四川省凉山州2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份四川省凉山州2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共31页。试卷主要包含了2023，y＝22022，阅读材料，阅读理解题等内容，欢迎下载使用。
四川省凉山州2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
1．（2023•凉山州）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x＝（）2023，y＝22022．
二．根与系数的关系（共1小题）
2．（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　．x1x2＝　 　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2022•凉山州）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
（1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
四．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα＝，则tanβ＝．
证明：设BE＝k，
∵tanα＝，
∴AB＝2k，
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tanβ＝＝＝，
若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
同理：若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．

五．二次函数综合题（共3小题）
5．（2023•凉山州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．直线y＝﹣3x+3过抛物线的顶点P．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线x＝m（﹣5＜m＜0）与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．
①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；
②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．

6．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2021•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求证：DA＝DC；
（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．

七．平行四边形的性质（共1小题）
9．（2023•凉山州）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．

八．菱形的判定与性质（共1小题）
10．（2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．

九．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．

一十．圆的综合题（共1小题）
12．（2022•凉山州）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝6．
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长；
（3）连接BM并延长交⊙M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．

一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
13．（2022•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

一十二．列表法与树状图法（共2小题）
14．（2023•凉山州）2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海泸山风景区（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．

请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择A、B、C、D四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择A的概率．
15．（2022•凉山州）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：

（1）该班的总人数为 　 　人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．

四川省凉山州2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
1．（2023•凉山州）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x＝（）2023，y＝22022．
【答案】2xy，1．
【解答】解：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y）
＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣2xy﹣2y2
＝2xy，
当x＝（）2023，y＝22022时，
原式＝2×（）2023×22022
＝2××（）2022×22022
＝2××（×2）2022
＝2××12022
＝2×
＝1．
二．根与系数的关系（共1小题）
2．（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　　．x1x2＝　﹣　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】（1），﹣；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，
故答案为：，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝，mn＝﹣，
∴
＝
＝
＝
＝；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝，st＝﹣，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），
（s﹣t）2＝，
∴s﹣t＝，
∴
＝
＝
＝
＝．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2022•凉山州）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
（1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
【答案】（1）A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；
（2）费用最少的方案是购买A种球拍20副，B种球拍10副，所需费用1120元．
【解答】解：（1）设A种球拍每副x元，B种球拍每副y元，
，
解得，
答：A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；
（2）设购买B型球拍a副，总费用w元，
依题意得30﹣a≥2a，
解得a≤10，
w＝40（30﹣a）+32a＝﹣8a+1200，
∵﹣8＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝10时，w最小，w最小＝﹣8×10+1200＝1120（元），
此时30﹣10＝20（副），
答：费用最少的方案是购买A种球拍20副，B种球拍10副，所需费用1120元．
四．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα＝，则tanβ＝．
证明：设BE＝k，
∵tanα＝，
∴AB＝2k，
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tanβ＝＝＝，
若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
同理：若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．

【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝；
（2）tan∠BAM＝，tan∠NAE＝；
（3）直线AE解析式为y＝x+1．
【解答】解：（1）设A（t，3t﹣9），
∴OM＝t，AM＝3t﹣9，
∵OA＝5，
∴t2+（3t﹣9）2＝52，
解得t＝4或t＝1.4，
∴A（4，3）或（1.4，﹣4.8）（此时A在第四象限，不符合题意，舍去），
把A（4，3）代入y＝（x＞0）得：
3＝，
解得m＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；
（2）在y＝3x﹣9中，令y＝0得0＝3x﹣9，
解得x＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝3，
由（1）知A（4，3），
∴OM＝4，AM＝3，
∴BM＝OM﹣OB＝4﹣3＝1，
∴tan∠BAM＝＝，
∵∠ANO＝∠NOM＝∠OMA＝90°，
∴∠MAN＝90°，
∵∠BAE＝45°，
∴∠BAM+∠NAE＝45°，
由若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝可得：
tan∠NAE＝；
（3）由（2）知tan∠NAE＝，
∴＝，
∵A（4，3），
∴AN＝4，ON＝3，
∴＝，
∴NE＝2，
∴OE＝ON﹣NE＝3﹣2＝1，
∴E（0，1），
设直线AE解析式为y＝kx+b，
把A（4，3），E（0，1）代入得：
，
解得，
∴直线AE解析式为y＝x+1．
五．二次函数综合题（共3小题）
5．（2023•凉山州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．直线y＝﹣3x+3过抛物线的顶点P．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线x＝m（﹣5＜m＜0）与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．
①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；
②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．

【答案】（1）抛物线函数解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）①m的值为﹣，EF的最大值为；
②E的坐标为（﹣4，5）或（﹣5，﹣2+6）或（﹣3，8）．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，
在y＝﹣3x+3中，令x＝﹣2得y＝9，
∴抛物线顶点为（﹣2，9），
设抛物线函数解析式为y＝a（x+2）2+9，
将A（1，0）代入得：
0＝9a+9，
解得a＝﹣1，
∴抛物线函数解析式为y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5；
（2）①如图：

在y＝﹣x2﹣4x+5中，令x＝0得y＝5，
∴C（0，5），
由B（﹣5，0），C（0，5）得直线BC解析式为y＝x+5，
∴E（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），
∴EF＝﹣m2﹣4m+5﹣（m+5）＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，EF取最大值，
∴m的值为﹣，EF的最大值为；
②∵E（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），C（0，5），
∴EF2＝（m2+5m）2，EC2＝m2+（m2+4m）2，FC2＝2m2；
若EF＝EC，则（m2+5m）2＝m2+（m2+4m）2，
解得m＝0（E与C重合，舍去）或m＝﹣4，
∴E（﹣4，5）；
若EF＝FC，则（m2+5m）2＝2m2，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣5或m＝﹣﹣5（不符合题意，舍去），
∴E（﹣5，﹣2+6）；
若EC＝FC，则m2+（m2+4m）2＝2m2，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣3或m＝﹣5（不符合题意，舍去），
∴E（﹣3，8）；
综上所述，E的坐标为（﹣4，5）或（﹣5，﹣2+6）或（﹣3，8）．
6．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）P（2，3）；
（3）点M的坐标为（0，）．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），

∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（1+t，4﹣t），
把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+3得：
﹣（1+t）2+2（1+t）+3＝4﹣t，
整理得t2﹣t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝1，
∴P（2，3）；

（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，
∴E点坐标为（1，﹣1），
∴点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），
连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，

设直线PF的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线PF的解析式为y＝x+，
∴点M的坐标为（0，）．
7．（2021•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）P（﹣，）；
（3）Q1（﹣，），Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣）．
【解答】解：（1）∵OC＝3OA，AC＝，∠AOC＝90°，
∴OA2+OC2＝AC2，即OA2+（3OA）2＝（）2，
解得：OA＝1，
∴OC＝3，
∴A（1，0），C（0，3），
∵OB＝OC＝3，
∴B（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，3）代入，
得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，
设直线BC解析式为y＝kx+n，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK•（t+3）+PK•（0﹣t）＝PK＝（﹣t2﹣3t），
S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，
∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝（﹣t2﹣3t）+6＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，四边形PBAC的面积最大，此时点P的坐标为（﹣，）；
（3）存在．如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方．
①当点Q在x轴上方时，P与Q纵坐标相等，
∴﹣x2﹣2x+3＝，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣（舍去），
∴Q1（﹣，），
②当点Q在x轴下方时，P与Q纵坐标互为相反数，
∴﹣x2﹣2x+3＝﹣，
解得：x1＝﹣，x2＝，
∴Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣），
综上所述，Q点的坐标为Q1（﹣，），Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣）．


六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求证：DA＝DC；
（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）6﹣6．
【解答】（1）证明：作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，如右图所示，
∵DE⊥AB，∠B＝90°，DG⊥BC，
∴∠DEB＝∠B＝∠BGD＝90°，
∴四边形DEBG是矩形，
又∵DE＝BE，
∴四边形DEBG是正方形，
∴DG＝BE，∠EDG＝90°，
∴DG＝DE，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴DA＝DC；
（2）∵∠ADE＝30°，AD＝6，∠DEA＝90°，
∴AE＝3，DE＝＝＝3，
由（1）知，△ADE≌△CDG，四边形DEBG是正方形，
∴DG＝DE＝3，AE＝CG＝3，BE＝DG＝BG＝3，
∴BC＝BG﹣CG＝3﹣3，AB＝AE+BE＝3+3，
∵FE⊥AB，BC⊥AB，
∴FE∥CB，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得EF＝6﹣3，
∴DF＝DE﹣EF＝3﹣（6﹣3）＝3﹣6+3＝6﹣6，
即DF的长是6﹣6．

七．平行四边形的性质（共1小题）
9．（2023•凉山州）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴▱ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
（2）解：由（1）可知，▱ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝8，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∴OB＝＝＝6，
∵BE⊥AB，
∴∠EBA＝90°，
∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BEO＝∠ABO，
∴△BOE∽△AOB，
∴＝，
即＝，
解得：OE＝，
即OE的长为．
八．菱形的判定与性质（共1小题）
10．（2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）AC的长为10．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
∴AB•AC＝40，
∴×8•AC＝40，
∴AC＝10，
∴AC的长为10．
九．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．

【答案】（1）详见解答；
（2）．
【解答】解：（1）连接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°,
又∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝4＝EM，
DE＝＝2，
∵∠DEB＝∠1，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BEA，
∴＝＝，
设BD＝x，则BE＝2x，
在Rt△BOE中，由勾股定理得，
OE2+BE2＝OB2，
即52+（2x）2＝（5+x）2，
解得x＝，
∴S△BDE＝BD•EM
＝××4
＝．

一十．圆的综合题（共1小题）
12．（2022•凉山州）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝6．
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长；
（3）连接BM并延长交⊙M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．

【答案】（1）⊙M与x轴相切．
（2）AB＝6．
（3）直线CD的解析式为：y＝﹣x+2．
【解答】解：（1）猜测⊙M与x轴相切，理由如下：
如图，连接OM，
∵AC平分∠OAM，
∴∠OAC＝∠CAM，
又∵MC＝AM，
∴∠CAM＝∠ACM，
∴∠OAC＝∠ACM，
∴OA∥MC，
∵OA⊥x轴，
∴MC⊥x轴，
∵CM是半径，
∴⊙M与x轴相切．
（2）如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
∴AN＝BN＝AB，
∵∠MCO＝∠AOC＝∠MNA＝90°，
∴四边形MNOC是矩形，
∴NM＝OC，MC＝ON＝5，
设AO＝m，则OC＝6﹣m，
∴AN＝5﹣m，
在Rt△ANM中，由勾股定理可知，AM2＝AN2+MN2，
∴52＝（5﹣m）2+（6﹣m）2，
解得m＝2或m＝9（舍去），
∴AN＝3，
∴AB＝6．
（3）如图，连接AD与CM交于点E，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∴AD∥x轴，
∴AD⊥MC，
由勾股定理可得AD＝8，
∴D（8，﹣2）．
由（2）可得C（4，0），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得．
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+2．

一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
13．（2022•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

【答案】压折前该输电铁塔的高度是（8+8+8）米．
【解答】解：由已知可得，
BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AD＝8米，
∴BD＝＝＝8（米），
∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，
∴∠C＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝8米，
∴BC＝＝＝8（米），
∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+8+8）米，
答：压折前该输电铁塔的高度是（8+8+8）米．

一十二．列表法与树状图法（共2小题）
14．（2023•凉山州）2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海泸山风景区（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．

请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择A、B、C、D四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择A的概率．
【答案】（1）600；
（2）见解答；
（3）．
【解答】解：（1）60÷10%＝600（人），
所以本次参加抽样调查的游客有600人；
（2）C景点的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
C景点的人数所占的百分比为×100%＝20%，
A景点的人数所占的百分比为×100%＝30%，
两幅不完整的统计图补充为：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，他第一个景区恰好选择A的结果数为3，
所以他第一个景区恰好选择A的概率＝＝．
15．（2022•凉山州）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：

（1）该班的总人数为 　50　人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
【答案】（1）50，补全图形见解答；
（2）．
【解答】解：（1）该班总人数为12÷24%＝50（人），
则选择“演讲”人数为50×16%＝8（人），
补全图形如下：

故答案为：50；
（2）设美术社团为A，演讲社团为B，声乐社团为C．画树状图为：

由树状图知，共有12种等可能的结果数，其中选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的有4种结果，
所以选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率为＝．