四川省成都市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份四川省成都市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共46页。试卷主要包含了，与x轴相交于点B，，B两点，与抛物线交于B，C两点，，点B关于y轴的对称点为B'等内容，欢迎下载使用。
四川省成都市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023•成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
二．反比例函数综合题（共3小题）
2．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．

3．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．

4．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

三．二次函数综合题（共3小题）
5．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+c经过点P（4，﹣3），与y轴交于点A（0，1），直线y＝kx（k≠0）与抛物线交于B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
（3）过点M（0，m）作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

6．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．
（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；
（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

7．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围．

四．三角形综合题（共1小题）
8．（2023•成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且＝（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF＝AB，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】
（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．

五．圆的综合题（共2小题）
9．（2022•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在上取一点E，使＝，连接DE，作射线CE交AB边于点F．
（1）求证：∠A＝∠ACF；
（2）若AC＝8，cos∠ACF＝，求BF及DE的长．

10．（2021•成都）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．

六．几何变换综合题（共2小题）
11．（2022•成都）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H．
【尝试初探】
（1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值．
【拓展延伸】
（3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）．


12．（2021•成都）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．

七．解直角三角形的应用（共1小题）
13．（2022•成都）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
14．（2021•成都）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）


四川省成都市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023•成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】（1）A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．
【解答】（1）设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意得：
，
解得：，
∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）设A种食材购买m千克，B种食材购买（36﹣m）千克，总费用为w元，由题意得：
w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，
∵m≥2（36﹣m），
∴24≤m≤36，
∵k＝8＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝24时，w有最小值为：8×24+1080＝1272（元），
∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．
二．反比例函数综合题（共3小题）
2．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．

【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝；
（2）直线AD的函数表达式为y＝﹣x+，点C的坐标为（4，）．
【解答】（1）∵一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），
∴a+＝3，
解得：a＝2，
∴A（2，3），
将A（2，3）代入y＝（x＞0），
得：3＝，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y＝x+中，令y＝0，得x+＝0，
解得：x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∵E（2，0），
∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BD，
∴DE＝BE＝4，
∴D（6，0），
设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，
∵A（2，3），D（6，0），
∴，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝﹣x+，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
∴点C的坐标为（4，）．

3．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．

【答案】（1）反比例函数的解析式为：y＝，点B（2，2）；
（2）BC的长为4或；
（3）点P（﹣4，﹣1），点Q（﹣1，5）．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+6的图象过点A，
∴4＝﹣2a+6，
∴a＝1，
∴点A（1，4），
∵反比例函数y＝的图象过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
∴反比例函数的解析式为：y＝，
联立方程组可得：，
解得：，，
∴点B（2，2）；
（2）如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，

∴AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴，
当＝时，则CF＝2AE＝2，
∴点C（﹣2，﹣2），
∴BC＝＝4，
当＝2时，则CF＝AE＝，
∴点C（﹣，﹣8），
∴BC＝＝，
综上所述：BC的长为4或；
（3）如图，当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，

∵直线y＝﹣2x+6与y轴交于点E，
∴点E（0，6），
∵点B（2，2），
∴BF＝OF＝2，
∴EF＝4，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，
∴∠BEF＝∠FBN，
又∵∠EFB＝∠BFN＝90°，
∴△EBF∽△BNF，
∴，
∴FN＝＝1，
∴点N（0，1），
∴直线BN的解析式为：y＝x+1，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点P（﹣4，﹣1），
∴直线AP的解析式为：y＝x+3，
∵AP垂直平分BQ，
∴设BQ的解析式为y＝﹣x+4，
∴x+3＝﹣x+4，
∴x＝，
∴点H（，），
∵点H是BQ的中点，点B（2，2），
∴点Q（﹣1，5）．
4．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

【答案】（1）点A的坐标为（0，5），反比例函数的表达式为
（2）点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）点P的坐标为 的值为3．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，
∴点A的坐标为（0，5），
将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，
∴a＝1，
∴B（1，4），
将B（1，4）代入y＝得，4＝，
解得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，

令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，
∴N（5，0），
∴OA＝ON＝5，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，5），B（1，4），
∴＝，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为y＝k1x+b1，
将M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+3，
设点C的坐标为（t，t+3），
∵•|xB﹣xC|＝，
解得t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
方法二：设点C的坐标为（t，t+3），
∴BC＝＝|1﹣t|，
∴S△ABC＝＝＝5，
∴t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组，
解得，或，
∴E（﹣4，﹣1），
画出图形如图所示，

∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，
∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，
∴b2＝﹣5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组得，或，
∴D（﹣1，﹣4），
则直线AD的解析式为y＝9x+5，
解方程组得，，
∴P（﹣，），
∴，
，
∴m＝．
三．二次函数综合题（共3小题）
5．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+c经过点P（4，﹣3），与y轴交于点A（0，1），直线y＝kx（k≠0）与抛物线交于B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
（3）过点M（0，m）作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+1；
（2）点B的坐标为（﹣4，﹣3）或（﹣2﹣2、5，﹣5﹣2，5）或（﹣2+2，﹣5+2）；
（3）存在，2或 ．
【解答】解：（1）将P（4，﹣3）、A（0，1）代入y＝ax2+c，
∴16a+1＝﹣3，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+1；
（2）设B（x，y），
∵P（4，﹣3），A（0，1），
∴AB＝，AP＝4，BP＝，
当AB＝AP时，4＝，
∵y＝﹣x2+1，
∴x＝4或x＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣3）；
当AB＝BP时，＝，
解得x＝﹣2+2或x＝﹣2﹣2，
∴B（﹣2+2，﹣5+2）或（﹣2﹣2，﹣5﹣2）；
综上所述：B点坐标为（﹣4，﹣3）或（﹣2+2，﹣5+2）或（﹣2﹣2，﹣5﹣2）；
（3）存在常数m，使得OD⊥OE始终成立，理由如下：
设B（t，kt），C（s，ks），
联立方程，
整理得x2+4kx﹣4＝0，
∴t+s＝﹣4k，t•s＝﹣4，
直线AB的解析式为y＝x+1，直线AC的解析式为y＝x+1，
∴D（，m），E（，m），
过D点作DG⊥x轴交于G点，过点E作EK⊥x轴交于K点，
∵∠DOE＝90°，
∴∠DOG+∠EOK＝90°，
∵∠DOG+∠ODG＝90°，
∴∠EOK＝∠ODG，
∴△DOG∽△OEK，
∴＝，
∴m2＝﹣，
∴m2＝4（m﹣1）2，
解得m＝2或m＝．

6．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．
（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；
（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【答案】（1）A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；
（2）k的值为或﹣；
（3）直线AB'经过定点（0，3），理由见解答过程．
【解答】解：（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，
由得：或，
∴A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；
（2）当k＞0时，如图：

∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，
∴OB'∥AB，
∴∠OB'B＝∠B'BC，
∵B、B'关于y轴对称，
∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，
∴∠OB'B＝∠OBB'，
∴∠OBB'＝∠B'BC，
∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，
∴△BOD≌△BCD（ASA），
∴OD＝CD，
在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），OC＝3，
∴OD＝OC＝，D（0，﹣），
在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∴B（，﹣），
把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：
﹣＝k﹣3，
解得k＝；
当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，如图：

在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴E（0，﹣3），OE＝3，
∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，
∴OE＝EF＝3，
∵B、B'关于y轴对称，
∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°，
∴∠FB'B＝∠FBB'，
∵B'F∥AB，
∴∠EBB'＝∠FB'B，
∴∠EBB'＝∠FBB'，
∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，
∴△BGF≌△BGE（ASA），
∴GE＝GF＝EF＝，
∴OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），
在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∴B（，﹣），
把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：
﹣＝k﹣3，
解得k＝﹣，
综上所述，k的值为或﹣；
（3）直线AB'经过定点（0，3），理由如下：
由得：x2+kx﹣3＝0，
设x2+kx﹣3＝0二根为a，b，
∴a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），
∵B、B'关于y轴对称，
∴B'（﹣b，﹣b2），
设直线AB'解析式为y＝mx+n，将A（a，﹣a2），B'（﹣b，﹣b2）代入得：
，
解得：，
∵a+b＝﹣k，ab＝﹣3，
∴m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3，
∴直线AB'解析式为y＝•x+3，
令x＝0得y＝3，
∴直线AB'经过定点（0，3）．
7．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围．

【答案】（1）y＝x2﹣x；
（2）（6，3）或（﹣1，）；
（3）C的横坐标为﹣t﹣+4；当t＜0时，点C的横坐标的取值范围是xC≥12．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点P的坐标为（2，﹣1），
∴h＝2，k＝﹣1，即抛物线y＝a（x﹣h）2+k为y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过O，即y＝a（x﹣2）2﹣1的图象过（0，0），
∴0＝a（0﹣2）2﹣1，解得a＝，
∴抛物线的函数表达为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣x；
（2）在y＝x2﹣x中，令y＝x得x＝x2﹣x，
解得x＝0或x＝8，
∴B（0，0）或B（8，8），
①当B（0，0）时，过B作BC∥AP交抛物线于C，此时∠ABC＝∠OAP，如图：

在y＝x2﹣x中，令y＝0，得x2﹣x＝0，
解得x＝0或x＝4，
∴A（4，0），
设直线AP解析式为y＝kx+b，将A（4，0）、P（2，﹣1）代入得：
，解得，
∴直线AP解析式为y＝x﹣2，
∵BC∥AP，
∴设直线BC解析式为y＝x+b'，将B（0，0）代入得b'＝0，
∴直线BC解析式为y＝x，
由得（此时为点O，舍去）或，
∴C（6，3）；
②当B（8，8）时，过P作PQ⊥x轴于Q，过B作BH⊥x轴于H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C，连接AM，如图：

∵P（2，﹣1），A（4，0），
∴PQ＝1，AQ＝2，
Rt△APQ中，tan∠OAP＝＝，
∵B（8，8），A（4，0），
∴AH＝4，BH＝8，
Rt△ABH中，tan∠ABH＝＝，
∴∠OAP＝∠ABH，
∵H关于AB的对称点M，
∴∠ABH＝∠ABM，
∴∠ABM＝∠OAP，即C是满足条件的点，
设M（x，y），
∵H关于AB的对称点M，
∴AM＝AH＝4，BM＝BH＝8，
∴，
两式相减变形可得x＝8﹣2y，代入即可解得（此时为H，舍去）或，
∴M（，），
设直线BM解析式为y＝cx+d，将M（，），B（8，8）代入得；
，解得，
∴直线BM解析式为y＝x+2，
解得或（此时为B，舍去），
∴C（﹣1，），
综上所述，C坐标为（6，3）或（﹣1，）；
（3）设BC交y轴于M，过B作BH⊥x轴于H，过M作MN⊥BH于N，如图：

∵点B的横坐标为t，
∴B（t，t2﹣t），又A（4，0），
∴AH＝|t﹣4|，BH＝|t2﹣t|，OH＝|t|＝MN，
∵∠ABC＝90°，
∴∠MBN＝90°﹣∠ABH＝∠BAH，
且∠N＝∠AHB＝90°，
∴△ABH∽△BMN，
∴＝，即＝
∴BN＝＝4，
∴NH＝t2﹣t+4，
∴M（0，t2﹣t+4），
设直线BM解析式为y＝ex+t2﹣t+4，
将B（t，t2﹣t）代入得t2﹣t＝et+t2﹣t+4，
∴e＝﹣，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+t2﹣t+4，
由得，
解得x1＝t（B的横坐标），x2＝﹣＝﹣t﹣+4，
∴点C的横坐标为﹣t﹣+4；
当t＜0时，
xC＝﹣t﹣+4
＝（）2+（）2+4
＝（﹣）2+12，
∴＝时，xC最小值是12，此时t＝﹣4，
∴当t＜0时，点C的横坐标的取值范围是xC≥12．
四．三角形综合题（共1小题）
8．（2023•成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且＝（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF＝AB，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】
（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．

【答案】（1）见解析过程；
（2）①＝，见解析过程；
②当点F在射线BC上时，，当点F在CB延长线上时，；
（3）点M运动的路径长为 ．
【解答】（1）证明：连接CD，

∵∠C＝90°，AC＝BC，AD＝DB，
∴AB＝AC，∠A＝∠B＝∠ACD＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB，
∵ED⊥FD，
∴∠EDF＝∠CDB＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE＝BF，
∴AE+BF＝AE+CE＝AC＝AB；
（2）①AE+BF＝AB，理由如下：
过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，

∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，
∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴＝，
设AN＝DN＝x，BH＝DH＝2x，
∴AD＝x，BD＝2x，
∴AB＝3x，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DHCN是矩形，
∴∠NDH＝90°＝∠EDF，
∴∠EDN＝∠FDH，
又∵∠END＝∠FHD，
∴△EDN∽△FDH，
∴＝，
∴FH＝2NE，
∴AE+BF＝x+NE+（2x﹣FH）＝2x＝AB；
②如图4，当点F在射线BC上时，过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，

∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，
∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴＝，
设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，
∴AD＝x，BD＝nx，
∴AB＝（n+1）x，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DHCN是矩形，
∴∠NDH＝90°＝∠EDF，
∴∠EDN＝∠FDH，
又∵∠END＝∠FHD，
∴△EDN∽△FDH，
∴＝，
∴FH＝nNE，
∴AE+BF＝x﹣NE+（nx+FH）＝2x＝AB；
当点F在CB的延长线上时，如图5，

∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，
∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴＝，
设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，
∴AD＝x，BD＝nx，
∴AB＝（n+1）x，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DHCN是矩形，
∴∠NDH＝90°＝∠EDF，
∴∠EDN＝∠FDH，
又∵∠END＝∠FHD，
∴△EDN∽△FDH，
∴＝，
∴FH＝nNE，
∴AE﹣BF＝x+NE﹣（FH﹣nx）＝2x＝AB；
综上所述：当点F在射线BC上时，，当点F在CB延长线上时，；
（3）如图，连接CD，CM，DM，

∵EF的中点为M，∠ACB＝∠EDF＝90°，
∴CM＝DM＝EF，
∴点M在线段CD的垂直平分线上运动，
如图，当点E'与点A重合时，点F'在BC的延长线上，
当点E'与点C重合时，点F″在CB的延长线上，
过点M'作M'R⊥F'C于R，

∴M'R∥AC，
∴＝，
∴M'R＝1，F'R＝CR，
设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，
∴AD＝x，BD＝nx，
∴AB＝（n+1）x＝2，
∴x＝，
∵F'D＝BD＝nx，
∴F'B＝2nx，
∴CF'＝2nx﹣2，
∴CR＝nx﹣1＝﹣1＝，
由（2）可得：CD＝＝x•，DF″＝nDE″＝nx•，
∴CF″＝（1+n2）x，
∴CM″＝＝＝，
∴RM″＝n，
∴M″M'＝，
∴点M运动的路径长为．
五．圆的综合题（共2小题）
9．（2022•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在上取一点E，使＝，连接DE，作射线CE交AB边于点F．
（1）求证：∠A＝∠ACF；
（2）若AC＝8，cos∠ACF＝，求BF及DE的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）BF＝5，DE＝．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠BCF＝∠FBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠FBC＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，
∴∠A＝∠ACF；

（2）解：连接CD．
∵∠A＝∠ACF，∠FBC＝∠BCF，
∴AF＝FC＝FB，
∴cos∠A＝cos∠ACF＝＝，
∵AC＝8，
∴AB＝10，BC＝6，
∵BC是直径，
∴∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，
∴CD＝＝，
∴BD＝＝＝，
∵BF＝AF＝5，
∴DF＝BF﹣BD＝5﹣＝，
∵∠DEF+∠DEC＝180°，∠DEC+∠B＝180°，
∴∠DEF＝∠B＝∠BCF，
∴DE∥CB，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝．

10．（2021•成都）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OC，如图：

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠BCO，
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图：

∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA，
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA，
∴∠BCM＝∠A，
∴tan∠BCM＝tanA，即＝，
∴＝，
解得BM＝﹣1，（BM＝+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A，∠BCM＝∠A，
∴∠BCD＝∠BCM，
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC，
∴△BCM≌△BCN（AAS），
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBN∽△DCM，
∴＝＝，
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2；
方法二：过C作CM⊥AB于M，连接OC，如图：

∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△MOC中，OM＝＝1，
∵∠DMC＝∠CMO＝90°，∠CDM＝90°﹣∠DCM＝∠OCM，
∴△DCM∽△COM，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
（3）过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图：

∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF，
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x，则MF＝2x，
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴（﹣1）+2x+x+（﹣2）＝2，
解得：x＝1，
∴HF＝1，MF＝2，
∴BF＝BM+MF＝（﹣1）+2＝+1．
六．几何变换综合题（共2小题）
11．（2022•成都）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H．
【尝试初探】
（1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值．
【拓展延伸】
（3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）．


【答案】（1）理由见解答；
（2）tan∠ABE的值是；
（3）tan∠ABE的值是或．
【解答】解：（1）∵四边形EBFG和四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠BEG＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEH＝90°，
∴∠DEH＝∠ABE，
∴△ABE∽△DEH，
∴在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系；
（2）如图1，∵H是线段CD中点，

∴DH＝CH，
设DH＝x，AE＝a，则AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a，
由（1）知：△ABE∽△DEH，
∴＝，即＝，
∴2x2＝4ax﹣a2，
∴2x2﹣4ax+a2＝0，
∴x＝＝，
∵tan∠ABE＝＝，
当x＝时，tan∠ABE＝＝，
当x＝时，tan∠ABE＝＝；
综上，tan∠ABE的值是．
（3）分两种情况：
①如图2，BH＝FH，

设AB＝x，AE＝a，
∵四边形BEGF是矩形，
∴∠BEG＝∠G＝90°，BE＝FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH（HL），
∴EH＝GH，
∵矩形EBFG∽矩形ABCD，
∴＝＝n，
∴＝n，
∴＝，
由（1）知：△ABE∽△DEH，
∴＝＝，
∴＝，
∴nx＝2a，
∴＝，
∴tan∠ABE＝＝＝；
②如图3，BF＝FH，

∵矩形EBFG∽矩形ABCD，
∴∠ABC＝∠EBF＝90°，＝，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴∠BCF＝∠A＝90°，
∴D，C，F共线，
∵BF＝FH，
∴∠FBH＝∠FHB，
∵EG∥BF，
∴∠FBH＝∠EHB，
∴∠EHB＝∠CHB，
∵BE⊥EH，BC⊥CH，
∴BE＝BC，
由①可知：AB＝x，AE＝a，BE＝BC＝nx，
由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，
∴x2+a2＝（nx）2，
∴x＝（负值舍），
∴tan∠ABE＝＝＝，
综上，tan∠ABE的值是或．
12．（2021•成都）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）8；
（2）；
（3）1．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上，
∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，
Rt△A'BC中，A'C＝＝4，
∴AA'＝AC+A'C＝8；
（2）过C作CE∥A'B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，如图：

∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A'BC'＝∠ABC，BC'＝BC＝3，
∵CE∥A'B，
∴∠A'BC'＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠ABC，
∴CE＝BC＝3，
Rt△ABC中，S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴CD＝＝，
Rt△CED中，DE＝＝＝，
同理BD＝，
∴BE＝DE+BD＝，C'E＝BC'+BE＝3+＝，
∵CE∥A'B，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝；
（3）DE存在最小值1，理由如下：
过A作AP∥A'C'交C'D延长线于P，连接A'C，如图：

∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，
∴∠BCC'＝∠BC'C，
而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC'，
∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C，
∴∠ACP＝∠A'C'D，
∵AP∥A'C'，
∴∠P＝∠A'C'D，
∴∠P＝∠ACP，
∴AP＝AC，
∴AP＝A'C'，
在△APD和△A'C'D中，
，
∴△APD≌△A'C'D（AAS），
∴AD＝A'D，即D是AA'中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA'C的中位线，
∴DE＝A'C，
要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，
∴DE最小为A'C＝1．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
13．（2022•成都）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

【答案】此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为19cm．
【解答】解：∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，
在Rt△ACO中，AC＝10cm，
∴AO＝2AC＝20（cm），
由题意得：
AO＝A′O＝20cm，
∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°﹣∠A′OB＝72°，
在Rt△A′DO中，A′D＝A′O•sin72°≈20×0.95＝19（cm），
∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为19cm．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
14．（2021•成都）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

【答案】见试题解答内容
【解答】解：延长BC交MN于点H，AD＝BE＝3.5，
设MH＝x米，

∵∠MEC＝45°，
∴EH＝x米，
在Rt△MHB中，tan∠MBH＝＝≈0.65，解得x＝6.5，
则MN＝1.6+6.5＝8.1≈8（米），
∴电池板离地面的高度MN的长约为8米．