浙江省金华第一中学2022-2023学年高一数学下学期6月期末试题（Word版附解析）

金华一中2022学年第二学期高一期末考试

数学试题卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合后可求.

【详解】，故，

故选：D

2. 已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量共线的坐标表示计算．

【详解】由已知，，

又与共线，所以，解得．

故选：C．

3. 函数是

A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数

C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数

【答案】A

【解析】

【详解】分析：由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，得出结论．

详解：函数y=2sin2（x﹣）﹣1=﹣[1﹣2sin2（x﹣）]=﹣cos（2x﹣）=﹣sin2x，

故函数是最小正周期为=π的奇函数，

故选A．

点睛：本题主要考查二倍角余弦公式、诱导公式，正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．

4. “辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V等于其上底面的面积S、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积的4倍、下底面的面积之和乘以高h的六分之一，即.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称为拟柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面.中国古代名词“刍童”（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体.已知某“刍童”尺寸如图所示，且体积为，则它的高为（    ）

A.  B.  C.  D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】求出上下底面积和中截面面积，代入公式即可求出高.

【详解】上底面，下底面，

所以中截面是过高的中点，且平行于底面的截面，其中分别是对应棱上的中点，如图所示，

根据中位线定理得，，

所以，

，解得，

故选：D.

5. 设，则“”成立的必要不充分条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先解不等式得到，再依次判断选项即可得到答案.

【详解】由得，解得.

所以“”成立的必要不充分条件是.

故选：B

【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，同时考查必要不充分条件的判断，属于简单题.

6. 已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由图象对称性确定奇偶性，再由函数值的正负排除错误选项，得出正确结论．

【详解】图象关于原点对称，为奇函数，CD中定义域是，不合，排除，

AB都是奇函数，当时，A中函数值为负，B中函数值为正，排除B．

故选：A．

【点睛】思路点睛：本题考查由函数图象选择函数解析式，可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

7. 一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（    ）

A. 与互斥 B. 与对立

C. 与相互独立 D. 与相互独立

【答案】D

【解析】

【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：

对于A：由事件A与D有相同的基本事件，否定结论；对于B：由事件C与D有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利用公式法进行判断.

【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：.

其中事件A包括： .

事件B包括： .

事件C包括：.

事件D包括： .

对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.故A错误；

对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，故C与对立不成立.故B错误；

对于C：因为,,而.因为，所以与不是相互独立.故C错误；

对于D：因为,,而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.故D正确.

故选：D

8. 已知二次函数，存在互不相同的三个实数，，，使得，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由变形为，将函数代入配方得到 判断.

【详解】解：由得，

，代入可得，

，

配方可得，，

∴，

两边同乘以，可得

，

所以.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，都成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用特殊值判断B；

【详解】解：因为，，

对于A：由，所以当且仅当时取等号，故错误；

对于B：令，，则，即不成立，故错误；

对于C：因为，当且仅当时取等号，故正确；

对于D：，当且仅当即时取等号，故正确．

故选：．

10. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（    ）

A. 的最小正周期为

B. 是的最小值

C. 在区间上的值域为

D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用图像过点，求得函数解析式为，利用正弦型函数的周期判断A；利用可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D.

【详解】函数的图像过点，可得，

即，则，即，

所以函数解析式为

对于A，函数的周期，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，，利用正弦函数的性质知，可得，故C错误；

对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，故D正确；

故选：ABD

11. 已知函数的零点分别为，则有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据函数的单调性、零点存在性定理、对称性求得正确答案.

【详解】在上递增，，所以.

在上递增，，所以.

在上递增，，所以，则，AB选项正确.

由得；

由得；

由解得，

由于与关于直线对称，与相互垂直，

所以，C选项正确，D选项错误.

故选： ABC

12. 在棱长为1的正方体中，P为侧面（不含边界）内的动点，Q为线段上的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（    ）

A. 线段的长度为

B. 的最小值为2

C. 对任意点P，总存在点Q，使得

D. 存在点P，使得直线与平面所成的角为

【答案】AC

【解析】

【分析】对选项A，直接通过建立空间直角坐标系，表示出线段，即可求得；对选项B，转化为，然后通过坐标表示出即可求得的最小值；对选项C，通过关系建立方程，结合点的坐标满足，得到关于的一元二次方程，再通过判别式即可判断C；对选项D，通过先求平面的法向量，然后根据直线与平面所成的角为，建立方程即可判断D.

详解】 

建立如上图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得：，，，，，，，

设点，，由直线与的夹角为，则有：

，，

故有：，解得：，

为线段上的动点，则有：（），解得：，

对选项A，则有：，故选项A正确；

对选项B，过点作平面的垂线，垂足为，

因为，则易知：，

故的最小值等价于求，

，

故有：，

则，当且仅当时成立，结合，可得此时，故选项B错误；

对选项C，若，则有：，

，又，

则有：，则有：，

又，则有：，故对任意点，总存在点，使得，故选项C正确；

对选项D，易知平面的法向量为，若直线与平面所成的角为，

即直线与平面的法向量成，则有：

解得：，矛盾，故选项D错误.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：解决立体几何问题通常有两种方法：

一、建立空间直角坐标系，运用空间向量的运算与性质解决立体几何的问题，将问题转化为代数运算，解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量；

二、通过传统的几何方法，需要较高的空间想象力.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 复数z满足，则______.

【答案】

【解析】

【分析】利用给定条件，利用复数除法运算，结合复数模的意义求解作答.

【详解】依题意，，

所以.

故答案为：

14. 已知，则使成立的x的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【分析】解不等式组或，即得解.

【详解】解：∵，∴或，

∴或，即，

∴使成立的x的取值范围是．

故答案为：

15. 已知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，P为直线CE上的动点，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】由题意画出图形，由绕旋转，使在平面内，可知所求最小值即为的长，然后在中，由余弦定理求解即可．

【详解】记，在中，，，

可得，，．

将绕旋转，使在平面内，此时在处．

连接，，则，，

则，则所求最小值即为的长．

，，

．

的最小值为．

故答案为：．

16. 已知函数的图象经过三个象限，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】讨论时，图像经过一、三象限，不符题意；结合题意，讨论时，的单调性和图像位置，当时，的图像经过一、四象限即可，去绝对值可得在的最小值小于0，解不等式可得的范围

【详解】解：若时，，图像经过一、三象限，不合题意；

则当时，递增，且位于第三象限，

当时，只要的图像经过一、四象限即可，

当时，，

当时，，

则，且，即，

因为，解得或，

可得，

则的取值范围为，

故答案为：

【点睛】此题考查分段函数的图像和运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，以及运算能力，属于中档题

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，.

（1）用，表示，；

（2）若EF⊥EG，，求角A的值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

(1)以，为基底，进行向量加减运算，即得结果；

(2) 以，为基底，结合EF⊥EG进行数量积运算，再利用，得的关系式，即解得角A.

【详解】（1）由平面向量的线性运算可知，

. 

（2）由题意，因为EF⊥EG，所以

，解得，

所以，则可化简上式为，解得，又，故.

18. 已知函数为奇函数，且函数图象的两相邻对称轴之间的距离为.

（1）求的值；

（2）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.

【答案】（1）（2）单调递增区间为

【解析】

【分析】（1）先化简得，根据已知条件得,即得的值；

（2）由题得，解不等式即得函数的单调递增区间.

【详解】解：（1）

.

因为为奇函数，所以，

又，可得.

所以，由题意得，所以.

故.因此.

（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，

所以.

当，

即时，单调递增，

因此的单调递增区间为.

【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19. 已知函数.

（1）若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围；

（2）在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度.

【答案】（1）或；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数，再探讨在上的性质，画出图象，数形结合求解作答.

（2）由（1）求出B，由正弦定理求出，进而求出，再利用等腰三角形性质求解作答.

【小问1详解】

依题意，

，

当时，，则当时，单调递增，函数值从增大到2，

当时，单调递减，函数值从减小到，

方程在上有且只有一个实数根，即直线与函数在的图象只有一个公共点，

在同一坐标系内作出直线与函数在的图象，如图，

观察图象，当或时，直线与函数在的图象只有一个公共点，

所以实数m的取值范围是或.

【小问2详解】

由（1）知，，即，

在中，，即，则，解得，

在中，，，由正弦定理得，

则，显然，有，

于是，即有，则，是等腰三角形，

所以.

20. 江门市某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数：

（2）若按照分层随机抽样的方法从成绩在，的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的成绩在内的概率．

【答案】（1），估计本次竞赛成绩的第80百分位数为85；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图的性质列式求出的值，然后根据百分位数的定义即可求解第80百分位数；

（2）根据分层抽样算出成绩在，的两组分别抽取多少人，然后利用古典概型的概率计算公式即可求解.

【小问1详解】

解：由频率分布直方图的性质得：，解得，

因为，所以成绩在80分以下的频率为，成绩在90分以下的频率为，

所以估计本次竞赛成绩的第80百分位数为；

【小问2详解】

解：因为成绩在，的两组频率之比为，

所以从成绩在中抽人，从成绩在中抽人，

所以从这5人中随机抽取3人，至少有2人的成绩在内的概率为.

21. 如图，四面体ABCD中，等边三角形，，且.

（1）记AC中点为M，若面面ABD，求证：面ADC；

（2）当二面角的大小为时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）推导出面,,由此能证明面；

（2）过作垂线,与的延长线交于点,连结DE,由,得面,从而是二面角的平面角,进而,过作交于F点,连结,作交于点,连结,由此能求出直线与平面所成角的正弦值.

【小问1详解】

为等边三角形，中点为，，

又面面，面面， 面,

由，得面,

面，,

又，平面，面.

  【小问2详解】

在中，过作的垂线,与的延长线交于点,连结,

，，面，

面，是二面角的平面角，,

过作交于点,连结,作交于点,连结,

由面，面，得,

又，面，面,

面，面面，面面，

面，所以面，即面，

所以直线与平面所成角即为，

由题意:，,

则

，面，面，，

，

，

直线与平面所成角的正弦值为.

22. 已知函数，其中a为实数．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若在上为严格增函数，求实数a的取值范围；

（3）对于，若存在两个不相等的实数使得，求的取值范围．（结果用a表示）

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）分与两种情况，求出最小值；（2）写成分段函数，对分，，与四种情况分类讨论，求出参数的取值范围；（3）研究函数的单调区间及图象特征，分类讨论求出的关系，消去一个变量，再求出取值范围.

【小问1详解】

当时，，当时，，当时，取得最小值，，当时，在上单调递减，则，综上：最小值为

【小问2详解】

，当时，当时，，不是严格增函数，不合题意，舍去；

当时，此时对称轴，且分段函数在处函数值相同，故满足在上为严格增函数，符合题意；

当时，此时对称轴且，故在区间上单调递减，不合题意，舍去；

当时，且，此时在上为严格增函数，符合要求.

综上：实数a的取值范围为.

【小问3详解】

当时，，即在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，且端点处函数值相等，令，解得：，，故要想存在两个不相等的实数使得，则，，且当时，，，此时，当时，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值， 为，故取值范围为，当时，在单调递增，在上单调递减，故在取得最大值，为，故取值范围是，

当时，，此时，即，从而，其中，当时，，综上：的取值范围为.

【点睛】函数含参值域问题，需要结合题干条件及图象特征，对参数进行分类讨论，在不同取值下的值域求解，用到的工具有基本不等式，对勾函数，导函数等.