湖北省部分市州2022-2023学年高二下学期期末联合调研考试数学试卷

高二数学参考答案

一、单项选择题

8．解：由知，由知，由知，

    则，．下面比较和的大小：

    法1：设，，，

    设，，，

    易知在上单调递增，则，所以在上单调递减，，即在上恒成立，则在上单调递减，由，则，即，则，故选B．

    法2：设，，，在同一直角坐标系下作出函数和的简图，如图所示．

    时，，即在上恒成立，后同法1．

    法3：泰勒展开式

    ，，由知，故选B．

二、多项选择题

12．解：在平面中，若，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，那么在空间中，点的轨迹为椭球面（点不在平面上）．

    ，A错误．当过点的直线与圆相切时，取最大值，此时，且为锐角，所以的最大值为，B正确．

    若，则平面，因，则直线，与平面所成的角相等，不合题意，C正确．对于选项D，作平面，为垂足，则，，设，则，，由知，即，则

    ，D正确，答案为BCD．

三、填空题

13．（备注：0.052也可以）            14．60 

15．（2分），（3分）          16．2

16．法1：不等式可化为，由，知，则时，恒成立．

    设，，，设，，，则在上单调递增，，，则在上存在唯一的零点，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，且，化简得，因，则，则整数的最大值为2．

法2：设，，，直接考虑的情形，

由得，则在上单调递减，在上单调递增，

则，令，，，则在上单调递减，，，则整数的最大值为2．

法3：特殊值法，取，过程略．

四、解答题

17．解：（Ⅰ）设数列的公比为，则，                            ……2分

即，则，                                          ……4分

所以数列的通项公式为．                                          ……5分

或：设数列的公比为，则，                              ……2分

解得，                                                          ……4分

所以数列的通项公式为．                                          ……5分

（Ⅱ）                                              ……6分

则                                                ……8分

所以．                  ……10分

18．解：（Ⅰ），由得或                  ……3分                          则在，上单调递增，在上单调递减．              ……5分

（Ⅱ）依题知，在上有变号零点                       ……7分

由，得，令              ……8分

在上单调递增，在上单调递减                                ……9分

且，，

则.                                                             ……12分

或：依题知，在上有变号零点                         ……7分

借助函数图象可知，解得.                    ……12分

19．解：（Ⅰ）在图1中，，由知

，即                                                   ……2分

在图2中，由，，，知平面

由平面，得平面平面.                                 ……4分

或：在中，，，由余弦定理得，

在中，由正弦定理知，，且为锐角，

则，，即                                   ……2分

下同法1（略）

     （Ⅱ）以为原点，所在直线为轴，过且垂直于底面所在直线为轴，建系

则，设

，则

　                          ……6分                 

设平面的法向量为，

则有，即，

则，令，所以                          ……8分

同理可得平面的一个法向量为                             ……10分

解得或（舍），则存在这样的点，且.                      ……12分

20．解：（Ⅰ）整理得到如下列联表：                                               ……1分

则                                                ……3分

    由解得，则                   ……5分

故男生人数可能为32、36、40、44、48.                                        ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，共调查64人，热爱篮球运动的男生、女生各有24人、16人    ……7分

参加志愿活动的10人中，男生有6人，女生有4人                              ……8分

由题意知服从超几何分布                                                  ……9分

      概率分布为，                               ……11分

均值.                                                      ……12分

（Ⅱ）中概率分布的另外形式：可取0，1，2，3，4

则的分布列为

21．解：（Ⅰ）由题知准线方程为，则，得.              ……3分                                      

（Ⅱ）抛物线的方程为，点的坐标为，依题知过点的直线斜率必存在

设过点的直线方程为，圆心到该直线的距离为      ……5分

由直线与圆相切，所以，解得                     ……6分

联立，消得，设，

不妨设，     ……8分

故，，得，

所以直线:，即                  ……10分

圆心到直线的距离为，

所以.                                            ……12分

（Ⅱ）另解：易知，设，，，

则直线的方程为，即，       ……6分

同理，直线的方程为                              

直线的方程为                                 ……7分

则，即和是方程的两个根， ……9分

则，，所以直线的方程为                ……10分

圆心到直线的距离为

    此时

所以.                                            ……12分

22．解：（Ⅰ），令得

      ，令得                                       ……2分

当时，在单调递减，在单调递增，所以

      在单调递减，在单调递增，所以

      由，得                                                         ……4分

当时，在单调递增，在单调递减，无最小值，不合题意

综上所述，.                                                           ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，，则直线与、最多有4个交点.

当时，令，则在上单调递增，当时，，，则在上有唯一的零点，即存在，使得，取满足题意，使得直线与恰有三个交点，       ……7分

分别记为，不妨设，由得，即.要证，即证

而，即              ……8分

由得，即，又，，，

而在单调，所以.                                          ……10分

又由得，即，又，，

      而在单调，所以.

由，得，原命题得证.                       ……12分