2022-2023学年贵州省毕节市织金九中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省毕节市织金九中高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若随机变量满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  现有甲部门的员工人，乙部门的员工人，丙部门的员工人，从这三个部门的员工中任选人参加接待客户的活动，不同的选法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知直线：与圆：交于，两点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知变量关于的回归直线方程为，相关系数为，则下列选项正确的是(    )

A. 若，则与是正相关
B. 若接近，则表示与的相关性很强
C. 若，则
D. 若变量增大一个单位，则变量就一定增加个单位

5.  一排有个空座位，有人各不相邻而坐，则不同的坐法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6.  被除的余数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，每年的月日是我国法定的植树节某班名男同学和名女同学约定周末一起去植树，现需将人分成三组，每组人，各小组内人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水，且男同学甲与女同学乙不在同一个小组，则不同的安排方法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知，则(    )

A.
B. 若越大，则越小
C.
D.

10.  随机变量的分布列为

若，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则下列结论错误的为(    )

A. 是正三棱锥
B. 直线平面
C. 直线与所成的角是
D. 二面角为

12.  已知抛物线：，其准线为，焦点为，过点作两条互相垂直的直线和，设交抛物线于，两点，交抛物线于，两点，为坐标原点，则(    )

A. 为定值 B. 延长交准线于点，则轴
C.  D. 四边形面积的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知与独立，且，则 ______ ．

14.  已知，则的一个取值可能是______ ．

15.  已知展开式的二项式系数和为，则 ______ ；展开式中的系数为______ ．

16.  公司要从名男性员工和名女性员工中随机选出人去出差，设抽取的人中女性员工的人数为，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
被赞誉为“波士顿比利”的美国知名跑者比尔罗杰斯曾经说过：“跑步是全世界最棒的运动”坚持跑步可以增强体质、提高免疫力、改善精神状态某数学兴趣小组从某地大学生中随机抽取人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如表所示．

分别估计该地男、女大学生喜欢跑步的概率；
能否有的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关？
参考公式：，其中．
参考数据：

18.  本小题分
某班举行“党史知识”竞赛，共个填空题，每题分，满分分李明参加该竞赛，其中前个题能答对，后个题能答对的概率分别为，，．
求李明最终获得满分的概率；
设李明的最终得分为，求的分布列．

19.  本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为菱形，．
证明：C.
若，，，求平面与平面夹角的余弦值．

20.  本小题分
已知的展开式中所有二项式系数之和为．
求的展开式中所有项的系数和；
求的展开式中所有有理项．

21.  本小题分
某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过次试销得到了销量单位：百万盒与单价单位：元盒的如下数据：

根据以上数据，求关于的经验回归方程；
在所有顾客中随机抽取部分顾客人数很多进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”“体验不满意”的各占，然后在所有顾客中随机抽取人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的人中“体验非常好”的人数为随机变量，求的分布列和均值．
参考公式：回归方程，其中，．
参考数据：，．

22.  本小题分
已知双曲线：的左、右顶点分别为，，且顶点到渐近线的距离为，点是双曲线右支上一动点不与重合，且满足，的斜率之积为．
求双曲线的方程．
过点的直线与双曲线交于轴上方的，两点，若是线段的中点，是线段上一点，且，为坐标原点，试判断直线，的斜率之积是否为定值若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：随机变量满足，则．
故选：．
根据离散型随机变量的方差的性质即可求解．
本题考查离散型随机变量的方差的性质，是中档题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由现有甲部门的员工人，乙部门的员工人，丙部门的员工人，
从这三个部门的员工中任选人参加接待客户的活动，
结合分类计数原理，可得共有种不同的选法种数．
故选：．
根据题意，结合组合数公式和分类计算原理，即可求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为圆：的圆心为，半径，
且圆心到直线：的距离，
所以．
故选：．
先求圆的圆心和半径，再用点到直线的距离公式求点到直线的距离，再利用弦长公式求．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项，若，则与是正相关，A错误；
选项，若接，则表示与的相关性很强，B错误；
选项，若，则与是正相关，，C正确；
选项，线性回归方程为估计值，不知准确值，D错误．
故选：．
根据回归方程和相关系数的定义逐项判断即可．
本题考查回归方程和相关系数的概念，是中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：首先拿出个空座位，则四个空座位之间一共有个空位置，包括两端，
从个空位置中选出个空位置，即，然后人全排列为，
所以不同的坐法共有种．
故选：．
根据题意，由插空法即可得到结果．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，即能被整除，
又由，
所以被除的余数为．
故选：．
根据能被整除，化简，结合二项展开式，即可求解．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限，
联立，可解得，
，，又，
，，
又，，
，
，
，
，
，又，
该椭圆的离心率．
故选：．
先联立直线方程与椭圆方程，求出，的坐标，再通过得，从而建立方程，再化归转化，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为每组人，各小组内人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水，
所以每组中男女分配只有一种可能，即两个男生和一个女生，
若男同学甲与女同学乙在同一个小组，再从个男生中抽取一个男生，有中，
剩余的分成两组，共有种分法，所以共有分法，
若将个男生和个女生，分为组，且每组中两个男生和一个女生，
共有分法，
所以男同学甲与女同学乙不在同一个小组的不同分法，共有种分法，
又因为每组中的两名男生有种不同的分配情况：
所以不同的安排方法种数为种．
故选：．
根据题意得到每组中两个男生和一个女生，先求得男同学甲与女同学乙不在同一个小组，有分法，再求得将个男生和个女生，分为组，结合平均分组的计算方法，求得有分法，进而得到男同学甲与女同学乙不在同一个小组的不同分法为种分法，再根据每组中的两名男生有种不同的分配情况，即可求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意，，所以，
所以，选项正确．越大，正态分布的最高点越矮，远离的数据越多，越小，选项正确．
根据正态分布的对称性可知，选项正确．，选项错误．
故选：．
根据正态分布的对称性等知识求得正确答案．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
由可得，，故A正确，B错误；
又因为，故D正确，C错误．
故选：．
根据，可得，再由可得，解出，的值，再由方差的公式计算即可．
本题考查了随机变量的分布列、方差的计算公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，如图所示：

为等边三角形，
又、、两两垂直，面，．
过作底面的垂线，垂足为，连接交于，
由三垂线定理可知，为中点，
同理可证，连接交于，则为中点，
为底面中心，是正三棱锥，故A正确；
对于，将正四面体放入正方体中，如图所示，

显然与平面不平行．则选项错误；
对于，和成的角，即为和成的角，
即，故C正确；
对于，如图，没的中点为，连接，，

则根据题意可知，，
即为二面角的平面角，
设正四面体的棱长为，
则易证，，
，
，选项错误．
故选：．
根据正三棱锥的概念，线面平行的判定定理，异面直线所成角的概念，二面角的概念，即可分别求解．
本题考查正三棱锥的概念，线面平行的判定定理，异面直线所成角的概念，二面角的概念，化归转化思想，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，若直线过点，设直线的方程为，
与抛物线方程联立，可得，易得，所以，
对于，，为定值，所以选项正确；
对于，由得，则，所以轴，所以选项正确；
对于，，，
，故C选项错误；
对于，设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为或，
由抛物线的性质可得，，
，
当且仅当时，等号成立，所以选项正确．
故选：．
利用抛物线的几何性质，逐项计算判断即可得结论．
本题考查抛物线的性质，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由于与独立，所以，
所以．
故答案为：．
根据相互对立满足的关系，结合条件概率的计算公式即可求解．
本题考查条件概率相关知识，属于基础题．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，即，
则或或或均可．
故的一个取值可能是．
故答案为：答案不唯一．
根据题意，找出合适的例子即可．
本题考查组合数公式，属于基础题．
 

15.【答案】  

【解析】解：因为二项式 展开式的二项式系数和为，
由二项展开式的二项式系数的性质，可得，解得，
又由展开式的通项为，
令，可得，
所以展开式中的系数为．
故答案为：；．
根据二项式系数的性质，得的，求得的值，再由二项展开式的通项，进而求得展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为从名男性员工和名女性员工中随机选出人去出差，抽取的人中女性员工的人数为，
则，，
．
故答案为：．
由已知结合古典概率公式先求出及，然后结合互斥事件的概率公式可求．
本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：由题意可得样本中女大学生有人，则女大学生喜欢跑步的频率是，
故该地女大学生喜欢跑步的概率是，
由题意可知样本中喜欢跑步的男大学生有人，则男大学生喜欢跑步的频率是，
故该地男大学生喜欢跑步的概率是；
由题意可得，
查表可得，
由于，所以有的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关． 

【解析】由表格可得男女生中喜欢跑步的人数，继而可求对应概率；
由数据计算卡方，参照卡方表即可判定结果．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：李明最终获得满分的概率为．
前个题得分分；
后个题，得分可能是，，，，
所以的可能取值为，，，，
所以，，，．
所以的分布列为：

【解析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案．
先求得的可能取值，然后利用相互独立事件概率计算公式求得的分布列．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，属于基础题．
 

19.【答案】解：证明：连接，交于，连接，
因为侧面为菱形，则，
而，为的中点，即有，
又，且，平面，
于是平面，而平面，
所以C.
设，而，有，，
又，则，即有，
因此，即，，两两垂直，
分别以射线，，的方向为，，轴的正方向，建系如图，

则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，
显然平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为． 

【解析】连接，交于点，连接，证明出平面，再利用线面垂直的性质推理作答．
以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出两个平面夹角的余弦作答．
本题考查线线垂直的证明，线面垂直的判定定理与性质，向量法求解面面角问题，化归转化思想，属中档题．
 

20.【答案】解：因为的展开式中所有二项式系数之和为，
所以，得到，
所以，
令，得到，
所以的展开式中所有项的系数和为；
因为二项展开式的通项公式为，
即，
所以当或或或时，为有理项，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
的展开式中所有有理项为． 

【解析】先利用条件求出，再利用赋值法即可求出结果；
利用通项公式即可直接求出结果．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：根据表格数据可得，，，根据附注公式：，
于是，
故经验回归方程为：；
依题意，可能的取值为，，，，，，，，，
由于顾客人数很多，可近似认为服从二项分布，即，，其中．
故，，，，，，，，．
分布列为：

根据二项分布的期望公式，． 

【解析】先求出，结合附录的数据和公式即可计算出回归直线方程；
由题可知，近似服从二项分布，根据步骤写出每个取值对应的概率，然后根据二项分布的期望公式计算即可．
本题考查经验回归方程以及离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：渐近线方程为，
因为顶点到渐近线的距离为，
所以，
所以，
所以，
设，
，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
所以，
所以，，，
所以双曲线的方程为．
设直线的方程为，，，
联立，得，
，得，
因为直线与双曲线交于轴上方的，两点，
所以，即，解得，
又，
所以，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，为定值． 

【解析】由顶点到渐近线的距离为，得，则，设，则，由于点在双曲线上，则，解得，，，即可得出答案．
设直线的方程为，，，联立双曲线方程，结合韦达定理可得，，进而可得点坐标，则，进而可得点的坐标，即可得出答案．
本题考查双曲线方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．