四川省巴中市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类

这是一份四川省巴中市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类，共45页。试卷主要包含了解答题，﹣1+；，交于点C、D两点，AB，，连接AE、BE，，其顶点的横坐标为1等内容，欢迎下载使用。
四川省巴中市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2022•巴中）解答题
（1）计算：﹣4cos30°+（3.14﹣π）0+|1﹣|．
（2）先化简，再求值÷（x+1﹣），其中x＝﹣4．
（3）求不等式组的整数解．
2．（2021•巴中）（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（3）先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
二．一元二次方程的解（共1小题）
3．（2023•巴中）（1）计算：|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
4．（2023•巴中）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝（m≠x）的图象交于A、B两点，A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式kx＜的解集．
（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．

5．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A（﹣4，0）、B两点，与双曲线y＝（k＞0）交于点C、D两点，AB：BC＝2：1．
（1）求b，k的值；
（2）求D点坐标并直接写出不等式x+b﹣≥0的解集；
（3）连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD、DE，求△ODE的面积．

6．（2021•巴中）如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y＝有唯一交点，求n的值．

四．二次函数的应用（共1小题）
7．（2022•巴中）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
五．二次函数综合题（共3小题）
8．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．

9．（2022•巴中）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

10．（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

六．菱形的判定与性质（共1小题）
11．（2021•巴中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．

七．矩形的判定（共1小题）
12．（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．

八．切线的判定与性质（共2小题）
13．（2023•巴中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若CE＝，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

14．（2021•巴中）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．

九．作图—基本作图（共1小题）
15．（2023•巴中）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线DP交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF、AF．
（1）求证：四边形BDEF是菱形．
（2）若AC＝4，求△AFD的面积．

一十．几何变换综合题（共1小题）
16．（2023•巴中）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O．
①∠BOC的度数是 　 　．
②BD：CE＝　 　．
（2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，且AB＝AC，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O．
①∠AOB的度数是 　 　；
②AD：BE＝　 　．
（3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N为BE的中点．
①说明△MND为等腰三角形．
②求∠MND的度数．

一十一．相似三角形的判定（共1小题）
17．（2022•巴中）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．

（1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD；
（2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．

一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
18．（2021•巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．

一十三．列表法与树状图法（共3小题）
19．（2023•巴中）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书．某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．
等级
周平均读书时间t（单位；小时）
人数
A
0≤t＜1
4
B
1≤t＜2
a
C
2≤t＜3
20
D
3≤t＜4
15
E
t≥4
5
（1）求统计图表中a＝　 　，m＝　 　．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为 　 　．
（3）该校每月末从每个班读书时间在E等级的学生中选取2名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有3名男生1名女生的读书时间在E等级，现从这4名学生中选取2名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率．

20．（2022•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30

80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 　 　人，其中参加围棋社的有 　 　人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．

21．（2021•巴中）为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．
（1）该校九年级共有 　 　名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．


四川省巴中市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2022•巴中）解答题
（1）计算：﹣4cos30°+（3.14﹣π）0+|1﹣|．
（2）先化简，再求值÷（x+1﹣），其中x＝﹣4．
（3）求不等式组的整数解．
【答案】（1）；
（2），
（3）﹣1，0，1．
【解答】解：（1）﹣4cos30°+（3.14﹣π）0+|1﹣|
＝2﹣4×+1+﹣1
＝2﹣2+1+﹣1
＝．
（2）÷（x+1﹣）
＝÷
＝•
＝
＝，
当x＝﹣4时，原式＝＝+2．
（3），
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集是﹣2＜x≤1，
∴该不等式组的整数解是﹣1，0，1．
2．（2021•巴中）（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（3）先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣3＜x≤﹣1，解集在数轴上表示见解答；
（3），5．
【解答】解：（1）2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+
＝2×+2﹣﹣2+﹣1
＝+2﹣﹣2+﹣1
＝﹣1；
（2），
解不等式①，得
x＞﹣3，
解不等式②，得
x≤﹣1，
∴原不等式组的解集是﹣3＜x≤﹣1，
解集在数轴上表示如下：
；
（3）÷（1+）
＝
＝
＝，
∵a（a+3）≠0，a+4≠0，
∴a≠﹣4，﹣3，0，
∴a＝1，
当a＝1时，原式＝＝5．
二．一元二次方程的解（共1小题）
3．（2023•巴中）（1）计算：|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【答案】（1）2；
（2）原不等式组的解集为﹣3＜x≤2；
（3）4．
【解答】解：（1）|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2
＝2﹣3+3﹣4×+2
＝2﹣2+2
＝2；
（2）解不等式①得，x＜2；
解不等式②得，x≥﹣3，
∴原不等式组的解集为﹣3＜x≤2；
（3）（+x﹣1）÷
＝
＝x+1，
解方程x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1，
∵x2（x+1）2≠0，
∴x≠0，x≠﹣1，
∴x＝3，
∴原式＝3+1＝4．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
4．（2023•巴中）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝（m≠x）的图象交于A、B两点，A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式kx＜的解集．
（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．

【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）﹣4＜x＜0或x＞4；
（3）直线CD为y＝﹣x+10．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝（m≠x）的图象交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∵A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6，
∴A（﹣4，6），B（4，﹣6），
∵点A（﹣4，6）在反比例函数y＝（m≠x）的图象上，
∴6＝，
∴m＝﹣24，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）观察函数图象，可知：当﹣4＜x＜0或x＞4时，正比例函数y＝kx的图象在反比例函数y＝（m≠x）的图象下方，
∴不等式kx＜的解集为﹣4＜x＜0或x＞4；
（3）方法一：连接BE，作BG⊥y轴于点G，
∵A（﹣4，6）在直线y＝kx上，
∴6＝﹣4k，解得k＝﹣，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x，
∵CD∥AB，
∴S△OBD＝S△OBE＝20，
∵B（4，﹣6），
∴BG＝4，
∴S△OBE＝＝20，
∴OE＝10，
.E（0，10），
∴直线CD为y＝﹣x+10．
方法二：
连接BF，作BH⊥x轴于H，
∵A（﹣4，6）在直线y＝kx上，
∴k＝﹣，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x，
∵CD∥AB，
∴S△OBD＝S△OBF＝20，
∵B（4，﹣6），
∴OF•6＝20，
∴OF＝，
∴F（，0），
设直线CD的表达式为y＝﹣x+b，
代入F点的坐标得，﹣×+b＝0
解得b＝10，
∴直线CD为y＝﹣x+10．


5．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A（﹣4，0）、B两点，与双曲线y＝（k＞0）交于点C、D两点，AB：BC＝2：1．
（1）求b，k的值；
（2）求D点坐标并直接写出不等式x+b﹣≥0的解集；
（3）连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD、DE，求△ODE的面积．

【答案】（1）k＝6，b＝2；
（2）D（﹣6，﹣1），﹣6≤x＜0或x≥2，
（3）8．
【解答】解：（1）∵点A在直线上，A（﹣4，0），
∴，
解得b＝2，
过C作CF⊥x轴于点F，
∴△AOB∽△AFC，
∵AB：BC＝2：1，
∴，
∴AF＝6，
∴OF＝2，
在中，令x＝2，得y＝3，
∴C（2，3），
∴，
∴k＝6．
（2）∵D点是和交点，
∴，
解得或，
∵D点在第三象限，
∴D（﹣6，﹣1），
由图象得，当﹣6≤x＜0或x≥2时，，
∴不等式的解集为﹣6≤x＜0或x≥2．
（3）∵△ODE和△OCD同底同高，
∴S△ODE＝S△OCD，
∵S△COD＝S△COA+S△ADO，
∴．

6．（2021•巴中）如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y＝有唯一交点，求n的值．

【答案】（1）m＝﹣8，k＝﹣，b＝﹣3；
（2）；
（3）3+4．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝过点A（﹣8，1），
∴m＝﹣8×1＝﹣8，
又∵直线y＝kx+b经过点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），
∴，
解得k＝﹣，b＝﹣3，
答：m＝﹣8，k＝﹣，b＝﹣3；
（2）由（1）可得反比例函数的关系式为y＝，
直线AB的关系式为y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，即C（﹣6，0），
∴OC＝6，
由点E（1，0）可得OE＝1，
∴EC＝OE+OC＝1+6＝7，
∴S△ABE＝S△ACE+S△BCE
＝×7×1+×7×4
＝；
（3）设直线DE的关系式为y＝kx+b，D（0，﹣3），E（1，0）代入得，
b＝﹣3，k+b＝0，
∴k＝3，b＝﹣3，
∴直线DE的关系式为y＝3x﹣3，
设DE平移后的关系式为y＝3x﹣3+n，由于平移后与y＝有唯一公共点，
即方程3x﹣3+n＝有唯一解，
也就是关于x的方程3x2+（n﹣3）x+8＝0有两个相等的实数根，
∴（n﹣3）2﹣4×3×8＝0，
解得n＝3+4，n＝3﹣4（舍去），
∴n＝3+4，
答：n的值为3+4．
四．二次函数的应用（共1小题）
7．（2022•巴中）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
【答案】（1）每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；
（2）该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【解答】解：设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，
由题意得：，
解得：，
∴每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；
（2）w＝（a﹣40）[100﹣2（a﹣50）]＝﹣2（a﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当a＝70时，w有最大值，最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
五．二次函数综合题（共3小题）
8．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）当m＝时，AN+MN有最大值，最大值为；
（3）存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，﹣）．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）．
将（﹣1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点N的坐标为（m，0），
∴MN＝﹣m2+2m+3，AN＝m+1，
∴AN+MN＝m+1+（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，且0＜m＜3，
∴当m＝时，AN+MN有最大值，最大值为；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝﹣x2+4．
当x＝时，y＝﹣（）2+2×+3＝，
∴点M的坐标为（，）．
假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，﹣n2+4）．
①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，
∴＝，
解得：n＝﹣，
∴点Q的坐标为（﹣，）；
②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，
∴＝，
解得：n＝﹣，
∴点Q的坐标为（﹣，）；
③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，
∴＝，
解得：n＝，
∴点Q的坐标为（，﹣）．
综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，﹣）．
9．（2022•巴中）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）①4；②是，定值为8，理由见解析．
【解答】解：（1）∵当y≥0时，﹣1≤x≤3，
∴x1＝﹣1，x2＝3是ax2+2x+c＝0的两根，A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）①把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得：y＝3，
∴D（2，3）．
又当x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
∴线段CD∥x轴．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），；
②设D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），
直线AD：y＝k1x+b1，BD：y＝k2x+b2，
因此可得：或，
解得：或，
∴直线AD：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），BD：y＝﹣（m+1）x+3（m+1）．
令x＝1得yM＝6﹣2m，yN＝2m+2，
∴ME＝6﹣2m，NE＝2m+2，
∴NE+ME＝8．
10．（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣），有最大值；（3）D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），
∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，有最大值，
∴P（3，﹣）；
（3）∵P（3，﹣），D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴＝，即＝，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴＝，即＝，
∴KC＝6，
∴D（3，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，
设D（3，m），
∵DT＝BC，
∴|m+|＝，
∴m＝﹣或m＝﹣﹣，
∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．




六．菱形的判定与性质（共1小题）
11．（2021•巴中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【解答】证明：（1）连接BD，

根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，
即BD⊥AE，
∵AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC，
∴∠ADB＝∠DBE，∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵BD⊥AE，
∴AB＝BE，
∴AD＝AB＝BE＝DE，
∴四边形ABED为菱形；
方法二：设AE与BD的交点为O，
∴AM为BD的线段垂直平分线，
∴BO＝DO，
由平行可得∠DAO＝∠BEO，
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴AO＝EO，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AE⊥BD，
∴平行四边形ABED是菱形；
（2）∵AB＝AD＝CD＝BC，BE＝AD，
∴E是BC的中点，
∵DE＝BE＝CE＝CD＝5，
∴△BDC是直角三角形，
∵2DC＝BC，
∴△BDC是含30°的直角三角形，
∴BD＝CD＝5．
七．矩形的判定（共1小题）
12．（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC＝EB，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；

（2）∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∴DC＝CF，
又∵CE＝CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE＝CG，
∴BC＝EG，
又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，
∴DF＝EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
八．切线的判定与性质（共2小题）
13．（2023•巴中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若CE＝，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）﹣．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD，
设⊙O的半径为r，
在Rt△CED中，CE＝，CD＝2，
∴ED2＝CD2﹣CE2＝4﹣3＝1，
∴ED＝1，
∵cos∠C＝＝，
∴∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵AC∥OD，O为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴D是BC中点，
∴CD＝BD＝2，
∵AB是⊙O的的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB＝r，
∴BD＝AD＝r＝2，
∴r＝，
∴AB＝2r＝，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣＝﹣＝，
∴阴影部分的面积＝四边形AODE的面积﹣扇形AOD的面积
＝（+）×1﹣π×（）2
＝﹣．

14．（2021•巴中）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．

【答案】（1）详见解答；
（2）6π﹣9．
【解答】解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，
∵AB＝AC，△ABC内接于⊙O，
∴AE所在的直线是△ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠MAD＝∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝×180°＝90°，
即AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵∠OAD＝∠OEC＝90°，∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴＝
由（1）可知AO是△ABC的对称轴，
∴OE垂直平分BC，
∴CE＝BC＝3，
设半径为r，在Rt△EOC中，由勾股定理得，
OE＝＝，
∴＝，
解得r＝6（取正值），
经检验r＝6是原方程的解，
即OB＝OC＝OA＝6，
又∵BC＝6，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，OE＝OC＝3，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
＝﹣×6×3
＝6π﹣9．

九．作图—基本作图（共1小题）
15．（2023•巴中）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线DP交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF、AF．
（1）求证：四边形BDEF是菱形．
（2）若AC＝4，求△AFD的面积．

【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝AB，
∵E为AB中点．
∴，
∴BD＝DE，
∴△BED是等边三角形，
∴BE＝BD＝DE，
由作图知，DF平分∠EDB，
∴∠EDF＝∠FDB，
∵EF∥BC，
∴∠EFD＝∠FDB，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∴EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵DE＝BD，
∴四边形BDEF是菱形；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，
∵AC＝4，
∴＝2，
∵四边形BDEF是菱形，
∴AG⊥FD，FG＝GD，
在Rt△AGD中，∵∠BAD＝30°，
∴，
∴，
∴．

一十．几何变换综合题（共1小题）
16．（2023•巴中）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O．
①∠BOC的度数是 　90°　．
②BD：CE＝　1：1　．
（2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，且AB＝AC，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O．
①∠AOB的度数是 　45°　；
②AD：BE＝　1：　．
（3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N为BE的中点．
①说明△MND为等腰三角形．
②求∠MND的度数．

【答案】（1）①∠BOC的度数是 90°，②BD：CE＝1：1．
（2）①∠AOB 的度数是 45°，②．
（3）①证明见解答过程，②∠MND＝120°．
【解答】解：（1）①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠OBC+∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠OBC+∠ACB＝90°，
即：∠BCE+∠OBC＝90°，
∴∠BOC＝90°．
故∠BOC的度数是90°．
②由①得△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE．
故BD：CE＝1：1．
（2）①∵AB＝AC，DE＝DC，
∴，
又∵∠BAC＝∠EDC＝90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴∠ACB＝∠DCB，．
∴∠ACE+∠ECB＝∠DCA+∠ACE，
∴∠ECB＝∠DCA．
∴△ECB∽△DCA，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠CAD﹣∠BAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBE﹣90°＝180°﹣45°﹣90°＝45°．
故∠AOB 的度数是45°．
②由①得：△ECB∽△DCA．
∴AD：BE＝DC：EC，
∵∠EDC＝90°，且DE＝DC，
∴∠DCE＝45°，
∴＝cos45°＝．
∴．
（3）①解：连接BF、CE，延长CE交MN于点P，交BF于点O．
在等边△ABC中AB＝AC，又∵AD⊥BC于点D，
∴D为BC的中点，
又∵M为EF的中点，N为BE的中点，
∴MN、ND分别是在△BEF、△BCE的中位线，
∴MN＝BF，DN＝EC．
∵∠FAE＝∠BAC＝60°，
∴∠FAE+∠EAB＝∠BAC+∠EAB．
∴∠FAB＝∠EAC．
在△ACE和△ABF中，
，
∴△ACE≌△ABF（SAS）．
∴BF＝EC．
∴MN＝DN．
∴△MND为等腰三角形．
②∵△ACE≌△ABF，
∴∠ACE＝∠ABF，
由（1）（2）规律可知：∠BOC＝60°，
∴∠FOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
又∵BF∥MN，CP∥DN，
∴∠MND＝∠MPE＝∠FOC＝120°．

一十一．相似三角形的判定（共1小题）
17．（2022•巴中）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．

（1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD；
（2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．

【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO＝90°．
∴∠PBA+∠ABO＝90°．
∵∠PBA＝30°，
∴∠ABO＝60°．
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形．
又∵OE＝AE，
∴BE平分∠ABO．
∴，
∴BA平分∠PBD；

（2）证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO＝90°．
∴∠PBA+∠ABO＝90°．
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°．
∴∠OBC+∠ABO＝90°．
∴∠OBC＝∠PBA．
∵OB＝OC，
∴∠PBA＝∠OBC＝∠OCB．
∴∠AOB＝2∠OCB＝2∠PBA．
∵∠ACD＝∠ABD＝2∠PBA，
∴∠AOB＝∠ACD，
又∵∠BAO＝∠BDC，
∴△OAB∽△CDE．

一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
18．（2021•巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．

【答案】（1）12m；
（2）24.9m．
【解答】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC•cosα＝12×＝6（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE•tan∠BCE＝6×＝18（m），
∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m），
答：灯杆AB的高度为12m；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE﹣CE＝﹣6≈24.9（m），
答：CD的长度约为24.9m．

一十三．列表法与树状图法（共3小题）
19．（2023•巴中）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书．某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．
等级
周平均读书时间t（单位；小时）
人数
A
0≤t＜1
4
B
1≤t＜2
a
C
2≤t＜3
20
D
3≤t＜4
15
E
t≥4
5
（1）求统计图表中a＝　6　，m＝　40　．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为 　1120人　．
（3）该校每月末从每个班读书时间在E等级的学生中选取2名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有3名男生1名女生的读书时间在E等级，现从这4名学生中选取2名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率．

【答案】（1）6，40；
（2）1120人；
（3）．
【解答】解：（1）∵样本容量为15÷30%＝50，
∴a＝50﹣（4+20+15+5）＝6，
m%＝×100%＝40%，即m＝40，
故答案为：6，40；
（2）估计该校每周读书时间至少3小时的人数为2800×＝1120（人），
故答案为：1120人；
（3）根据题意列表如下：

男1
男2
男3
女
男1
﹣﹣
男2男1
男3男1
女男1
男2
男1男2
﹣﹣
男3男2
女男2
男3
男1男3
男2男3
﹣﹣
女男3
女
男1女
男2女
男3女
﹣﹣
由表格可知，共有12种等可能出现的结果，其中该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的结果有6种，
所以该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率为＝．
20．（2022•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30

80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 　200　人，其中参加围棋社的有 　40　人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．

【答案】（1）200，40；
（2）480人；
（3）．
【解答】解：（1）抽取的学生共有：80÷40%＝200（人），
参加围棋社的有：200﹣50﹣30﹣80＝40（人）；
故答案为：200，40；

（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：3200×＝480（人）；

（3）画树状图如下：

∵所有等可能出现的结果总数为20个，其中抽到一男一女的情况数有12个，
∴恰好抽到一男一女概率为＝．
21．（2021•巴中）为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．
（1）该校九年级共有 　500　名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 　36°　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．

【答案】（1）500，36°；
（2）图形见解析；
（3）此规则不合理，理由见解析．
【解答】解：（1）该校九年级共有学生：150÷30%＝500（名），
则D等级所占圆心角的度数为：360°×＝36°，
故答案为：500，36°；
（2）B等级的人数为：500﹣150﹣100﹣50＝200（名），
将条形统计图补充完整如下：

（3）此规则不合理，理由如下：
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，
∴选甲乙的概率为＝，选丙丁的概率为＝，
∵＞，
∴此规则不合理．