重庆市第十八中学2022-2023学年高二数学下学期5月月考试题（Word版附解析）

这是一份重庆市第十八中学2022-2023学年高二数学下学期5月月考试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市十八中学校2023年春期高2024级5月考试题
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据排列数、组合数公式展开计算，即可得出答案.
【详解】.
故选：C.
2. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. 12 C. D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】由，根据数学期望的性质，可得：，根据二项分布的性质公式，可解得的值，由二项分布的方差性质公式可得答案.
【详解】由，根据数学期望的性质，可得：，
因为随机变量，根据二项分布的性质公式，可得：，
可得方程：，解得：，则，
故选：A.
3. 已知，则之间的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，由，利用其单调性比较.
【详解】设，
则，
令得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，且，
所以，即，
故选：B
4. 若则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用赋值法即可求解.
【详解】因为，
令得， ①，
令得， ②，
①②得，，
所以.
故选：B
5. 若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的单调性，结合即可求解.
【详解】，令，得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
而，所以函数在区间上的最小值为2e，
必有，即.
故选：B
6. 目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设这个家庭有女孩事件记为事件，这个家庭有男孩事件记为事件，进而根据古典概型计算公式和条件概率公式求解即可.
【详解】解：根据题意，一个家庭的三个孩子的性别情况共有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）、（男男男）共8种可能的情况，
设这个家庭有女孩事件记为事件，这个家庭有男孩事件记为事件，
则事件包含：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女），共7种基本事件，故，
这个家庭既有女孩又有男孩的基本事件有：女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女），共6种，故，
所以这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是
故选：D
7. 已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合对数恒等式对题给式子进行变形，进而构造函数，根据函数的单调性解最值.
【详解】正数、满足，
所以，即，因为，所以，
利用对数恒等式有，
令，，因为恒成立.
所以函数在上单调递增，
所以，即，则，
构造函数，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
故当时，有最小值即，
所以的最小值为.
故选：D.
8. 已知函数有两个零点，则下列说法错误的是（ ）
A. B. C. 有极大值点，且 D.
【答案】B
【解析】
【分析】对求导，可得的极大值点，可得a的取值范围，可判断A选项，同时构造函数，其中，可得，可得的单调性，可判断B、C选项，利用C的结论，可得，， ，可判断D选项，可得答案.
【详解】解：由，可得，
当时，，在上单调递增，与题意不符；
当时，可得当解得：，
可得当时，，当时，，
可得当时，取得极大值点，且由函数有两个零点，
可得，可得，综合可得：，故A正确；
由A可得得的极大值为，设，
设，其中，可得，
可得，
可得，
易得当时候，，当，，
故，，
故，，
由，易得，且，
且时，，单调递减，故由，
可得，即，即：有极大值点，且，
故C正确，B不正确；
由函数有两个零点，可得，，
可得，，可得，
由前面可得，，可得，
故D正确，
故选:C.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性及极值的问题，也考查了极值点偏移的相关知识，属于难题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（ ）
A. 6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480
B. 6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240
C. 6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法
D. 6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B选项，利用倍缩法求解；C选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分组，再进行全排列，得到答案.
【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法，
再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A正确；
B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误；
C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，C正确；
D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，
若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，
先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法；
共有种分组方法，D正确.
故选：ACD
10. 有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件“任取一个零件为次品”，事件“零件为第台车床加工”（，2，3），则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式及条件概率公式分别求出各个选项的值即可判断各个选项的正误.
详解】解：根据题意，故C正确；
，
则，故A正确；
，故B正确；
，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知，，下列说法错误是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 恒成立 D. 恒成立
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，构造函数，求导后求出函数的单调区间，画出函数图象，结合图象求解判断，对于B，构造函数，利用导数判断其单调性，再利用其单调性可判断的关系，对于C，转化成证，令，利用导数判断其单调性，再利用函数的单调性可得结论，对于D，分别构造函数，，利用导数可求出其最大值，然后可得结论.
【详解】对于A，由，得，设，则，
由，得，
由，得，当，得，
所以在上递增，在上递减，
所以的图象如图所示，

由图可知，
时，存在，使，此时，所以A错误，
对于B，设，则，所以在上单调递增，
因为，，，所以，所以B正确，
对于C，要证，只需证，设，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
因为，所以，
所以，所以C正确，
对于D，设，则，当时，，当时，，
所以当时，，
设，则，当时，，当时，，
所以当时，，
所以，当且仅当时取等号，所以D错误，
故选：AD
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，解题的关键是根据题意正确构造函数，再利用导数判断其单调性，可求出其最值，考查数学计算能力，属于较难题.
12. 已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数无极值，则
B. 若，为函数的两个不同极值点，则
C. 存在，使得函数有两个零点
D. 当时，对任意，不等式恒成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】函数无极值，则或，求解即可判断A；若，为函数的两个不同极值点可得，即，代入可求出的值，可判断B；要使得函数有两个零点，即与有两个交点，画出图象即可判断C；当时，对任意，不等式恒成立即证明在上恒成立即可判断D.
【详解】对于A，若函数无极值，，，
则或恒成立，则或，
当，则，解得：或，故A不正确；
对于B，若，为函数的两个不同极值点，，所以，
因，则，∴，故B正确；
对于C，存在，使得函数有两个零点，与有两个交点，

在处的切线平行于轴，过原点的切线在的左侧稍微旋转后可得两个交点，故C正确；
对于D，当时，对任意，不等式恒成立
，
，
，，
令，
对任意恒成立，
在上单减，，
对任意恒成立，所以，
在上单减，
对任意恒成立，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：函数零点和方程根的问题往往利用数形结合转化成函数图象交点的问题，导数恒成立、极值问题通常构造函数并利用导数研究其单调性即可得出结论.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节目有______种不同排法（用数字作答）
【答案】42
【解析】
【分析】用相对顺序已定排列模型求解.
【详解】5个学生节目中增加2个教师节目，共有7个节目，把7个节目看成有顺序的7个位置，
将这7个位置挑出2个位置安排给2个教师节目，共有种安排方法，再将剩下的5个位置安排给5个学生节目，因原来5个学生节目的出场顺序不变，故只有1种安排方法，故共有种不同排法.
故答案为：42
14. 盒中装有6个乒乓球，其中3个新球，3个旧球，不放回地依次取出3个球，在第二次取到新球的条件下，第一次取到旧球的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】不妨设第一次取到旧球的事件为A，第二次取到新球的事件为B，
则，
，
，
．
故答案为：.
15. 某份资料显示，人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟者中患肺癌的概率是______.
【答案】0.00025##
【解析】
【分析】记“患肺癌”为事件C，“吸烟”为事件A，根据题设写出对应事件的概率，再应用全概率公式列方程，即可求不吸烟者中患肺癌的概率.
【详解】记“患肺癌”为事件C，“吸烟”为事件A，
由题意得，，，
由全概率公式得：，
将数据代入，得，解得.
故答案为：
16. 从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图所示，（百米），建立如图所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为______.

【答案】##
【解析】
【分析】根据图中的点的坐标可求得和直线的方程，设，令，则可将直角梯形的面积表示为关于的函数，利用导数可求得的最大值，即为所求结果.
【详解】由图象可知：图象过点，即，解得：，；
由，得：直线方程为：；
设，则，，
则直角梯形的面积；
令，则，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递增，
，
即图书馆占地面积（万平方米）的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解面积最值的问题，解题关键是能够将所求直角梯形面积表示为关于某一变量的函数的形式，从而利用导数求解函数的单调性，进而确定最值.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 二项式的展开式共9项.
（1）求n的值；
（2）求展开式中的有理项.
【答案】（1）8 （2）有理项为，，．
【解析】
【分析】（1）由二项式的展开式共9项即可求得的值；
（2）写出二项式展开式的通项公式，由此可求得展开式中的有理项.
【小问1详解】
因为二项式的展开式共9项，
所以，得；
【小问2详解】
时二项式即为，
展开式通项公式为，．
若为有理项，则为整数，所以k为4的倍数，从而．
∴所有有理项为，，．
18. 疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续10天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：
日销量（单位：百份）
2
4
天数
6
4

（1）求第一天日销量为4百份且第二天日销量为2百份的概率；
（2）记两天中销售该款新套餐的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望；
（3）方案A：两天共备餐5百份；方案B：两天共备餐7百份，以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在这两种方案中应选择哪种？
【答案】（1）
（2）分布列见解析；
（3）选择方案A.
【解析】
【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率公式计算即可求解；
（2）列出可能取值，分别计算出相应的概率，列出分布列表，即可求解；
（3）根据利润的计算方式，分别计算出选择方案A和方案B所获得利润，比较后可得答案.
【小问1详解】
依题意，这10天内有6天日销量为2百份，4天日销量为4百份，
设事件A为“日销量为4百份”，设事件B为“日销量为2百份”，
则A，B相互独立，且，，
故第一天日销量为4百份且第二天日销量为2百份的概率为
.
【小问2详解】
根据题意可得：的所有可能取值为，
，
，
，
的分布列为：

4
6
8





的数学期望为
【小问3详解】
在方案A中，两天内获得的利润为
（百元），
在方案B中，两天内获得的利润为
（百元），
因为，所以应选择方案A.
19. 函数，
（1）时，求的单调区间；
（2）若恒成立，求a的范围.
【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为 和；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性结合三角函数的性质求解不等式即可；
（2）分离参数，原式等价于，利用导数研究其单调性及最值即可，注意利用三角函数的性质.
【小问1详解】
当时，，
令，则，则，，
解得，，
因为，令，得，即在上单调递增，
令，得，即在 和上单调递减，
故的单调增区间为，单调减区间为和；
【小问2详解】
在时恒成立，
在时恒成立，
在时恒成立，
令，则，
令，
时，有，
即，在上单调递减，，
即，在上单调递减，，
故.
20. 为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，A市共100000名男学生进行100米短跑训练，在某次短跑测试中，从中抽取100名男生作为样本，统计他们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图，现规定男生短跑成绩不超过13.5秒为优秀.

（1）估计样本中男生短跑成绩的平均数.（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）根据统计分析，A市男生的短跑成绩X服从正态分布，以（1）中所求的样本平均数作为的估计值，求下列问题：
①若从A市的男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在以外的人数为Y，求；
②在这100名男生中、任意抽取2名成绩优秀的男生的条件下，将该2人成绩纳入全市排名（短跑周时越少、排名越靠前），能进入全市前2275名的人数为x，求x的期望.
附：若，则：，，，
【答案】（1）15 （2）①，②
【解析】
【分析】（1）先根据各组的频率和为1求出，再利用平均数的定义可求出男生短跑成绩的平均数；
（2）①根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及二项分布的概率公式，即可求解；
②先求出100人中成绩优秀的人数，全市短跑成绩在秒内的有2275人，这100人中短跑成绩在秒内的有2人，可能取0，1，2，求出对应的概率，从而可求出期望.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得，解得，
则样本中男生短跑成绩的平均数为
，
【小问2详解】
①由（1）可知，则服从正态分布，
所以A市男生的短跑成绩在以外的概率为
,
由题意可得，
所以，
②这100名男生中成绩优秀的有人，
因为，
所以，
所以，
所以全市短跑成绩在秒内的有2275人，这100人中短跑成绩在秒内的有人，
所以可能取0，1，2，
，，，
所以.
21. 函数，
（1）若，求的极值；
（2）若，设的最大值为，求的范围.
【答案】（1）极大值，无极小值；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据极值的概念，利用导数计算即可；
（2）结合（1）的方法，含参判断函数的单调性，利用隐零点表示最大值，再构造函数求其范围即可.
【小问1详解】
时，，
设，
由单调性知，故在上单调递减，
又，可得时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
故在时取得极大值，无极小值；
【小问2详解】
易得
设，
由的单调性知，故在上单调递减，
又，
故存在使得，
可得时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
故
又，所以，
设，
显然时在上单调递增，
故，即.
22. 已知函数，为的导函数，在处的切线是x轴.
（1）求a的值；
（2）若，与有两个不同的交点，且，求证：
（i）
（ii）
【答案】（1）.
（2）(i)证明见详解；(ii)证明见详解.
【解析】
【分析】（1）求导，依据函数在处的切线是x轴，得到，即可解出.
（2）（i）将函数交点个数转化为方程根的个数，利用求导判断函数单调性，依据单调性判断方程根所在区间，从而进行证明.
（ii）将不等式进行变形，利用（i）的结论，得出需要证明的不等式，继续运用导数来判断函数单调性，进而求证.
【小问1详解】
函数.则.
因为在处的切线是x轴，所以，解得.
【小问2详解】
（i）因为，所以.
函数在上单调递增.
.
因为函数与函数有两个不同的交点，且.
所以方程有两个不同的正根且.
令，则.
当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数.
当时，函数有最小值.
要使方程有两个不同的根，则且.
因为函数在上递增且，要证成立.
只需证明即可.
令，需证函数在上恒成立.
.
令，则.
显然，即函数在上递增，
故.
所以有，即函数在上递增.
故.
即证得函数在上恒成立.
从而.
（ii）由（i）知，
要证明，
即需证明即可.
由（i）知，则.
又由（i）知函数在上递减，要使成立.
则需证明
即可.
令，
则需证明函数在上恒成立.
.
令，则，
令，
显然恒成立，则在上递增.
因为.
所以存在使得.
所以函数在上递减，在上递增.
讨论在和上的正负.
因为函数在上递减，
所以当时，.
因为函数在上递增，
所以当时，.
即对任意时，总有，
所以函数在上递减.
因为成立，
所以函数在上恒成立.
从而.