四川省成都市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类

这是一份四川省成都市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类，共27页。试卷主要包含了2＝　 　，因式分解，进行研究，在第 　 　象限等内容，欢迎下载使用。
四川省成都市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
一．代数式求值（共1小题）
1．（2022•成都）已知2a2﹣7＝2a，则代数式（a﹣）÷的值为 　 　．
二．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
2．（2022•成都）计算：（﹣a3）2＝　 　．
三．因式分解-提公因式法（共1小题）
3．（2023•成都）因式分解：m2﹣3m＝　 　．
四．因式分解-运用公式法（共1小题）
4．（2023•贵州）因式分解：x2﹣4＝　 　．
五．因式分解的应用（共1小题）
5．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 　 　；第23个智慧优数是 　 　．
六．分式的化简求值（共1小题）
6．（2023•成都）若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为 　 　．
七．根与系数的关系（共1小题）
7．（2021•成都）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 　 　．
八．解分式方程（共1小题）
8．（2022•成都）分式方程+＝1的解为 　 　．
九．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
9．（2021•成都）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）在第 　 　象限．
一十．反比例函数的性质（共1小题）
10．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　 　．
一十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2023•成都）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1　 　y2（填“＞”或“＜”）．
一十二．抛物线与x轴的交点（共1小题）
12．（2021•成都）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝　 　．
一十三．二次函数的应用（共1小题）
13．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 　 　；当2≤t≤3时，w的取值范围是 　 　．

一十四．全等三角形的性质（共1小题）
14．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　 　．

一十五．勾股定理（共2小题）
15．（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 　 　．
16．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　 　．

一十六．等腰直角三角形（共1小题）
17．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为 　 　．

一十七．垂径定理（共2小题）
18．（2023•成都）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 　 　名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）

19．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 　 　．

一十八．作图—基本作图（共2小题）
20．（2023•成都）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 　 　．

21．（2021•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 　 　．

一十九．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
22．（2023•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 　 　．
二十．轴对称-最短路线问题（共1小题）
23．（2022•成都）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为 　 　．

二十一．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
24．（2023•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若，则tanA＝　 　．

25．（2021•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 　 　；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 　 　．

二十二．位似变换（共1小题）
26．（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是 　 　．

二十三．由三视图判断几何体（共1小题）
27．（2023•成都）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 　 　个．

二十四．几何概率（共1小题）
28．（2022•成都）如图，已知⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 　 　．

二十五．列表法与树状图法（共1小题）
29．（2021•成都）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的概率是 　 　．


四川省成都市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．代数式求值（共1小题）
1．（2022•成都）已知2a2﹣7＝2a，则代数式（a﹣）÷的值为 　　．
【答案】．
【解答】解：原式＝（﹣）×
＝×
＝a（a﹣1）
＝a2﹣a，
∵2a2﹣7＝2a，
∴2a2﹣2a＝7，
∴a2﹣a＝，
∴代数式的值为，
故答案为：．
二．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
2．（2022•成都）计算：（﹣a3）2＝　a6　．
【答案】a6．
【解答】解：（﹣a3）2＝a6．
三．因式分解-提公因式法（共1小题）
3．（2023•成都）因式分解：m2﹣3m＝　m（m﹣3）　．
【答案】m（m﹣3）．
【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．
故答案为：m（m﹣3）．
四．因式分解-运用公式法（共1小题）
4．（2023•贵州）因式分解：x2﹣4＝　（x+2）（x﹣2）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
五．因式分解的应用（共1小题）
5．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 　15　；第23个智慧优数是 　57　．
【答案】15，57．
【解答】解：根据题意，且m﹣n＞1，当m＝3，n＝1，则第1个智慧优数为：32﹣12＝8，
当m＝4，n＝2，则第2个智慧优数为：42﹣22＝12，
当m＝4，n＝1，则第3个智慧优数为：42﹣12＝15．
正整数的平方分别为：1，4，9，16，25，36，49，64，81．
当m＝5，n＝3，则第3个智慧优数为：52﹣32＝16，
当m＝5，n＝2，则第3个智慧优数为：52﹣22＝21，
当m＝5，n＝1，则第3个智慧优数为：52﹣12＝24，
以此类推，
当m＝6时，有4个智慧优数，
同理m＝7时有5个，m＝8时，有6个，智慧优数虽然不会重复，但产生方式却会．举例：24是一个智慧数，却可以有两种方式产生：m＝7，n＝5和m＝5，n＝1．
又两数之间的差越小，平方越小，所以后面也有智慧优数比较小的，所以需要将智慧优数进行一一列出，并进行比较．
第22个智慧优数，当m＝9时，n＝5，第22个智慧优数为：92﹣52＝81﹣25＝56，
第23个智慧优数，当m＝11时，n＝8，第23个智慧优数为：112﹣82＝121﹣64＝57，
故答案为：15，57．
六．分式的化简求值（共1小题）
6．（2023•成都）若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为 　　．
【答案】．
【解答】解：（1﹣）÷
＝•
＝•
＝b（a﹣b）
＝ab﹣b2，
∵3ab﹣3b2﹣2＝0，
∴3ab﹣3b2＝2，
∴ab﹣b2＝，
当ab﹣b2＝时，原式＝．
故答案为：．
七．根与系数的关系（共1小题）
7．（2021•成都）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 　﹣3　．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n＝m2+2m+2m+2n＝1+2×（﹣2）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
八．解分式方程（共1小题）
8．（2022•成都）分式方程+＝1的解为 　x＝3　．
【答案】x＝3
【解答】解：去分母得：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
故答案为：x＝3．
九．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
9．（2021•成都）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）在第 　一　象限．
【答案】一．
【解答】解：∵在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴点P（3，k）在第一象限．
故答案为：一．
一十．反比例函数的性质（共1小题）
10．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　k＜2　．
【答案】k＜2．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
解得k＜2，
故答案为：k＜2．
一十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2023•成都）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1　＞　y2（填“＞”或“＜”）．
【答案】＞．
【解答】解：∵y＝中k＝6＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
一十二．抛物线与x轴的交点（共1小题）
12．（2021•成都）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝　1　．
【答案】1．
【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，
解得k＝1，
故答案为1．
一十三．二次函数的应用（共1小题）
13．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 　0≤w≤5　；当2≤t≤3时，w的取值范围是 　5≤w≤20　．

【答案】0≤w≤5；5≤w≤20．
【解答】解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，
∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，
∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．
∵20﹣15＝5，
∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；
当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，
∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．
故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．
一十四．全等三角形的性质（共1小题）
14．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　3　．

【答案】3．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝5，
∵CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
一十五．勾股定理（共2小题）
15．（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 　2　．
【答案】2．
【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，
∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴斜边c＝＝＝＝2，
故答案为：2．
16．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　100　．

【答案】100．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
一十六．等腰直角三角形（共1小题）
17．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为 　7　．

【答案】7．
【解答】解：设MN交BC于D，连接EC，如图：

由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE＝4，
∴∠ECB＝∠B＝45°，
∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，
在Rt△ACE中，
AE＝＝＝3，
∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，
故答案为：7．
一十七．垂径定理（共2小题）
18．（2023•成都）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 　184　名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）

【答案】184．
【解答】解：过O作OD⊥AB，D为垂足，

∴AD＝BD，OD＝5m，
∵cos∠AOD＝＝＝，
∴∠AOD＝60°，AD＝OD＝5m，
∴∠AOB＝120°，AB＝10m，
∴S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×10×5＝π﹣25≈61.4（m2），
∴61.4×3＝184（人）．
∴观看马戏的观众人数约为184人．
故答案为：184人．
19．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 　2　．

【答案】2．
【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：

在y＝x+中，令x＝0得y＝,
∴C(0,),OC＝,
在y＝x+中令y＝0得x+＝0,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),OA＝2,
Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝2，
故答案为：2．
一十八．作图—基本作图（共2小题）
20．（2023•成都）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 　　．

【答案】．
【解答】解：由作图知，∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1+＝，
∴△BDC的面积：△BAC的面积＝（）2＝，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
21．（2021•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 　1+　．

【答案】1+．
【解答】解：过点D作DH⊥AB，则DH＝1，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，

则CD＝DH＝1，
∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B＝45°，
则△DHB为等腰直角三角形，故BD＝HD＝，
则BC＝CD+BD＝1+，
故答案为：1+．
一十九．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
22．（2023•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 　（﹣5，﹣1）　．
【答案】（﹣5，﹣1）．
【解答】解：∵关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，﹣1）．
故答案为：（﹣5，﹣1）．
二十．轴对称-最短路线问题（共1小题）
23．（2022•成都）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为 　　．

【答案】．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点P″在线段EJ′上．

当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，
当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，
当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，
∵AE＝14．EC＝18，
∴AC＝32，AO＝OC＝16，
∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，
∵DE⊥CD，
∴∠DOE＝∠EDC＝90°，
∵∠DEO＝∠DEC，
∴△EDO∽△ECD，
∴DE2＝EO•EC＝36，
∴DE＝EB＝EJ＝6，
∴CD＝＝＝12，
∴OD＝＝＝4，
∴BD＝8，
∵S△DCB＝×OC×BD＝BC•DK，
∴DK＝＝，
∵∠BER＝∠DCK，
∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，
∴RB＝BE×＝，
∵EJ＝EB，ER⊥BJ，
∴JR＝BR＝，
∴JB＝DJ′＝，
∴DQ﹣P'Q的最大值为．
解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．
故答案为：．
二十一．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
24．（2023•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若，则tanA＝　　．

【答案】．
【解答】解：过点G作 GM⊥DE于M，如图，

∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴ED＝EC，
∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠DGE＝∠CGD，
∴△DGE∽△CGD，
∴，
∴DG2＝GE×GC，
∵∠ABC＝90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE，
∴AD∥GM，
∴＝，∠MGE＝∠A，
∵，
∴，
设GE＝3k，EM＝3n，则AG＝7k，DM＝7n，
∴EC＝DE＝10n，
∴DG2＝GE×GC＝3k×（3k+10n）＝9k2+30kn，
在Rt△DGM中，GM2＝DG2﹣DM2，
在Rt△GME中，GM2＝GE2﹣EM2，
∴DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，
即9k2+30kn﹣（7n）2＝（3k）2﹣（3n）2，
解得：k，
∴EM＝k，
∵GE＝3k，
∴GM＝＝＝k，
∴tanA＝tan∠EGM＝＝＝．
故答案为：．
25．（2021•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 　1　；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 　　．

【答案】1，．
【解答】解：如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J．

∵四边形ABFT是矩形，
∴AB＝FT＝4，BF＝AT，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝90°
∴AC＝＝＝4，
∵∠TFE+∠AEJ＝90°，∠DAC+∠AEJ＝90°，
∴∠TFE＝∠DAC，
∵∠FTE＝∠D＝90°，
∴△FTE∽△ADC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴TE＝2，EF＝2，
∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1，
设A′N＝x，
∵NM垂直平分线段EF，
∴NF＝NE，
∴12+（4﹣x）2＝32+x2，
∴x＝1，
∴FN＝＝＝，
∴MN＝＝＝，
补充求TE的第二种方法：
∵∠TFE＝∠DAC，
∴tan∠TFE＝tan∠CAD，
∴＝＝，
∵FT＝AB＝4，
∴ET＝2，
∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1．
故答案为：1，．
二十二．位似变换（共1小题）
26．（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是 　2：5　．

【答案】2：5．
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD＝2：3，
∴OA：OD＝2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
故答案为：2：5．
二十三．由三视图判断几何体（共1小题）
27．（2023•成都）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 　6　个．

【答案】6．
【解答】解：根据俯视图发现最底层有4个小立方块，从主视图发现第二层最多有2个小立方块，
故最多有4+2＝6（个）小立方块．
故答案为：6．
二十四．几何概率（共1小题）
28．（2022•成都）如图，已知⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 　　．

【答案】．
【解答】解：作OD⊥CD，OB⊥AB，如图：

设⊙O的半径为r，
∵⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆，
∴OB＝OC＝r，△AOB、△COD是等腰直角三角形，
∴AB＝OB＝r，OD＝CD＝r，
∴AE＝2r，CF＝r，
∴这个点取在阴影部分的概率是＝，
故答案为：．
二十五．列表法与树状图法（共1小题）
29．（2021•成都）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的概率是 　　．

【答案】．
【解答】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2k+3y）﹣（3x+2y+4k）＝x+y﹣2k，
画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的结果数为9，
所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的概率＝＝．
故答案为．