2023年四川省泸州市泸县一中高考数学三诊试卷（理科）（含解析）

这是一份2023年四川省泸州市泸县一中高考数学三诊试卷（理科）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省泸州市泸县一中高考数学三诊试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图，下列结论中错误的是(    )

 A. 从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加
B. 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
C. 年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平
D. 年到年各洲中北美洲人口增长速度最慢3.  复数是虚数单位的共轭复数是(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知：，其中，则(    )A.  B.  C.  D. 5.  各项均为正数的等比数列的前项和为，且，与的等差中项为，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  中国古代的五经是指：诗经、尚书、礼记、周易、春秋，甲、乙、丙、丁、戊名同学分
别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选诗经，乙也没选春秋，则名同学所有可能的选择有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种7.  已知曲线在点处的切线方程为，则(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，8.  设的内角，，所对的边分别为，，，，且，则的外接圆的周长为(    )A.  B.  C.  D. 9.  在三棱锥中，是等边三角形，顶点在底面的投影是底面的中心，侧面侧面，则此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为(    )A.  B.  C.  D. 10.  过点作直线交圆：于，两点，设，则实数的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 11.  已知在有且仅有个实数根，则实数的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 12.  已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，其中为坐标原点，则与面积之和的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  若实数，满足不等式组则目标函数的最大值为______．14.  二项式展开式中含项的系数为_________用数字作答．15.  已知是偶函数，则           ．16.  如图，在四棱柱中，平面，，，，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，，则下列结论正确的是______．
对于任意的点，都有
对于任意的点，四边不可能为平行四边形
当时，存在点，使得为等腰直角三角形
存在点，使得直线平面三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知的角，，的对边分别为，，，满足．
求；
从下列条件中：；中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围．18.  本小题分
某工厂生产的件产品的质量评分服从正态分布现从中随机抽取了件产品的评分情况，结果这件产品的评分全部介于分到分之间．现将结果按如下方式分为组，第一组，第二组，，第六组，得到如下图所示的频率分布直方图．
试用样本估计该工厂产品评分的平均分同一组中的数据用该区间的中间值作代表；
这件产品中评分在分以上的产品中任意抽取件，该件在全部产品中评分为前名的件数记为，求的分布列．
附：若，则，，．
19.  本小题分
如图、在边长为的菱形中，已知，且将梯形沿直线折起，使平面、如图，，分别是，上的点、
若平面平面，求的长；
是否存在点，使直线与平面所成的角是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

 20.  本小题分
已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于，两点．
说明曲线的形状，并写出其标准方程；
是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21.  本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，求函数在上的零点个数．22.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线的极坐标方程为．
若直线与曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；
设为曲线上任意一点，求的取值范围．23.  本小题分
已知函数．
若，使不等式成立，求满足条件的实数的集合；
已知为集合中的最大正整数，若，，，且，求证：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用并集的运算求解即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；
由扇形统计图可知年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确；
由条形统计图可知年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故C正确；
三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故D错误．
故选：．
根据三幅统计图依次判断每个选项即可．
本题考查命题真假的判断，考查折线图、扇形统计图、条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：，
故原复数的共轭复数为．
故选：．
利用复数的除法化简复数，结合共轭复数的定义可得结果．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】【分析】 
本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．
已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出，联立求出与的值，即可求出的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．
【解答】
解：把，，两边平方得：，即，
，
，
，，，
，解得：，，
得：，即，，
则，．
故选D．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及等差中项性质，考查方程思想和运算能力．
设等比数列的公比为，，由等差中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，由等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：设等比数列的公比为，，
由，可得，即有，
由与的等差中项为，可得，
即为，
解得，，
则．
故选：．  6.【答案】 【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
，甲选择了春秋，乙有种选法，将剩下的三本书全排列，对应丙、丁、戊人，有种情况，
则此时有种分法；
，甲没有选择春秋，则甲的选法有种，乙的选法有种，将剩下的三本书全排列，对应丙、丁、戊人，有种情况，
则此时有种分法；
则一共有种选法；
故选：．
根据题意，分种情况讨论：，甲选择了春秋，，甲没有选择春秋，分析每种情况下的分法数目，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：由，得，
由题意，，解得，．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在点处的导数值，由斜率相等及切点在切线上列关于，的方程组求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
 8.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
又，
由正弦定理可得，可得，，
，解得，
所以的外接圆的周长为．
故选：．
利用两角和差公式化简已知的等式，得到，利用正弦定理结合，求出外接圆的半径，由圆的周长公式求解即可．
本题考查了三角函数的化简求值问题，解三角形问题，两角和差公式的运用，正弦定理的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】【分析】本题考查三棱锥及其外接球的体积，考查运算求解能力，是基础题．
把三棱锥放置在正方体中，分别求出棱锥及其外接球的体积，作比后能求出结果．【解答】解：将该三棱锥放置在正方体当中，如图所示，设正方体的棱长为．
此三棱锥的体积，

外接球的半径，
外接球的体积，
此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为：
．
故选：．  10.【答案】 【解析】解：由题可得是以为圆心，以为半径的圆．
，点在圆的内部，
故当直线经过圆心时，取得最值．
当时，，，
此时，取最小值，，
当时，，，
此时，取最大值，，
所以，，
故选：．
由题可知，可以将转化与的比值的范围来进行求解．
本题考查了直线与圆的位置关系以及向量知识点在直线当中的应用．
 11.【答案】 【解析】解：因为，
所以，即，
所以或，，
解得或，，
所以该方程的正数解由小到大排列为
，，，，，，，，
要使之在上有且仅有个实数根，
则，解得
故选：．
结合二倍角公式与辅助角公式化简可得，根据正弦函数的图象，推出根或，，再对第个根与第个根进行限制，即可．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】【分析】本题考查直线与抛物线关系及利用基本不等式求最值，属于中档题．
可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线的方程为：，点，，
直线与轴的交点为，

由，，
根据韦达定理有，
，
，
结合及，得，
点，位于轴的两侧，
，故，
此时成立．
不妨令点在轴上方，则，又，
，
．
当且仅当，即时，取“”号，
与面积之和的最小值是．
故选B．  13.【答案】 【解析】解：作出实数，满足不等式组可行域如图，

由，解得
目标函数，
当过点时，该直线在轴截距最小，即有最大值，且最大值为．
故答案为：．
画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．
本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：二项式展开式的通项公式为，
令，求得，可得含项的系数为，
故答案为：．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得展开式中含项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的奇偶性，属于基础题．
由题意利用函数的奇偶性，求出函数的解析式，可得的值．【解答】解：是偶函数，，，
则，
故答案为：．  16.【答案】 【解析】解：对于，，
平面平面，平面平面，平面平面，
，故正确．
对于四边形是直角梯形，，平面与平面不平行，
平面平面，平面平面，
与不平行，故四边形不可能为平行四边形，故正确．
对于，，，，要使为等腰直角三角形，则，但根据题意，故不正确．
对于延长至，使得，则四边形是矩形，．
当，，三点共线时，平面，平面，故正确．
故答案为：．
本题考查了直棱柱的结构特征，面面平行的性质，线面平行的判定，属于中档题．
 17.【答案】解：因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
所以．
选择由正弦定理，
即周长
，
，
即周长的取值范围
选择，得，得．
由余弦定理得，
即周长，
，当且仅当时等号成立．
，
即周长的取值范围． 【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理得的值，结合的范围可求的值．
选择由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长，可求的范围，根据正弦函数的性质可求周长的取值范围；选择利用三角形的面积公式可得，由余弦定理得，根据基本不等式可求，即可得解周长的取值范围．
 18.【答案】解：由频率分布直方图可知的频率为．
所以估计该工厂产品的评分的平均分为．
由于，根据正态分布，因为，
所以，即，
所以前名的成绩全部在分以上．
根据频率分布直方图这件产品评分的分数在分以上包括分的有件，
而在的产品共有，所以的取值为，，，．
所以，，，．
所以的分布列为：         【解析】根据概率之和等于计算的值，再利用加权平均数公式计算平均分；
根据正态分布求出评分在评分在前名的分数，结合频率分布直方图得出产品件数，利用超几何分布得出的分布列．
本题考查了频率分布直方图，正态分布，超几何分布列，属于中档题．
 19.【答案】解：平面与平面有公共点，
若平面与平面相交，设交线为，
若平面平面，平面平面，
，
设，，，
同理，平面平面，
平面平面，平面平面，
，，
，，，，
．
在图中，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，则，，，，
，，，，
设，则，
，
设平面的法向量，
则，
取，得，
存在点，使直线与平面所成的角是，
，
由，解得，
． 【解析】平面与平面相交，设交线为，则，平面平面，推导出，由此能求出．
以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．
本题考查线段长的求法，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 20.【答案】解：设动点坐标为，
点到直线：的距离为依题意可知，
则，
化简得，
所以曲线是椭圆，它的标准方程为；
当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，
又因为得，则，
从而点必在轴上．
当直线与轴垂直时，则，，由可设，，
由得，解得舍去，或．
则点的坐标只可能是．
下面只需证明直线斜率存在且时均有即可．
设直线的方程为，代入，得．
设，，
，，
，
设点关于轴对称的点坐标，
因为直线的斜率，
同理得直线的斜率，
，
，三点，，共线．
故由．
所以存在点满足题意． 【解析】先设动点坐标为，根据题意列出等式，化简整理即可求出结果；
分情况讨论如下：当直线与轴垂直时，易得点必在轴上；当直线与轴垂直时，易得点的坐标只可能是；再证明直线斜率存在且时均有即可．
本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型．
 21.【答案】解：，
当时，恒成立，则在上单增；
时，令，则，时，，单减，时，，单增，
综上，时，在上单增；时，在单调递减，在单调递增；
由已知得，
则．
当时，因为，
所以在上单调递减．所以．
所以在上无零点．
当时，因为单调递增，且，
所以存在，使．
当，时；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，且．
所以，设，则．
令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以，所以．
所以所以在上存在一个零点．
所以在有个零点．
当时，，
所以在上单调递增．因为，所以在上无零点．
综上所述，在上的零点个数为． 【解析】求导得，对分与两类讨论，可求得的单调性；
当时，，求导后对分与、三类讨论分析，可求得在上的零点个数．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化与化归思想、分类讨论等思想的综合应用，考查逻辑思维能力、运算求解能力，属于难题．
 22.【答案】解：将曲线的极坐标方程
化为直角坐标方程为，
直线的参数方程为为参数，
将参数方程代入，整理得，
直线与曲线有公共点，，
，或，，
的取值范围是．
曲线的方程可化为，
其参数方程为，为参数，
为曲线上任意一点，
，
的取值范围是 【解析】利用互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程．直线的参数方程为为参数，代入曲线的直角坐标方程可得，根据直线与曲线有公共点，可得，利用三角函数的单调性即可得出．
曲线的方程可化为，参数方程为，为参数，设为曲线上任意一点，可得，利用和差公式化简即可得出取值范围．
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 23.【答案】解：由已知得
，
则，
由于，使不等式成立，所以，
即
由知，则
因为，，，所以，，，
则，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
当且仅当时等号成立，
则当且仅当时等号成立，
即． 【解析】本题考查了绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．
求出的解析式，结合绝对值不等式的性质求出的范围即可；
根据基本不等式的性质，分别求出，，的范围，作积即可．