2023年四川省泸州市泸县一中高考数学三诊试卷（文科）（含解析）

这是一份2023年四川省泸州市泸县一中高考数学三诊试卷（文科）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省泸州市泸县一中高考数学三诊试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图，下列结论中错误的是(    )

 A. 从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加
B. 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
C. 年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平
D. 年到年各洲中北美洲人口增长速度最慢3.  复数是虚数单位的共轭复数是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列函数中不是偶函数的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  设平面向量，若，则等于(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知：，其中，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  各项均为正数的等比数列的前项和为，且，与的等差中项为，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知曲线在点处的切线方程为，则(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，9.  设的内角，，所对的边分别为，，，，且，则的外接圆的周长为(    )A.  B.  C.  D. 10.  在三棱锥中，是等边三角形，顶点在底面的投影是底面的中心，侧面侧面，则此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为(    )A.  B.  C.  D. 11.  若函数在内有且只有一个零点，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 12.  已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，其中为坐标原点，则与面积之和的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为______．14.  若实数，满足不等式组则目标函数的最大值为______．15.  已知是偶函数，则           ．16.  如图，在四棱柱中，平面，，，，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，，则下列结论正确的是______．
对于任意的点，都有
对于任意的点，四边不可能为平行四边形
当时，存在点，使得为等腰直角三角形
存在点，使得直线平面三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
随着中国实施制造强国战略以来，中国制造逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制某企业从生产的一批产品中抽取件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如下频率分布直方图．
求频率分布直方图中质量指标值的平均数和中位数结果精确到；
为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在和的两组中抽取件产品，记至少有一件取自的产品件数为事件，求事件的概率．
18.  本小题分
已知的角，，的对边分别为，，，满足．
求；
从下列条件中：；中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围．19.  本小题分
如图，在边长为的菱形中，已知，且将梯形沿直线折起，使平面，如图，，分别是图中，上的点．
求证：图中，平面平面；
若平面平面，求三棱锥一的体积．
20.  本小题分
已知．
若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围；
在的前提下，设三个零点分别为，，且，当时，求实数的取值范围．21.  本小题分
已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于，两点．
说明曲线的形状，并写出其标准方程；
是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线的极坐标方程为．
若直线与曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；
设为曲线上任意一点，求的取值范围．23.  本小题分
已知函数．
若，使不等式成立，求满足条件的实数的集合；
已知为集合中的最大正整数，若，，，且，求证：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用并集的运算求解即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；
由扇形统计图可知年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确；
由条形统计图可知年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故C正确；
三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故D错误．
故选：．
根据三幅统计图依次判断每个选项即可．
本题考查命题真假的判断，考查折线图、扇形统计图、条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：，
故原复数的共轭复数为．
故选：．
利用复数的除法化简复数，结合共轭复数的定义可得结果．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：函数的定义域为，定义域关于原点不对称性，为非奇非偶函数，
B.，则是偶函数，
C.函数的定义域为，则，则函数是偶函数，
D.函数的定义域为，则，即是偶函数，
故选：．
根据函数奇偶性的定义，判断是否成立即可．
本题主要考查函数奇偶性的判断，结合偶函数的定义是解决本题的关键．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查向量共线，向量模的坐标计算，属于基础题．
利用向量共线即可得出，从而计算出的坐标，利用向量模的计算公式即可得出．
【解答】
解：，，解得．
，
．
故选D．  6.【答案】 【解析】【分析】 
本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．
已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出，联立求出与的值，即可求出的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．
【解答】
解：把，，两边平方得：，即，
，
，
，，，
，解得：，，
得：，即，，
则，．
故选D．  7.【答案】 【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及等差中项性质，考查方程思想和运算能力．
设等比数列的公比为，，由等差中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，由等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：设等比数列的公比为，，
由，可得，即有，
由与的等差中项为，可得，
即为，
解得，，
则．
故选：．  8.【答案】 【解析】解：由，得，
由题意，，解得，．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在点处的导数值，由斜率相等及切点在切线上列关于，的方程组求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
又，
由正弦定理可得，可得，，
，解得，
所以的外接圆的周长为．
故选：．
利用两角和差公式化简已知的等式，得到，利用正弦定理结合，求出外接圆的半径，由圆的周长公式求解即可．
本题考查了三角函数的化简求值问题，解三角形问题，两角和差公式的运用，正弦定理的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】【分析】本题考查三棱锥及其外接球的体积，考查运算求解能力，是基础题．
把三棱锥放置在正方体中，分别求出棱锥及其外接球的体积，作比后能求出结果．【解答】解：将该三棱锥放置在正方体当中，如图所示，设正方体的棱长为．
此三棱锥的体积，

外接球的半径，
外接球的体积，
此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为：
．
故选：．  11.【答案】 【解析】解：因为函数在内有且只有一个零点，
所以，，
当时，，
函数在上单调递增，，
所以没有零点，舍去，
当时，的解为，
所以在上递减，在上递增，
又只有一个零点，
所以，解得，
故选：．
求导得，分两种情况：当时，当时，分析的正负，的单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】【分析】本题考查直线与抛物线关系及利用基本不等式求最值，属于中档题．
可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线的方程为：，点，，
直线与轴的交点为，

由，，
根据韦达定理有，
，
，
结合及，得，
点，位于轴的两侧，
，故，
此时成立．
不妨令点在轴上方，则，又，
，
．
当且仅当，即时，取“”号，
与面积之和的最小值是．
故选B．  13.【答案】 【解析】解：高二年级抽取的人数为：人，则高三被抽取的人数，
故答案为：．
根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：作出实数，满足不等式组可行域如图，

由，解得
目标函数，
当过点时，该直线在轴截距最小，即有最大值，且最大值为．
故答案为：．
画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．
本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的奇偶性，属于基础题．
由题意利用函数的奇偶性，求出函数的解析式，可得的值．【解答】解：是偶函数，，，
则，
故答案为：．  16.【答案】 【解析】解：对于，，
平面平面，平面平面，平面平面，
，故正确．
对于四边形是直角梯形，，平面与平面不平行，
平面平面，平面平面，
与不平行，故四边形不可能为平行四边形，故正确．
对于，，，，要使为等腰直角三角形，则，但根据题意，故不正确．
对于延长至，使得，则四边形是矩形，．
当，，三点共线时，平面，平面，故正确．
故答案为：．
本题考查了直棱柱的结构特征，面面平行的性质，线面平行的判定，属于中档题．
 17.【答案】解：设质量指标值的平均数为，中位数为，则
，
因为区间对应的频率为，区间对应的频率为，区间对应的频率为，
所以中位数在区间上，故，．
样本中质量指标在的产品有件，
记为，，，，，，质量指标在的有件，
记为，，，，从这件产品中选取人的所有选取方法：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，
，，， ，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中至少有一件取自有种，则． 【解析】由频率分布直方图中平均数和中位数的公式计算即可；
先算出样本中质量指标在的产品有件，质量指标在的有件，然后依照题意求出概率．
本题主要考查频率分布直方图，属于基础题．
 18.【答案】解：因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
所以．
选择由正弦定理，
即周长
，
，
即周长的取值范围
选择，得，得．
由余弦定理得，
即周长，
，当且仅当时等号成立．
，
即周长的取值范围． 【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理得的值，结合的范围可求的值．
选择由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长，可求的范围，根据正弦函数的性质可求周长的取值范围；选择利用三角形的面积公式可得，由余弦定理得，根据基本不等式可求，即可得解周长的取值范围．
 19.【答案】证明：平面，平面，
，
，，
，又，
平面，又平面，
平面平面．
解：平面与平面有公共点，
平面与平面有过点的公共直线，
又平面平面，平面平面，
，设，则，又，
四边形是平行四边形，，
连接，
平面平面，平面平面，平面平面，
，
，
平面，，
平面，到平面的距离．
又，
． 【解析】由，可得平面，故而平面平面；
根据面面平行的性质可得两平面与平面的交线平行，从而可得到平面的距离，带入体积公式计算即可．
本题考查了面面垂直的判定，面面平行的性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题．
 20.【答案】解：当时，，令，
当时，的零点与函数的零点相同，
当时，，所以只有一个零点，不合题意，
故，又函数有三个不同的零点，
所以有两个均不等于的不同零点，
令，解得舍去负值，
所以当时，，是单调递减，
当时，，是单调递增，
因为，
所以当，即时，有两个不同零点，
又因为时，，
所以函数有三个不同的零点，实数的取值范围是．
因为，，所以，所以，
所以，所以，是的两个根，
又因为，
所以有一个小于的根，不妨设为，
根据有三个根，，，
可知，
所以，即，
因为，所以，
所以，即，
显然，所以的取值范围是． 【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
当时，，令，先求出，问题转化为有两个均不等于的不同零点，根据函数的单调性求出的范围即可；
根据有三个根，，可知，根据，得到关于的不等式，解出即可．
 21.【答案】解：设动点坐标为，
点到直线：的距离为依题意可知，
则，
化简得，
所以曲线是椭圆，它的标准方程为；
当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，
又因为得，则，
从而点必在轴上．
当直线与轴垂直时，则，，由可设，，
由得，解得舍去，或．
则点的坐标只可能是．
下面只需证明直线斜率存在且时均有即可．
设直线的方程为，代入，得．
设，，
，，
，
设点关于轴对称的点坐标，
因为直线的斜率，
同理得直线的斜率，
，
，三点，，共线．
故由．
所以存在点满足题意． 【解析】先设动点坐标为，根据题意列出等式，化简整理即可求出结果；
分情况讨论如下：当直线与轴垂直时，易得点必在轴上；当直线与轴垂直时，易得点的坐标只可能是；再证明直线斜率存在且时均有即可．
本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型．
 22.【答案】解：将曲线的极坐标方程
化为直角坐标方程为，
直线的参数方程为为参数，
将参数方程代入，整理得，
直线与曲线有公共点，，
，或，，
的取值范围是．
曲线的方程可化为，
其参数方程为，为参数，
为曲线上任意一点，
，
的取值范围是 【解析】利用互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程．直线的参数方程为为参数，代入曲线的直角坐标方程可得，根据直线与曲线有公共点，可得，利用三角函数的单调性即可得出．
曲线的方程可化为，参数方程为，为参数，设为曲线上任意一点，可得，利用和差公式化简即可得出取值范围．
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 23.【答案】解：由已知得
，
则，
由于，使不等式成立，所以，
即
由知，则
因为，，，所以，，，
则，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
当且仅当时等号成立，
则当且仅当时等号成立，
即． 【解析】本题考查了绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．
求出的解析式，结合绝对值不等式的性质求出的范围即可；
根据基本不等式的性质，分别求出，，的范围，作积即可．