四川省广安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份四川省广安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共29页。试卷主要包含了，连接AC、BC等内容，欢迎下载使用。
四川省广安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023•广安）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．
（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
三．反比例函数综合题（共1小题）
3．（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2023•广安）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．


五．平行四边形的判定（共1小题）
7．（2023•广安）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．

六．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2021•广安）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．

七．圆的综合题（共1小题）
9．（2023•广安）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sinC＝，DE＝5，求AD的长；
（3）求证：2DE2＝CD•OE．

八．作图—复杂作图（共1小题）
10．（2021•广安）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上．要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形
九．作图—应用与设计作图（共1小题）
11．（2023•广安）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．

一十．利用旋转设计图案（共1小题）
12．（2022•广安）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）

一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
13．（2023•广安）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．
（1）求步道DE的长度；
（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位）
（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）

一十二．列表法与树状图法（共3小题）
14．（2023•广安）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．

（1）本次抽取调查学生共有 　 　人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为 　 　人；
（2）请将以上两个统计图补充完整；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
15．（2022•广安）某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间（单位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的扇形统计图1和条形统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次随机调查的学生共有 　 　人，图1中m的值为 　 　．
（2）请补全条形统计图．
（3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生A1、A2、A3和1名男生B．为了解他们在家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到两名女生的概率，
16．（2021•广安）在中国共产党成立100周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下列问题：

（1）本次抽取调查的学生共有 　 　人，扇形统计图中表示C等级的扇形圆心角度数为 　 　．
（2）A等级中有2名男生，2名女生，从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．

四川省广安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
【答案】；﹣1．
【解答】解：（﹣a+1）÷
＝•
＝．
∵﹣2＜a＜3且a≠±1，
∴a＝0符合题意．
当a＝0时，原式＝＝﹣1．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023•广安）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．
（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）A种盐皮蛋每箱价格为30元，B种盐皮蛋每箱价格为20元；
（2）购买18箱A种盐皮蛋，12箱B种盐皮蛋才能使总费用最少，最少费用为780元．
【解答】解：（1）设A种盐皮蛋每箱价格为a元，B种盐皮蛋每箱价格为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种盐皮蛋每箱价格为30元，B种盐皮蛋每箱价格为20元；
（2）设购买A种盐皮蛋x箱，则购买B种盐皮蛋（30﹣x）箱，总费用为w元，
由题意可得：w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，
∴w随x的增大而增大，
∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
∴，
解得17.5≤x≤20，
∵x为整数，
∴当x＝18时，w取得最小值，此时w＝780，30﹣x＝12，
答：购买18箱A种盐皮蛋，12箱B种盐皮蛋才能使总费用最少，最少费用为780元．
三．反比例函数综合题（共1小题）
3．（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；
（2）（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．
【解答】解：（1）将A（1，n）、B（﹣3，0）分别代入一次函数y＝kx+，得
．
解得．
故A（1，3）．
将其代入反比例函数y＝，得
＝3．
解得m＝3．
故一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；

（2）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），则AB＝＝5．
设P（a，0），
当AB＝AP时，5＝．
解得a＝5或a＝﹣3（舍去）．
故P（5，0）；
当AB＝PB时，5＝|﹣3﹣a|．
解得a＝﹣8或a＝2．
故P（﹣8，0）或（2，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为：（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）b＝2，c＝3；（2）t＝2，最小值为4；（3）（，）．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），
则 ，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图，

∴AH＝PH＝＝t，即H（3﹣t，0），
又Q（﹣1+t，0），
∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ
＝
＝
＝（t﹣2）2+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC＝，AB＝4，
∴0≤t≤3，
∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；
（3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP．
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，
∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，
∴∠PMF＝∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，
∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t，
又OE＝3﹣t，
∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3，
解得：t＝或（舍），
∴M点的坐标为（，）．

5．（2023•广安）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）四边形ABCN面积的最大值是，此时点P的坐标为（﹣，0）；
（3）在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，Q的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；
（2）连接ON，如图：

设P（m，0），则N（m，m2+2m﹣3），
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴S四边形ABCN＝S△AON+S△BOC+S△CON
＝×3（﹣m2﹣2m+3）+×1×3+×3（﹣m）
＝﹣m2﹣m+6
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S四边形ABCN取最大值，
此时P（﹣，0）；
∴四边形ABCN面积的最大值是，此时点P的坐标为（﹣，0）；
（3）在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，
设Q（0，t），P（n，0），则M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），
∵MN∥CQ，
∴当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边；
①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN＝CQ，
∴，
解得（此时M，N与C重合，舍去）或；
∴Q（0，﹣1）；
②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM，
∴，
解得（舍去）或或，
∴Q（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）；
综上所述，Q的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）．
6．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．


【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；

（2）存在．
理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．

令y＝0，则x2+x﹣4＝0，
解得x＝﹣4或2，
∴A（﹣4，0），C（2，0），
∵B（0，﹣4），
∴OA＝OB＝4，
∵S△ABD＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；

（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；

∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，
∴AN＝NP1＝3，
∴P1（﹣1，3），
当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），
当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），
∴PJ＝AB＝2，
∴12+（n+2）2＝（2）2，
解得n＝﹣2或﹣﹣2，
∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．
五．平行四边形的判定（共1小题）
7．（2023•广安）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．

【答案】证明见解答．
【解答】证明：∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF．
∴AE＝CF．
∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
∴AB＝CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
六．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2021•广安）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．

【答案】（1）见解析；（2）．
【解答】解：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE＝∠DAE，
∴∠OEA＝∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠D，
又∠DAE＝∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴，
又tan∠EAD＝，
∴，
则AE＝2BE，又AB＝10，
在△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即（2BE）2+BE2＝102，
解得：BE＝，则AE＝，
∴，
解得：AD＝8，DE＝4，
∵OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴，
设BC＝x，
∴，
解得：x＝，
经检验：x＝是原方程的解，
故BC的长为．
七．圆的综合题（共1小题）
9．（2023•广安）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sinC＝，DE＝5，求AD的长；
（3）求证：2DE2＝CD•OE．

【答案】（1）证明见解答；
（2）AD的长为；
（3）证明见解答．
【解答】（1）证明：连接OD，BD，

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BE＝EC，
∵OB、OD是⊙O的半径，
∴OB＝OD，
又∵OE＝OE，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴半径OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，如图，

由（1）知：DE＝BE＝EC，∠ADB＝∠BDC＝∠ABC＝90°，
∵DE＝5，
∴BC＝10，
∵sinC＝，
∴＝，
∴BD＝8，
∵∠C+∠CBD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∴sin∠ABD＝sin∠C＝，
∴＝，
设AD＝4x，则AB＝5x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴（4x）2+82＝（5x）2，
解得：x＝（负值舍去），
∴AD＝4x＝4×＝；
（3）证明：连接BD，

由（1）（2）得：∠BDC＝∠OBE＝90°，BE＝DE，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE∥AC，BC＝2BE，
∴∠C＝∠OEB，
∴△BCD∽△OEB，
∴＝，即＝，
∴2DE2＝CD•OE．
八．作图—复杂作图（共1小题）
10．（2021•广安）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上．要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形
【答案】作图见解析部分．
【解答】解：如图，四边形ABCD即为所求．

九．作图—应用与设计作图（共1小题）
11．（2023•广安）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．

【答案】见解答．
【解答】解：如图：

一十．利用旋转设计图案（共1小题）
12．（2022•广安）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）

【答案】作图见解析部分．
【解答】解：图形如图所示：

一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
13．（2023•广安）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．
（1）求步道DE的长度；
（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位）
（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）

【答案】（1）步道DE的长度约为200米；
（2）某人从A出发，经过点B到达点D路程较近，理由见解答．
【解答】解：（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，

由题意得：四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝170米，
在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，
∴DE＝≈＝200（米），
∴步道DE的长度约为200米；
（2）小红从A出发，经过点B到达点D路程较近，
理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170米，
∴EF＝≈≈106.25（米），
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣30°＝60°，AC＝170米，
∴BC＝AC•tan60°＝170（米），
∴AB＝＝＝340（米），
∵BD＝100米，
∴CD＝BC+BD＝（170+100）米，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF＝DC＝（170+100）米，
∴AE＝AF﹣EF＝170+100﹣106.25＝287.8米米，
∴某人从A出发，经过点B到达点D路程＝AB+BD＝340+100＝440（米），
某人从A出发，经过点E到达点D路程＝AE+DE＝287.8+200＝487.8（米），
∵440米＜487.8米，
∴小红从A出发，经过点B到达点D路程较近．
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
14．（2023•广安）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．

（1）本次抽取调查学生共有 　60　人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为 　300　人；
（2）请将以上两个统计图补充完整；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
【答案】（1）60，300；
（2）补全图形见解答；
（3）．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生总人数为18÷30%＝60（人），
估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为3000×＝300（人），
故答案为：60，300；
（2）A选项人数为60×35%＝21（人），
C选项人数占被调查的总人数的百分比为×100%＝25%，
D选项人数占被调查总人数的百分比为×100%＝10%，
补全图形如下：

（3）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一类的结果数为4，
所以两人恰好选择同一类的概率为＝．
15．（2022•广安）某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间（单位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的扇形统计图1和条形统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次随机调查的学生共有 　40　人，图1中m的值为 　15　．
（2）请补全条形统计图．
（3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生A1、A2、A3和1名男生B．为了解他们在家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到两名女生的概率，
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）本次随机调查的学生共有4÷10%＝40（人），
m%＝1﹣（10%+7.5%+30%+37.5%）＝15%，即m＝15；
故答案为：40，15；
（2）1.2h的人数为40×15%＝6（人），
补全图形如下：

（3）列表如下：

A1
A2
A3
B
A1

（A2，A1）
（A3，A1）
（B，A1）
A2
（A1，A2）

（A3，A2）
（B，A2）
A3
（A1，A3）
（A2，A3）

（B，A3）
B
（A1，B）
（A2，B）
（A3，B）

共有12种可能的结果，恰好抽到两名女生的有6种结果，
所以抽到两名女生的概率为＝．
16．（2021•广安）在中国共产党成立100周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下列问题：

（1）本次抽取调查的学生共有 　50　人，扇形统计图中表示C等级的扇形圆心角度数为 　108°　．
（2）A等级中有2名男生，2名女生，从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）50，108°；
（2）．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有的人数为：24÷48%＝50（人），
∴扇形统计图中表示C等级的扇形圆心角度数为：360°×＝108°，
故答案为：50，108°；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8种，
∴恰好抽到一男一女的概率为＝．