2022-2023学年天津市河北区高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市河北区高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列事件中，是随机事件的是(    )
明天本市会下雨；
投掷颗质地均匀的骰子，点数之和为；
抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；
个人中至少有个人的生日在同一个月．

A.  B.  C.  D.

2.  是虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

3.  已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，已知中，为的中点，，若，则(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  设、、、是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是(    )

A. 相交
B. 平行
C. 异面
D. 无法确定

7.  设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为(    )

A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

8.  从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，则向量与向量垂直的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  一度跌入低谷的中国电影市场终于在兔年春节迎来了大爆发年春节档除夕至大年初六，在满江红流浪地球熊出没伴我“熊芯”无名深海交换人生等电影的带动下，全国票房累计亿，超越年同期票房成绩，仅次于年成为史上第二强春节档以下是历年的观影数据，下列选项正确的是(    )

 

A. 年春节档平均每场观影人数比年春节档平均每场观影人数多
B. 这年中，每年春节档上映新片数量的众数为
C. 这年中，每年春节档票房的极差为亿元
D. 这年春节档中，平均每部影片的观影人数最多的是年

10.  如图，在三棱锥中，，平面，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  是虚数单位，化简的结果为______ ．

12.  某同学进行投篮训练，在甲、乙两个不同的位置投中的概率分别为，，该同学站在这两个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值为______ ．

13.  某校举行演讲比赛，位评委对一名选手的评分数据如下：，，，，，，，，，，根据以上数据，估计该选手得分的样本数据的第百分位数是______ ．

14.  正方体中，异面直线与所成角的大小为______．

15.  如图所示，为了测量、处岛屿的距离，小明在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两处岛屿的距离为______海里．

三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红球标号为和，个绿球标号为和，从袋中不放回地依次随机摸出个球设事件“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”．
用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
写出事件与，与之间的关系；
写出事件与事件的并事件与事件的关系．

17.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，满足，，．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ求的值及的面积．

18.  本小题分
某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这名学生的打分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，，．
求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于分的人数；
试估计该校学生满意度打分的众数、中位数中位数保留小数点后位；
若采用分层随机抽样的方法，从打分在的学生中随机抽取人了解情况，再从中选取人进行跟踪分析，求这人打分都在的概率．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点是对角线与的交点，，，是的中点．

 
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面平面；
Ⅲ当三棱锥的体积等于时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查随机事件的定义，即可求解．
根据已知条件，结合随机事件的定义，即可求解．
【解答】
解：由题可知，可能发生，也可能不发生，是随机事件，
不可能发生，是不可能事件，
一定发生，是必然事件．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：是纯虚数，
，．
故选：．
由纯虚数的概念得到关于的关系式，求解即可．
本题考查复数的概念，还考查了数学计算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：向量，，
则，
由，得，
解得．
故选：．
利用向量线性运算的坐标表示，和向量共线的坐标表示，求解参数．
本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，母线长为，
则该圆锥的侧面积为
．
故选：．
根据圆锥的底面半径和母线长计算侧面积即可．
本题考查了圆锥的侧面积计算问题，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：



，
，，
，
故选：．
利用平面向量的基本运算即可用和线性表示出，从而求出，的值．
本题主要考查了平面向量的基本运算，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：解法一：如图，延长使，

因为，，，为棱的中点，
所以延长，都会交中点处，
所以直线和直线的位置关系为相交．
解法二：如图所示，连接，，

则易得平行且等于，平行且等于倍，
所以平行且等于倍，
所以四边形为梯形，
所以直线和直线的位置关系是相交．
故选：．
解法一：在长方体中，延长，，，即会得到直线和直线的位置关系．
解法二：证明平行等于二分之一，即可判断．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：选项A，若，，，则或与相交，即A错误；
选项B，若，，，则或与异面，即B错误；
选项C，若，，，则或，即C错误；
选项D，因为，，所以，又，所以，即D正确．
故选：．
根据空间中线与面的位置关系，逐一判断选项，即可．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟练掌握线与面的位置关系分类，线面垂直的性质定理是解题的关键，考查空间立体感，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，基本事件总数．
当向量与向量垂直时，，满足条件的基本事件有，，共两个，
则所求概率．
故选：．
先求出基本事件的个数，然后求解满足向量的个数，结合古典概率的求解公式可求．
本题主要考查了向量垂直的坐标表示及古典概率的求解公式的简单应用属于基础试题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，年春节档平均每场观影人数为，
年春节档平均每场观影人数为，故A错误；
对于，这年中，每年春节档上映新片的数量从小到大排列为，，，，所以众数为，故B错误；
对于，这年中，每年春节档票房的极差为亿元，故C错误；
对于，这年平均每部影片的观影人数依次为万，万，万，万，故D正确．
故选：．
计算年，年春节档平均每场观影人数可判断；求得这年中，每年春节档上映新片的数量的众数可判断；求出这年中，每年春节档票房的极差可判断；求出这年平均每部影片的观影人数可判断．
本题考查统计相关知识，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：在三棱锥中，，平面，，为的中点，
以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，，，
平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
．
直线与平面所成角的余弦值为．
故选：．
以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的余弦值．
本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用复数的除法运算求解作答．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意，投篮两次都不中的概率为，解得，
所以的值为．
故答案为：．
利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算作答．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：依题意，评分数据由小到大排列为：，，，，，，，，，，
而，所以该选手得分的样本数据的第百分位数是．
故答案为：．
把给定数据由小到大排列，再根据第百分位数的意义求解作答．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，，，为异面直线和直线所成的角，
在正方体中，设棱长为，则，
为等边三角形，
故答案是．
连接，证明为异面直线和直线所成的角，在中求．
本题主要考查了空间两异面直线及其所成的角的求法，根据异面直线所成角的定义，寻找平行线是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．
分别在和中利用正弦定理计算，，再在中利用余弦定理计算．
【解答】连接，由题意可知

，，，，，
，，
在中，由正弦定理得，，
在中，
，，
．
在中，由余弦定理得
故答案为：．  

16.【答案】解：用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，
所以试验的样本空间，，，，，，，，，，，，
事件，，事件，，事件，，，，
事件，，，，，，，．
由知，，而，所以事件，互斥，不对立；
，，所以事件，互为对立事件．
由知，，所以事件是事件与事件的并事件． 

【解析】利用列举法列出试验的样本空间，再分别列出各事件的基本事件作答．
利用互斥事件与对立事件的定义逐个判断作答．
根据事件分析事件的并事件及关系作答．
本题考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题．
 

17.【答案】解：Ⅰ，，
由余弦定理得，可得，
，
，．
Ⅱ，，，
，可得，
． 

【解析】Ⅰ由余弦定理和，可求得，值．
Ⅱ由余弦定理可求的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求的值，利用三角形的面积公式即可求解三角形的面积．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图可知，
，解得．
该校学生满意度打分不低于分的人数为：．
众数：；
，所以中位数为：．
由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为和，
分层抽样抽取人，则打分在和内分别抽取人和人，
从人中选取人进行跟踪分析，这人打分都在的概率． 

【解析】由频率分布直方图的概率和为求出的值，再由频数频率概率得出打分不低于分的人数；
由众数、中位数的定义求解；
先由分层抽样，找到每一组抽取的人数，再根据古典概型求出概率即可．
本题主要考查频率分布直方图，分层抽样方法，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：Ⅰ在中，因为，分别是，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
Ⅱ因为底面是菱形，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面．
又平面，
所以平面平面．
解：Ⅲ因为底面是菱形，且，，
所以．
又，三棱锥的高为，
所以，
解得． 

【解析】本题考查线面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
Ⅰ由中位线定理可知，故而平面；
Ⅱ由菱形的性质得，由平面得，故BD平面，于是平面平面；
Ⅲ根据，计算出代入体积公式得出棱锥的高．