安徽省定远中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷（含答案）

安徽省定远中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知函数的导函数为，若，则(   )

A.-1 B.1 C.-2 D.2

2、一个袋子中有3个红球和2个白球，这些小球除颜色外没有其他差异.从中不放回地抽取2个球，每次只取1个.设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是(   )

A. B. C. D.

3、的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为(   )

A.540 B.-162 C.162 D.-540

4、已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是(   )

A.两个球都是红球的概率为 B.两个球中恰有1个红球的概率为

C.两个球不都是红球的概率为 D.至少有1个红球的概率为

5、由0，1，2，，9这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为(   )

A.180 B.196 C.210 D.224

6、我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”.朱世杰著有四元玉鉴和算学启蒙等，在算学启蒙中，最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题，其中记载有以下问题：“今有三角、四角果子垛各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不及四角底子一面七个，问二垛底子一面几何？”其中“积”是和的意思，“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛，自上至下依次有1，3，6，10，15，，个果子，“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛，自上至下依次有1，4，9，16，，个果子，“底子一面”指每垛最底层每条边”根据题意，可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是参考公式：(   )

A.4，11 B.5，12 C.6，13 D.7，14

7、概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局问这96枚金币的赌金该如何分配数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案该分配方案是(   )

A.甲48枚，乙48枚 B.甲64枚，乙32枚

C.甲72枚，乙24枚 D.甲80枚，乙16枚

8、已知，设函数，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、下列命题中正确的为(   )

A.随机变量X服从二项分布，若，，则

B.将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍

C.随机变量服从正态分布，若，则

D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大

10、下列说法中正确的是(   )

A.

B.事件为必然事件，则事件A、B是互为对立事件

C.设随机变量服从正态分布，若，则

D.甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，则恰有1人射中的概率为0.12

11、若二项式展开式中二项式系数之和为，展开式的各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为，则下列结论正确的是(   )

A.  B.存在，使得

C.的最小值为2 D.

12、关于函数，下列判断正确的是(   )

A.是的极大值点

B.函数有且只有1个零点

C.对不等式在上恒成立

D.对任意两个正实数，，且，若，则

三、填空题

13、已知病毒A在某溶液中的存活个数的概率满足，已知只要该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率为______．

14、已知（a为常数）的展开式中各项系数之和为1，则展开式中的系数为______．

15、根据某机构对失事的飞机的调查得知：失踪的飞机中有的后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪的飞机中，有未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为

16、已知函数，若有两个不同的极值点，，且，则a的取值范围为______．

四、解答题

17、现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．

（1）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．

（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E不相邻，则有多少种不同的排法？

（3）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？

（注：请列出解题过程，结果保留数字）

18、2023世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开，我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取得了很多成就.为普及人工智能相关知识，红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛两个部分，两部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异.现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：

（1）若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为.求a，b的值；

（2）在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率；

（3）若基础、中等和优异对应得分为1分、2分和3分，要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出b的值.（直接写出答案）

19、已知函数，.

（1）若在点处的切线与直线垂直，求该切线方程；

（2）若的极值点为，设，且，证明：．

20、已知盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的.第一次比赛时，从中一次性任意取出3个来用，用完后仍放回盒中新球用后成了旧球；第二次比赛时从中任意取出1个．

（Ⅰ）记第一次比赛时从盒中取出的3个球中旧球的个数为X，求X的分布列与数学期望；

（Ⅱ）求第二次比赛时取出的球为新球的概率．

21、已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

22、已知函数．

（1）当时，讨论在区间上的单调性；

（2）若，，求a的值．

参考答案

1、答案：A

解析：，

令，得到，

解得：．

故选：A．

2、答案：A

解析：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，

则，，

则．

故选：A．

3、答案：D

解析：的展开式中各项系数之和为，

解得，

则展开式的常数项为：，

故选：D．

4、答案：C

解析：对于A：两个球都是红球的概率为，故A正确；

对于B：两个球中恰有1个红球的概率为，故B正确；

对于C：两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球，所以概率为，故C错误；

对于D：至少有1个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有1个红球，所以概率为，故D正确．

故选：C．

5、答案：C

解析：0到9十个数字中之差的绝对值等于8的情况有2种：0与8，1与9；

分2种情况讨论：①当个位与百位数字为0，8时，有；

②当个位与百位为1，9时，有．

共，

故选：C．

6、答案：B

解析：设三角果子垛自上至下依次为，，，，，

当时，所以，且时，

所以三角果子垛第n层的果子数为，

四角果子垛第n层的果子数为，

设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为m，，

所以三角果子垛各层果子总和为，

四角果子垛各层果子总和为，由题意，

即，

解得，，所以该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别是5，12．

故选：B．

7、答案：C

解析：根据题意，前三局比赛中，博弈水平相当的甲、乙，即两人获胜的概率均为，

假设两人继续进行比赛：甲获取96枚金币的概率，

乙获取96枚金币的概率，

则甲应该获得枚金币；

乙应该获得枚金币；

故选C．

8、答案：A

解析：当时，，

若，必有，解得，所以，

若，满足，

所以；

当时，，即，令，

，由得，得，

则在区间上单调递减，在区间上单调递增，即．

综上，a的取值范围是.

故选：A．

9、答案：ACD

解析：对于A，因为，且，，所以，选项A正确；

对于B，将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为4倍，选项B错误；

对于C，因为服从正态分布，且，所以，选项C正确；

对于D，因为，所以，，令，解得，因为，所以，即时，概率最大，选项D正确．

故选：ACD．

10、答案：AC

解析：对于A，由组合数的性质可得：，故A正确；

对于B，事件为必然事件，若A，B互斥，则事件A，B是对立事件；若A，B不互斥，则事件A，B不是互为对立事件，故B错误；

对于C，设随机变量服从正态分布，若，则正态分布曲线关于直线对称，则，故C正确；

对于D，甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，恰有1人射中包括甲中乙不中，乙中甲不中，由相互独立事件和对立事件的概率计算可得：恰有1人射中的概率为，故D错误．

故选：AC.

11、答案：AB

解析：依题意可得，，，

因为，所以A正确．

因为，所以B正确．

因为在上单调递增且在定义域上单调递增，所以在上单调递增，所以，当且仅当时取等号，所以不正确．

因为，当时，，所以不正确．

故选：AB.

12、答案：BC

解析：对于A选项：因为，，所以，

令，得，

所以当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以当时，取得极小值，故A选项错误；

对于B选项：设，则，

所以在上单调递减，又，

所以函数有且只有个零点，故B选项正确；

对于C选项：若在上恒成立，所以在上恒成立，

则，设，，

设，设，

所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，所以，

所以在上单调递减，

所以函数的最大值为，所以，故C选项正确；

对于D选项：方法一：令，

设，

所以，

所以在上单调递减，

则，即，，

因为，，结合选项可得，，，，

所以，，函数在上单调递增，

则，所以，

即对任意两个正实数，，且，若，则，故D选项错误；

方法二：由，，所以，

设，，则，

所以在上单调递减，所以，

所以，

由，则，因此，

所以，

即对任意两个正实数，，且，若，则，故D选项错误．

故选：BC．

13、答案：

解析：根据题意，病毒A在某溶液中的存活个数k的概率满足，

则，

若该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，

则该溶液能够导致生物C死亡的概率．

故答案为：．

14、答案：-80

解析：依题意，，解得，

的展开式的通项为，，

当时，可得的展开式中的系数为．

故答案为：-80．

15、答案：

解析：设事件“失踪的飞机后来被找到”，事件“失踪的飞机后来未被找到”，

事件“安装有紧急定位传送器”，

则，，，，

安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为：

，

故答案为．

16、答案：

解析：，则，

令，由，可得为偶函数，

则，

则当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

又，，

由题意得方程有两个互为相反数的零点，，且，

则a的取值范围为．

故答案为：．

17、答案：（1）9

（2）16

（3）150

解析：（1）将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，摸出的3个球中全是红球的不同摸法有种，则摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为种．

（2）先把A安放在中间位置，从A中的两侧各选一个位置插入D，E，其余小球任意排列，方法有种．

（3）先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中，

若按3个盒子分别3，1，1个小球分配，有种

若按3个盒子分别2，2，1个小球分配，有种

故共有种．

18、答案：（1）；

（2）

（3）8

解析：

（1）由题意，理论或操作至少一项成绩为优异的学生共有人，

则，得，

又，得；

（2）由（1）知，从20位理论成绩为优异的学生中抽取1人，实践成绩也为优异的概率为，所以从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为优异的概率为；

（3）由题意，，

设理论成绩为X，则取值为，

对应的人数分别为，所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为

，

所以参赛学生理论成绩的方差为

，

因为，所以当时，方差最小．

19、答案：（1）

（2）证明见解析

解析：（1）由题意知直线的斜率为，

所以在点处的切线斜率为，

而，

，

则，得，

所以在点M处的切线方程为：，即．

（2）证明：，令，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故在时取得极值，

的唯一极值点，

因为，则，

当时，恒成立，则在上单调递增，不合题意，

当时，易得的解集为，的解集为，

即的单调增区间为，单调减区间为，

依题意：，解得，

不妨设，则，要证，则只要证，

即证，即证，即证，

令，，

则，

即在上单调递减，有

即，则成立，

因此成立，

．

20、答案：（1）X的数学期望是，X的分布列见解析

（2）

解析：（1）依题意，从盒中取出的3个球中旧球的个数X的所有可能取值为0，1，2，3，

所以，

，

，

，

所以X的分布列为：

所以；

（2）设事件A表示第二次比赛时取出的球为新球，事件为第一次比赛时取出的3个球中有i个新球，其，

由（1）可得，，，，

根据题意，，，，，

所以根据全概率公式可得．

21、答案：（1）答案见解析

（2）

解析：（1）因为，，所以，

若，则在上恒成立，故在上单调递增，

若，则当时，；当时，．

故在上单调递增，在上单调递减．

综上所述，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）由等价于．

令，函数，则，由，可得．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

故．

所以a的取值范围为．

22、答案：（1）答案见解析

（2）1

解析：（1）当时，，

．

因为，所以．

所以在区间上的单调递增．

（2），，，

当时，，所以存在，当时，，

则在区间上单调递减，

所以当时，，不满足题意，

当时，，所以存在，当时，，

则在区间上单调递增，

所以当时，，不满足题意，

所以．

下面证明时，，，

由（1）知，在区间上的单调递增，

所以当时，，

所以只要证明，．

令，

令，

则

，

①当时，，得，

所以，所以，

所以在区间上单调递增，

且，，

所以，使得．

且当时，；当时，，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

且，，

所以当时，，

所以在区间上单调递减，

所以当时，，

②当时，

，

因为，所以，所以，

所以在区间上单调递减，

且，，

所以，使得，

当时，；当时，，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

且，，

所以当时，，

综上，a的值为1．