动的距离是多少?

【解析】本题利用了圆的周长,而转动角，传送带走了整个圆的周长的，所以传动的距离是．

【答案】物体A向右平移，移动的距离是．

6．已知：如图，若线段CD是由线段AB经过旋转变换得到的．

求作：旋转中心O点．

【解析】采用旋转的作图方法和旋转的性质进行解题．

【答案】分两类：(1)A与C是对应点．(2)B与C是对应点，对(1)的作法：

首先，连结AC，作线段AC的垂直平分线l1；

其次，连结BD，作线段BD的垂直平分线l2，与l1交于O点，则O点为所求．

同理可作出(2)的O′选点．