专题3-20 函数中的几何综合题（一）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用）

这是一份专题3-20 函数中的几何综合题（一）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用），共54页。试卷主要包含了两点，与x轴相交于C点，与轴相交于点，与轴相交于点，已知抛物线经过点，与轴交于点，如图，已知过点的直线与直线，，点H、B关于直线l等内容，欢迎下载使用。
专题3.20 函数中几何综合题（一）
1．（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．
（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当时，的面积是__________．
②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．







2．（2021·西藏·统考中考真题）已知第一象限点P(x，y)在直线y＝﹣x＋5上，点A的坐标为(4，0)，设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．







3．（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图像交于两点．以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为．
（1）求一次函数的表达式：
（2）求点的坐标及外接圆半径的长．







4．（2020·山东淄博·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．







5．（2020·湖北黄石·中考真题）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以、为边作菱形，求D点坐标．







6．（2019·宁夏·统考中考真题）将直角三角板按如图1放置，直角顶点与坐标原点重合，直角边、分别与轴和轴重合，其中．将此三角板沿轴向下平移，当点平移到原点时运动停止．设平移的距离为，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为，关于的函数图象（如图2所示）与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）试确定三角板的面积；
（2）求平移前边所在直线的解析式；
（3）求关于的函数关系式，并写出点的坐标．







7．（2019·山东东营·统考中考真题）已知抛物线经过点，与轴交于点．
求这条抛物线的解析式；
如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；
如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．



8．（2019·四川乐山·统考中考真题）如图，已知过点的直线与直线：相交于点.
（1）求直线的解析式；
（2）求四边形的面积.


9．（2011·青海西宁·中考真题）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．









10．（2022·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
(1) 当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
(2) 证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
(3) 在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．





11．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．
(1) 求该反比例函数的解析式及的值；
(2) 判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．






12．（2022·广西贵港·中考真题）如图，直线与反比例函数的图像相交于点A和点，与x轴的正半轴相交于点B．
(1) 求k的值；
(2) 连接，若点C为线段的中点，求的面积．




13．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)．D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC=3S△ADC．反比例函数y1=(k≠0)的图象经过点D．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 若AB所在直线解析式为，当时，求x的取值范围．





14．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为．
(1) 求，的值：
(2) 若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．




15．（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，．
(1) 求该反比例函数的解析式；
(2) 求的面积；
(3) 请结合函数图象，直接写出不等式的解集．

16．（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、分别在函数、的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接、，已知点A的纵坐标为－2．
(1) 求点A的横坐标；
(2) 记四边形的面积为S，若点的横坐标为2，试用含的代数式表示S．





17．（2022·四川泸州·统考中考真题）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为6
(1) 求的值；
(2) 若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标．




18．（2021·四川绵阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直角的顶点，在函数图象上，轴，线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点，点纵坐标为2，点横坐标为1，．
（1）求点和点的坐标及的值；
（2）连接，求的面积．



19．（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，矩形的两边的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F，且．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得，求此时点P的坐标．




20．（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点，，，：：．
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接当面积最大时，求点的坐标．


21．（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1) 求抛物线的表达式和t，k的值；
(2) 如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3) 如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．

22．（2022·上海·统考中考真题）已知：经过点，．
(1) 求函数解析式；
(2) 平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．
①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；
②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．






23．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1) 求此抛物线的函数解析式．
(2) 点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．




24．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．  

(1)【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　．
(2)【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
(4)【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．

参考答案
1．（1），5，0；（2）见分析；（3）①12；②或．
【分析】（1）代入点坐标即可得出值确定直线的解析式，进而求出点坐标即可；
（2）求出点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形；
（3）①作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
②根据对角线相等确定的长度，再根据、的位置分情况计算出值即可．
解：（1）直线经过点，
，
解得，
即直线的解析式为，
当时，，
，
（2）线段平行于轴，
点的纵坐标与点一样，
又点在直线上，
当时，，
即，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（3）①作于，

点在直线上，
设点的坐标为，
，，
由勾股定理，得，
即，
整理得或8（舍去），
，
，
当时，，
，
②，
当时，，
当时，，
当点，运动至四边形为矩形时，，
，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，当点，运动至四边形为矩形时的值为或．
【点拨】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
2．（1）6；（2）(3，2)；（3）S＝﹣2x＋10（0＜x＜5），图见分析．
【分析】（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；
（3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．
解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y＝﹣2＋5＝3，
∴点P（2，3），
∵点A的坐标为（4，0），
∴，
∴S△AOP＝×4×3＝6；
（2）当S＝4时，即×4×y＝4，
∴y＝2，
当y＝2时，即2＝﹣x＋5，
解得x＝3，
∴点P（3，2）；
（3）由题意得，
S＝OA•y＝2y＝2（﹣x＋5）＝﹣2x＋10，
当y＞0时，即0＜x＜5时，S＝2（﹣x＋5）＝﹣2x＋10，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x＋10（0＜x＜5），画出的图象如图所示．

【点拨】本题考查待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．
3．(1)；(2)点的坐标为；外接圆半径的长为
【分析】(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，证明△ABF≌△DAE，，的面积与的面积之比为得到，进而得到，求出A、D两点坐标即可求解；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出P点坐标；再求出C点坐标，进而求出CP长度，Rt△CPD外接圆的半径即为CP的一半．
解：(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示：

∵与有公共的底边BO，其面积之比为1:4，
∴DH:OA=1:4，
设，则，
∵ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
在△ABF和△DAE中： ,
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴
又，
∴，解得(负值舍去)，
∴，代入中，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的表达式为；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式： ，
整理得到：，
解得 ，，
∴点的坐标为；D点的坐标为（4,1）
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
且，
在中，由勾股定理：，
∴，
又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，
∴△CPD外接圆的半径为．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长，本题属于综合题，解题的关键是正确求出点A、D两点坐标．
4．（1）y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣3
【分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可；
（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，

在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．
∴OD＝2，即点D（0，2），
把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得，
b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，
∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；
把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，
∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9．
（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．
【点拨】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．
5．（1）k=2；（2）D点坐标为(1+，2)．
【分析】（1）根据题意，点在正比例函数上，故将点代入正比例函数中，可求出a值，点A又在反比例函数图像上，故k值可求；
（2）根据（1）中已知A点坐标，则B点坐标可求，根据两点间距离公式可以求出AB的长，最后利用已知条件四边形ABCD为菱形，BC∥x，即可求出D点坐标．
解：（1）根据题意，点在正比例函数上，故将点代入正比例函数中，得a=2，故点A的坐标为(1,2)，点A又在反比例函数图像上，设反比例函数解析式为，将A(1,2)代入反比例函数解析中，得k=2．
故k=2．
（2）如图，A、B为反比例函数与正比例函数的交点，故可得，解得，，如图，已知点A坐标为(1,2)，故点B坐标为(－1，－2)，根据两点间距离公式可得AB=，根据已知条件中四边形ABCD为菱形，故AB=AD=，AD∥BC∥x轴，则点D坐标为(1+，2)．
故点D坐标为(1+，2)．
【点拨】（1）本题主要考查正比例函数和反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法以及已知解析式求点坐标是解答本题的关键．
（2）本题主要考查求正比例函数和反比例函数交点坐标、菱形性质、两点间距离公式，掌握求正比例函数和反比例函数交点坐标、菱形性质、两点间距离公式是解答本题的关键．
6．（1）；（2）；（3）．
【分析】与m轴相交于点，可知，；
设AB的解析式，将点，代入即可；
在移动过程中，则，所以，；当时，，即可求
解：（1）∵与轴相交于点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
设的解析式，
∴，
∴，
∴；
（3）在移动过程中，则，
∴
当时，，
∴．
【点拨】本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到是解题的关键．
7．(1) ;（2）点的坐标为；（3）
【分析】（1） 用待定系数法即可得到答案;
（2）连接，设点，由题意得到．即可得到答案.
（3）用待定系数法求解析式，再结合勾股定理即可得到答案.
解：抛物线经过点，
，
解得
抛物线解析式为；
如图1，连接，设点，其中，四边形的面积为，由题意得，


，
，
，
．
，开口向下，有最大值，
当时，四边形的面积最大，
此时，，即．
因此当四边形的面积最大时，点的坐标为．
，
顶点．
如图2，连接交直线于点，此时，的周长最小．

设直线的解析式为，且过点，，

直线的解析式为．
在中，．
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
由图可知
设直线的函数解析式为，

解得：
直线的解析式为．

解得：
．
【点拨】本题考查一次函数和勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式.
8．（1）；（2）
【分析】（1）根据P点是两直线交点，可求得点P的纵坐标，再利用待定系数法将点B、点P的坐标代入直线l1解析式，得到二元一次方程组，求解即可.
（2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点C（0，1），由可求得四边形的面积
解：
解：（1）∵点P是两直线的交点，
将点P（1，a）代入
得，即
则的坐标为，
设直线的解析式为：，
那么，
解得： .
的解析式为：.
（2）直线与轴相交于点，直线与x轴相交于点A
的坐标为，点的坐标为
则，
而，

【点拨】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积.
9．解：（1）依题意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），
解得x1=﹣3，x2=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），
答：A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）．
证明：∵直线l：，
当x=﹣3时，，
∴点A在直线l上．

（2）解：∵点H、B关于过A点的直线l：对称，
∴AH=AB=4，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则，，
∴顶点，
代入二次函数解析式，解得，
∴二次函数解析式为，
答：二次函数解析式为．

（3）解：直线AH的解析式为，
直线BK的解析式为，
由，
解得，
即，
则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称，
∴HN+MN的最小值是MB，，
过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则QM=MK，，AE⊥QK，
∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=8，
∴HN+NM+MK的最小值为8，
答HN+NM+MK和的最小值是8．
解：（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；
（2）根据点H、B关于过A点的直线l：对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；
（3）解方程组，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
10．(1)y=-x2+2x+3；(2)证明见分析，；(3)存在，点的坐标是（1，4），．过程见分析
【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；
（3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．
（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，
-9+6m+3m=0，
∴m=1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），
∴当2x+3=0时，即时，，
∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）如图，

连接OP，
设点P（m，-m2+2m+3），
设PD的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴PD的解析式为：y＝，
当x＝0时，y＝，
∴点N的坐标是（0，），
∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，
∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵
，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，
∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，
，
∴＝＝，
∴当时，，
当时，，
∴点的坐标是（1，4）．
【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数求最值、三角形的面积等知识，解决问题的关键是数形结合和变形S，转化为常见的面积计算．
11．(1)，(2)点在该反比例函数的图象上，理由见解答
【分析】（1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值；
（2）先求出点的坐标，判断即可得出结论．
（1）解：将点代入中，得，
反比例函数的解析式为，
将点代入中，
得；
（2）解：因为四边形是菱形，，，
，，
，
由（1）知双曲线的解析式为；
，
点在双曲线上．
【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用表示出点的坐标．
12．(1)6 (2)
【分析】（1）直接把点C的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出答案；
（2）由题意，先求出点A的坐标，然后求出直线AC的解析式，求出点B的坐标，再求出的面积即可．
（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
（2）解：∵是线段的中点，点B在x轴上，
∴点A的纵坐标为4，

∵点A在上，
∴点A的坐标为，
∵，
设直线AC为，则
，解得，
∴直线为，
令，则，
∴点B的坐标为，
∴．
【点拨】本题考查了反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图像和性质进行解题．
13．(1)反比例函数的解析式为y1=；(2)当时，0