2023年新七年级数学北师大版暑假预习——第04讲 有理数的加减

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第04讲 有理数的加减
学习目标
1.理解有理数加法和减法法则；
2.能利用加法和减法法则进行简单的有理数的加法、减法运算；
3.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；
4.通过将减法转化成加法，初步培养学生数学的归一思想

知识点1 ：加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
知识点2：加法运算定律
（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a

（2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
知识点3 ：减法法则
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即a－b=a＋（﹣）b

考点1：有理数加减法的概念辨析
例1.（2023春•闵行区期中）如果两个数的和是正数，那么（　　）
A．这两个加数都是正数
B．一个加数为正数，另一个加数为0
C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值
D．以上皆有可能
【答案】D
【解答】解：如果两个数的和是正数，可能这两个加数都是正数，如1+1＝2，
可能一个数为正数，另一个加数为0，如0+2＝2，
可能一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值，如﹣1+3＝2，
故选：D．
【变式1-1】（2022秋•定州市期末）下列问题情境，不能用加法算式﹣2+10表示的是（　　）
A．水位先下降2cm，再上升10cm后的水位变化情况
B．某日最低气温为﹣2℃，温差为10℃，该日最高气温
C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱
D．数轴上表示﹣2与10的两个点之间的距离
【答案】D
【解答】解：A、水位先下降2cm，再上升10cm后的水位变化情况，可以表示为：﹣2+10，不符合题意；
B、某日最低气温为﹣2℃，温差为10℃，该日最高气温，可以表示为：﹣2+10，不符合题意；
C、用10元纸币购买2元文具后找回的零钱，可以表示为：﹣2+10，不符合题意；
D、数轴上表示﹣2与10的两个点之间的距离为：2+10，不能用加法算式﹣2+10表示，符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（2022秋•宜兴市月考）下列说法正确的是（　　）
A．减去一个数等于加上一个数
B．两个相反数相减得0
C．两个数相减差一定小于被减数
D．两个数相减，差不一定小于被减数
【答案】D
【解答】解：A、减去一个数等于加上这个数的相反数，故A不符合题意；
B、互为相反数的和是0，故B不符合题意；
C、两数相减差有可能等于或大于被减数，故C不符合题意；
D、两数相减，差不一定小于被减数，故D符合题意．
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•信都区期中）在应用有理数减法法则，对进行运算时，下列说法正确的是（　　）

A．①、②均需变成“+” B．只有①变成“+”
C．只有①变成“×” D．只有②变成“+”
【答案】A
【解答】解：6﹣（﹣8）＝6+8，
故选：A．
考点二：有理数加减法在数轴上的运用
例2.（2020•新华区一模）数a，b在数轴上的位置如图所示，则a+b的值（　　）

A．是正数 B．是零
C．是负数 D．正、负无法确定
【答案】C
【解答】解：由图可知，a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a+b与a的符号相同，是负数．
故选：C．
【变式2-1】（2022秋•永春县校级期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）

A．.a＜0 B．b＞0 C．a+b＞0 D．a+b＜0
【答案】D
【解答】解：根据数轴上点的位置得：b＜0＜a，且|a|＜|b|，
∴a＞0，b＜0，a+b＜0．
故选：D．
【变式2-2】（2022秋•安徽期中）有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示则下列四个选项正确的是（　　）

A．a＜b＜﹣b＜﹣a B．a＜﹣b＜﹣a＜b C．a+b＞0 D．﹣a+b＞0
【答案】D
【解答】解：如图，利用相反数的特点在数轴上描出﹣b，﹣a，

观察图形可知a＜﹣b＜b＜﹣a
故选项A、B错误；
又∵a＜0＜b，
∴a﹣b＜0，﹣a+b＞0，
故C错误，D正确，
故选：D．
【变式2-3】（2022秋•宾阳县期中）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．a＞0 B．b＜1 C．a+1＞0 D．a﹣b＞0
【答案】C
【解答】解：∵由图可知，﹣1＜a＜0＜1＜b，
∴a＜0，故A不合题意；
b＞1，故B不合题意；
a+1＞0，故C符合题意；
a﹣b＜0，故，D不合题意．
故选：C．
考点三： 有理数加减法混合运算
例3.（2023春•南岗区校级月考）计算：
（1）（﹣0.9）+1.5； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）0.6；（2）；（3）；（4）﹣2．
【解答】解：（1）（﹣0.9）+1.5＝0.6；
（2）；
（3）
＝
＝
＝；
（4）
＝
＝9+（﹣11）
＝﹣2．
【变式3-1】（2023春•惠阳区校级月考）计算：（﹣8）+（﹣1.2）+（﹣0.6）+（﹣2.4）．
【答案】﹣12.2．
【解答】解：原式＝﹣（8+1.2+0.6+2.4）
＝﹣12.2．
【变式3-2】（2021秋•鱼台县期末）计算
（1）4.7+（﹣0.8）+5.3+（﹣8.2）；
（2）（﹣）+（+）+（﹣）．
【答案】（1）1；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝4.7﹣0.8+5.3﹣8.2
＝（4.7+5.3）﹣（0.8+8.2）
＝10﹣9
＝1；
（2）原式＝﹣+﹣
＝﹣+﹣
＝．
例4.（2022秋•汉阳区校级期末）计算：
（1）7+（﹣2）﹣3.4； （2）（﹣21.6）+3﹣7.4+（﹣）；
（3）31+（﹣）+0.25； （4）7﹣（﹣）+1.5；
（5）49﹣（﹣20.6）﹣； （6）（﹣）﹣7﹣（﹣3.2）+（﹣1）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝5﹣3.4＝1.6；
（2）原式＝﹣21.6﹣7.4+3﹣＝﹣29+3﹣＝﹣26﹣＝﹣26；
（3）原式＝31﹣+＝30；
（4）原式＝7+0.5+1.5＝9；
（5）原式＝49+20.6﹣0.6＝49+20＝69；
（6）原式＝﹣1.2﹣7+3.2﹣1＝2﹣1﹣7＝﹣6；
【变式4-1】（2022秋•花垣县月考）计算：
（1）14﹣（﹣12）+（﹣25）﹣17；
（2）．
【答案】（1）﹣16；（2）．
【解答】解：（1）14﹣（﹣12）+（﹣25）﹣17
＝14+12﹣25﹣17
＝26﹣42
＝﹣16；
（2）
＝
＝
＝．
【变式4-2】（2022秋•浑南区月考）计算：
（1）（﹣72）﹣（﹣37）﹣（﹣22）﹣17；
（2）（﹣2）﹣（+3）﹣（+4）+（﹣3）；
（3）1+（﹣7）﹣（﹣3.25）﹣；
（4）20﹣（﹣6）﹣|﹣3|；
（5）13﹣（﹣12）+（﹣21）；
（6）﹣0.8﹣5.2+11.6﹣5.6．
【答案】（1）﹣30；（2）﹣12；（3）﹣3；（4）23；（5）4；（6）0．
【解答】解：（1）（﹣72）﹣（﹣37）﹣（﹣22）﹣17
＝﹣72+37+22﹣17
＝﹣72﹣17+37+22
＝﹣89+59
＝﹣30；
（2）（﹣2）﹣（+3）﹣（+4）+（﹣3）
＝﹣2﹣3﹣4﹣3
＝﹣12；
（3）1+（﹣7）﹣（﹣3.25）﹣
＝1.75﹣7+3.25﹣
＝1.75+3.25﹣7﹣
＝5﹣8
＝﹣3；
（4）20﹣（﹣6）﹣|﹣3|
＝20+6﹣3
＝23；
（5）13﹣（﹣12）+（﹣21）
＝13+12﹣21
＝25﹣21
＝4；
（6）﹣0.8﹣5.2+11.6﹣5.6
＝﹣6+11.6﹣5.6
＝﹣6﹣5.6+11.6
＝﹣11.6+11.6
＝0．
【变式4-3】（2022秋•文圣区校级月考）计算：
（1）﹣3﹣3；
（2）﹣0.8﹣5.2+11.6﹣5.6；
（3）﹣2+（﹣3）﹣（﹣5）；
（4）11.125﹣1+4﹣4.75；
（5）﹣165+265﹣78﹣22+65；
（6）（﹣7.3）﹣（﹣6）+|﹣3.3|+1．
【答案】（1）﹣6；（2）0；（3）0；（4）10；（5）65；（6）4．
【解答】解：（1）﹣3﹣3＝﹣6；
（2）﹣0.8﹣5.2+11.6﹣5.6
＝﹣6+6
＝0；
（3）﹣2+（﹣3）﹣（﹣5）
＝﹣2﹣3+5
＝﹣5+5
＝0；
（4）11.125﹣1+4﹣4.75
＝11.125﹣1.25+4.875﹣4.75
＝11.125+4.875﹣1.25﹣4.75
＝16﹣6
＝10；
（5）﹣165+265﹣78﹣22+65
＝100﹣100+65
＝65；
（6）（﹣7.3）﹣（﹣6）+|﹣3.3|+1
＝﹣7.3+3.3+6+1
＝﹣4+8
＝4．
考点四：有理数加减法与绝对值的综合
例5.（2022秋•东莞市期中）计算：
（1）5+（﹣6）﹣3+9﹣（﹣4）；
（2）．
【答案】（1）9；
（2）4.5．
【解答】解：（1）原式＝5﹣6﹣3+9+4
＝5﹣9+9+4
＝5+4
＝9；
（2）原式＝2+2.5+1﹣（2﹣1）
＝2+2.5+1﹣2+1
＝2+2.5+1+1
＝4.5．
【变式5-1】（2022秋•兰考县月考）计算：
（1）20+（﹣14）﹣（﹣18）+13； （2）﹣﹣|﹣|﹣+1．
【答案】（1）37；（2）﹣．
【解答】解：（1）原式＝20﹣14+18+13
＝（20+18+13）﹣14
＝51﹣14
＝37；
（2）原式＝+1
＝（﹣）+（）+1
＝（﹣2+1）+
＝﹣1+
＝﹣．
【变式5-2】（2022秋•泌阳县校级月考）计算：
（1）﹣32﹣（﹣17）﹣|﹣23|+（﹣15）； （2）（﹣0.6）+2+10+（﹣1）+（﹣2.5）．
【答案】（1）﹣53；
（2）8．
【解答】解：（1）原式＝﹣32+17﹣23﹣15
＝（﹣32﹣23﹣15）+17
＝﹣70+17
＝﹣53；
（2）原式＝﹣0.6+2.5+10﹣1.4﹣2.5
＝（﹣0.6﹣1.4﹣2.5）+（2.5+10）
＝﹣4.5+12.5
＝8．
【变式5-3】（2022秋•靖江市月考）计算：
（1）0﹣4﹣（﹣5）； （2）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13；
（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+； （4）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）；
（5）﹣|﹣1|﹣（+2）﹣（﹣2.75）； （6）（﹣3）﹣（﹣2.4）+（﹣）﹣（+4）．
【答案】（1）1；
（2）﹣3；
（3）﹣1；
（4）﹣8；
（5）﹣0.6；
（6）﹣6．
【解答】解：（1）原式＝0﹣4+5
＝1；
（2）原式＝﹣20+18﹣14+13
＝﹣2﹣14+13
＝﹣16+13
＝﹣3；
（3）原式＝[（﹣）+（﹣）]+[（﹣）+]
＝﹣1+0
＝﹣1；
（4）原式＝2.7﹣8.5﹣3.4+1.2
＝﹣5.8﹣3.4+1.2
＝﹣9.2+1.2
＝﹣8；
（5）原式＝0.4﹣1.5+（2.75﹣2.25）
＝0.4+（﹣1.5+0.5）
＝0.4﹣1
＝﹣0.6．
（6）原式＝（﹣3）+（﹣）+（2﹣4）
＝﹣4+（﹣2）
＝﹣6．
考点五：有理数加减法中的规律计算
例6.（2022秋•新邵县期中）阅读：
对于，可以按如下方法计算：
原式＝＝＝．
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：．
【答案】﹣1．
【解答】解：
＝[（﹣2022）+（﹣）]+[（﹣2021）+（﹣）]+[（﹣1）+（﹣）]+4044
＝[（﹣2022）+（﹣2021）+（﹣1）+4044]+[（﹣）+（﹣）+（﹣）]
＝0+（﹣）
＝﹣1．
【变式6-1】（2022秋•陈仓区校级月考）2+2﹣4+6﹣8+10﹣12+……+98﹣100．
【答案】﹣48．
【解答】解：原式＝2+（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+……+（98﹣100）
＝2+25×（﹣2）
＝﹣48．
【变式6-2】（2022秋•越秀区校级期中）阅读下面的解题方法．
计算：﹣5+（﹣9）+17+（﹣3）．
解：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]
＝0+（﹣）
＝﹣．
上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
（﹣2021）+4043+（﹣2022）+1．
【答案】11．
【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（﹣）+4043++（﹣2022）+（﹣）]+（1+）
＝[（﹣2011）+4043+（﹣2022）+1]+[（﹣）+（﹣）++（）]
＝11+0
＝11．
【变式6-3】（2022秋•乳山市期中）【信息提取】
在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7，|6﹣7|＝7﹣6，|7﹣6|＝7﹣6，|﹣6﹣7|＝6+7．
【初步体验】
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）：
①|7﹣21|＝　 　；
②＝　 　；
③＝　 　．
【拓广应用】
（2）计算：
④；
⑤．
【答案】（1）①21﹣7；②；③；
（2）④；⑤．
【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；
②＝；
③＝；
故答案为：①21﹣7；②；③；
（2）④原式＝
＝（）+（）﹣
＝；
⑤原式＝
＝
＝
＝．
考点六： 有理数加减法的实际应应用
例7．（2022秋•商河县校级期末）．出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米）
﹣2，+5，﹣8，﹣3，+6，﹣6．
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？
（2）若出租车每公里耗油0.3升，求小王回到出发地共耗油多少升？
（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米（不足1千米按1千米计算）还需收4元钱，小王今天是收入是多少元？
【答案】（1）北方，距下午出车的出发地8千米；
（2）11.4升；
（3）112元．
【解答】解：（1）﹣2+5﹣8﹣3+6﹣6＝﹣8（千米），
∴小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的北方，距下午出车的出发地8千米．
（2）|﹣2|+|5|+|﹣8|+|﹣3|+|6|+|﹣6|+|﹣8|＝38（千米），
38×0.3＝11.4（升），
∴小王回到出发地共耗油11.4升．
（3）根据出租车收费标准，可知小王今天的收入是10+[10+（5﹣3）×4]+[10+（8﹣3）×4]+10+[10+（6﹣3）×4]+[10+（6﹣3）×4]＝112（元），
∴小王今天的收入是112元．
【变式7-1】（2022秋•兴化市校级期末）在2022年8月的北碚山火救灾中，位于山腰的2号物资集散地作为重要的物资中转站，8月21日结束时还剩矿泉水16箱，集散地矿泉水的进出情况如下表（运进记作“+”．运出记作“﹣”），经过五天奋战，8月26日结束时还剩矿泉水36箱．
时间
8月22日
8月23日
8月24日
8月25日
8月26日
运进
+54
+52
+40
+64
b
运出
﹣30
a
﹣50
﹣52
﹣22
与前一天相比（增加记作“+”，减少记作“﹣”）
+24
+16
﹣10
+12
c
（1）直接写出a、b、c的值：a＝　﹣36　；b＝　0　；c＝　﹣22　；
（2）请通过计算求出哪一天结束时2号物资集散地矿泉水数量最多？
（3）由于地势陡峭，2号物资集散地矿泉水的进出运输都只能由“山城骑士”摩托车队完成，为保证安全，每位骑士一次只能运输2箱矿泉水，则需要多少人次才能完成这五天的任务？
【答案】（1）﹣36，0，﹣22；
（2）8月25日结束时还剩矿泉水数量最多；
（3）200．
【解答】解：（1）∵8月21日结束时还剩矿泉水16箱，
∴8月22日结束时还剩矿泉水：16+24＝40（箱），
8月23日结束时还剩矿泉水：40+16＝56箱，
8月23日结束时还剩矿泉水40+52+a＝56，即a＝﹣36，
8月24日结束时还剩矿泉水：56+（﹣10）＝46（箱），
8月25日结束时还剩矿泉水：46+12＝58（箱），
8月26日结束时还剩矿泉水36箱，
∴36﹣58＝﹣22，即c＝﹣22，
∴b+（﹣22）＝c，即b+（﹣22）＝﹣22，
解得b＝0，
故答案为：﹣36，0，﹣22；
（2）由（1）得8月25日结束时还剩矿泉水数量最多；
（3）2号物资集散地矿泉水的进出运输数量是：54+30+52+36+40+50+64+52+22＝400，
∵每位骑士一次只能运输2箱矿泉水，
∴400÷2＝200，
答：需要200人次才能完成这五天的任务．
【变式7-2】（2022秋•宁强县期末）老师倡导同学们多读书，读好书，要求每天读课外书30分钟，小伟由于种种原因，实际每天读课外书的时间与老师要求时间相比有出入，下表是小伟某周的读课外书情况（增加记为正，减少记为负）．
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减/分钟
+5
﹣2
﹣4
+13
﹣10
+15
﹣9
（1）读课外书最多的一天比最少的一天多多少分钟？
（2）根据记录的数据可知，小伟该周实际读课外书多少分钟？
【答案】（1）25；（2）218．
【解答】解：（1）15﹣（﹣10）＝15+10＝25（分钟）．
答：读课外书最多的一天比最少的一天多25分钟；
（2）5﹣2﹣4+13﹣10+15﹣9+30×7
＝8+210
＝218（分钟），
答：小伟该周实际读课外书218分钟．
【变式7-3】（2022秋•息县期中）某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5kg为标准，超过的记为“+”，不足的记为“﹣”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为4kg．
班级
一
二
三
四
五
六
超过（不足）（kg）
+1
+2
﹣1.5
0
﹣1

（1）请你计算七年级六班同学收集废纸的质量；
（2）若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量；
（3）若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，30kg（包括30kg）以内的2元/千克，超出30kg的部分2.5元/千克，求废纸卖出的总价格．

【答案】（1）7.5kg；（2）20.5kg；（3）67.5元．
【解答】解：（1）经分析，六班收集废纸的质量最多，超出标准质量为：4﹣1.5＝2.5（kg），
∴六班收集废纸的质量为5+2.5＝7.5（kg）．
答：六班收集废纸的质量为7.5kg；
（2）经分析，六班收集废纸的质量最大，超过标准2.5kg，
∴本次活动收集废纸质量排名前三的班级为一班、二班、六班，
∴获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为（5+1）+（5+2）+（5+2.5）＝20.5（kg）．
答：获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为20.5kg；
（3）七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，卖出的废纸的总质量为（5+1）+（5+2）+（5﹣1.5）+5+（5﹣1）+7.5＝33（kg）．
∴废纸卖出的总价格为30×2+（33﹣30）×2.5＝67.5（元）．
答：废纸卖出的总价格为67.5元．
考点七： 有理数加减法中新定义问题
例8．（2021秋•盂县期末）先阅读下面材料，再完成任务：
【材料】
下列等式：4﹣＝4×+1，7﹣＝7×+1，…，具有a﹣b＝ab+1的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作（a，b）．例如：（4，）、（7，）都是“共生有理数对”．
【任务】
（1）在两个数对（﹣2，1）、（2，）中，“共生有理数对”是 　（2，）　；
（2）请再写出一对“共生有理数对”　（﹣，﹣3）　；（要求：不与题目中已有的“共生有理数对”重复）
（3）若（x，﹣2）是“共生有理数对”，求x的值；
（4）若（m，n）是“共生有理数对”，判断（﹣n，﹣m） 　是　“共生有理数对”．（填“是”或“不是”）
【答案】（1）（2，）；
（2）（﹣，﹣3）；
（3）﹣；
（4）是．
【解答】解：（1）（﹣2，1），
∵（﹣2）﹣1＝﹣3，（﹣2）×1+1＝﹣1，﹣3＝﹣1，
∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”；
（2，），
∵2﹣＝，2×+1＝，＝，
∴（2，）是“共生有理数对”；
故答案为：（2，）；
（2）设一对“共生有理数对”为（x，﹣3），
∴x﹣（﹣3）＝﹣3x+1，
∴x＝﹣，
∴这一对“共生有理数对”为（﹣，﹣3），
故答案为：（﹣，﹣3）；
（3）∵（x，﹣2）是“共生有理数对”，
∴x﹣（﹣2）＝﹣2x+1，
∴x＝﹣；
（4）∵（m，n）是“共生有理数对”，
∴m﹣n＝mn+1，
∴﹣n﹣（﹣m）＝（﹣n）（﹣m）+1，
∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”，
故答案为：是．
【变式8-1】（2021春•随县期末）已知[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，[﹣0.7]＝﹣1．现定义：{x}＝[x]﹣x，如{1.5}＝[1.5]﹣1.5＝﹣0.5，则{3.9}+{﹣}﹣{1}＝　﹣1.4　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意可得
{3.9}+{﹣}﹣{1}＝（3﹣3.9）+[（﹣2）﹣（﹣1.5）]﹣（1﹣1）＝﹣0.9+（﹣0.5）＝﹣1.4．
故答案为：﹣1.4．
【变式8-2】（2022秋•綦江区校级月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离 　3　．
（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣3|＝2，那么x＝　1或5　．
（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜4，求|x﹣4|+|x+4|的值．

【答案】（1）3；（2）1或5；（3）8．
【解答】解：（1）由题意可知，数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离为|﹣2﹣（﹣5）|＝|﹣2+5|＝3．
故答案为：3；
（2）∵|x﹣3|＝2，
∴x﹣3＝﹣2或x﹣3＝2，
∴x＝1或5．
故答案为：1或5；
（3）∵|x﹣4|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和4的点的距离之和，且x位于﹣4到4之间，
∴x﹣4＜0，x+4＞0，
∴|x﹣4|+|x+4|＝4﹣x+x+4＝8．

1．（2022•沈阳）计算5+（﹣3），结果正确的是（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【答案】A
【解答】解：5+（﹣3）＝2，
故选：A．
2．（2022•天津）计算（﹣3）+（﹣2）的结果等于（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
【答案】A
【解答】解：原式＝﹣（3+2）
＝﹣5，
故选：A．
3．（2021•西宁）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（﹣2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（　　）

A．（+3）+（+6） B．（+3）+（﹣6） C．（﹣3）+（+6） D．（﹣3）+（﹣6）
【答案】B
【解答】解：由题意可知：（+3）+（﹣6），
故选：B．
4．（2022•呼和浩特）计算﹣3﹣2的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】C
【解答】解：﹣3﹣2＝﹣5．
故选：C．
5．（2022•杭州）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为﹣6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（　　）

A．﹣8℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．8℃
【答案】D
【解答】解：根据题意得：2﹣（﹣6）＝2+6＝8（℃），
则该地这天的温差为8℃．
故选：D．
6．（2022•河北）与﹣3相等的是（　　）
A．﹣3﹣ B．3﹣ C．﹣3+ D．3+
【答案】A
【解答】解：A．﹣3﹣＝﹣3，选项A的计算结果是﹣3；
B．3﹣＝2，选项B的计算结果不是﹣3；
C．﹣3+＝﹣2，选项C的计算结果不是﹣3；
D．3+＝3，选项D的计算结果不是﹣3．
故选：A．
7．（2021•河北）能与﹣（﹣）相加得0的是（　　）
A．﹣﹣ B．+ C．﹣+ D．﹣+
【答案】C
【解答】解：﹣（﹣）＝﹣+，与其相加得0的是﹣+的相反数．
﹣+的相反数为+﹣，
故选：C．
8．（2022•台湾）算式+﹣（﹣）之值为何？（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：+﹣（﹣）
＝
＝（）+（）
＝﹣+1
＝．
故选：A．
9．（2019•德州）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意可得原式＝（3.9﹣3）+[（﹣1.8）﹣（﹣2）]﹣（1﹣1）＝0.9+0.2＝1.1；
故答案为：1.1

1．（2022秋•兰溪市期末）比﹣2大1的数（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C． D．2
【答案】B
【解答】解：﹣2+1＝﹣1，
∴比﹣2大1的数是﹣1．
故选：B．
2．（2023•雁塔区校级模拟）我市某天的最高气温是4℃，最低气温是﹣2℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为（　　）
A．6℃ B．2℃ C．﹣2℃ D．﹣6℃
【答案】A
【解答】解：根据题意得：4﹣（﹣2）＝4+2＝6，
则这一天的最高气温与最低气温的差为6℃．
故选：A．
3．（2021秋•藁城区校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．减去一个数，等于加上这个数
B．零减去一个数仍得这个数
C．互为相反数的两个数相减得零
D．相同的两个数的差为0
【答案】D
【解答】解：A．应为减去一个数等于加上这个数的相反数，故本选项不合题意；
B．零减去一个数等于这个数的相反数，故本选项不合题意；
C．互为相反数的两个数相加得0，故本选项不合题意；
D．相同的两个数的差为0，说法正确，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（2021秋•雁塔区校级月考）下列说法中正确的是（　　）
A．比﹣3大的负数有3个 B．比﹣2大3的数是﹣5
C．比2小5的数是﹣3 D．比﹣3小2的数是﹣1
【答案】C
【解答】解：A、比﹣3大的负数有无数个，故答案错误；
B、﹣2+3＝1，则比﹣2大3的数是1，故答案错误；
C、2﹣5＝﹣3，则比2小5的数是﹣3，故答案正确；
D、﹣3﹣2＝﹣5，则比﹣3小2的数是﹣5，故答案错误．
故选：C．
5．（2022秋•赣州期末）有理数a，b在数轴上的位置如图，则下列说法中，错误的是（　　）

A．a＜0 B．b＞0 C．b﹣a＞0 D．a+b＜0
【答案】D
【解答】解：由题意得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
故选项A、选项B不合题意；
b﹣a＞0，说法正确，故选项C不合题意；
a+b＞0，故选项D符合题意．
故选：D
6．（2022秋•花都区期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a+b　 　0．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由此图可知，a＜0，b＞0且|a|＞b，所以a+b＜0．
7．（2022秋•博兴县期末）在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是　 　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是1﹣2＝﹣1或1+2＝3．

8．（2022秋•松原期末）计算：20﹣11+（﹣10）﹣（﹣12）．
【答案】11．
【解答】解：20﹣11+（﹣10）﹣（﹣12）
＝20﹣11﹣10+12
＝32﹣21
＝11．
9．（2022秋•荣县期中）计算：（﹣21）﹣（﹣9）+|﹣8|﹣（﹣12）．
【答案】8．
【解答】解：原式＝﹣21+9+8+12
＝﹣21+（9+8+12）
＝﹣21+29
＝8．
10．（2022秋•小店区校级月考）计算题：
（1）8+（﹣11）﹣|﹣5|；
（2）12+（﹣）﹣（﹣8）﹣；
（3）0.125+3﹣+5﹣0.25；
（4）（﹣5）﹣（﹣12）﹣（+3）+（+6）．
【答案】（1）﹣8；（2）17；（3）8；（4）10．
【解答】解：（1）8+（﹣11）﹣|﹣5|
＝8﹣11﹣5
＝﹣3﹣5
＝﹣8；
（2）12+（﹣）﹣（﹣8）﹣
＝﹣﹣+12+8
＝﹣3+12+8
＝17；
（3）0.125+3﹣+5﹣0.25
＝0.125+3.25﹣0.125+5﹣0.25
＝0.125﹣0.125+3.25﹣0.25+5
＝3+5
＝8；
（4）（﹣5）﹣（﹣12）﹣（+3）+（+6）
＝﹣5+12﹣3+6
＝﹣5﹣3+6+12
＝﹣9+19
＝10．
11．（2022秋•迎泽区校级月考）计算：
（1）﹣6﹣（﹣13）+（﹣9）；
（2）8+（﹣11）﹣|﹣5|；
（3）；
（4）．
【答案】（1）﹣2；
（2）﹣8；
（3）10；
（4）3.5．
【解答】解：（1）﹣6﹣（﹣13）+（﹣9）
＝﹣6+13﹣9
＝﹣2；
（2）8+（﹣11）﹣|﹣5|
＝8﹣11﹣5
＝﹣8；
（3）
＝﹣5+12﹣3+6
＝
＝﹣9+19
＝10；
（4）
＝0.5﹣﹣2.75+
＝
＝1+2.5
＝3.5．
12．（2022秋•揭西县校级月考）阅读下题的计算方法：
计算．
解：原式＝
＝
＝
＝
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：（﹣4）+（+8）+（﹣3）．
【答案】．
【解答】解：原式＝[（﹣4）+（﹣）]+[（+8）+（+）]+[（﹣3）+（﹣）]
＝﹣4﹣+8+﹣3﹣
＝（﹣4+8﹣3）+（﹣）
＝1+（﹣）
＝．
13．（2022秋•望花区期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|平所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离 　 　；
（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝2，那么x＝　 　；
（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜3，求|x﹣3|+|x+4|的值；
（4）|x﹣3|+|x+4|+|x+8|的最小值是 　 　．

【答案】（1）3；
（2）﹣1或3；
（3）7；
（4）11．
【解答】解：（1）根据题意知数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离为﹣2﹣（﹣5）＝3．
故答案为：3；
（2）∵|x﹣1|＝2，即在数轴上到表示1和x的点的距离为2，
∴x＝3或x＝﹣1．
故答案为：﹣1或3；
（3）∵|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和3的点的距离之和，且x位于﹣4到3之间，
∴|x﹣3|+|x+4|＝3﹣x+x+4＝7；
（4））由数形结合可以判断|x﹣3|+|x+4|+|x+8|的最小值，当x＝﹣4时|x﹣3|+|x+4|+|x+8|有最小值，最小值为
11．
故答案为：11．
14．（2022秋•咸安区期中）随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．

第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（km）
﹣8
﹣11
﹣14
0
﹣16
+38
+18
（1）这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少km？
（2）请求出这七天中平均每天行驶多少千米？
（3）若每天行驶100km需用汽油6升，汽油价8.2元/升，请估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是多少元？（计算结果精确到个位）
【答案】（1）七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行54km．
（2）这七天中平均每天行51km．
（3）估计小明家一个月的汽油费用是753元．
【解答】解：（1）七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶：38﹣（﹣16）＝54（km），
答：七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行54km．
（2）7天比标准路程多行驶：﹣8﹣11﹣14﹣16+38+18＝7（km），
7天一共行驶：7×50+7＝357（km），
这七天中平均每天行驶：357÷7＝51（km），
答：这七天中平均每天行51km．
（3）30×51÷100×6×8.2
＝1530÷100×6×8.2
＝752.76
≈753（元），
答：估计小明家一个月的汽油费用是753元．
15．（2021秋•沙湾县期末）某冷库一周内水果进、出库吨数如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库）：
+16，﹣22，+34，﹣28，﹣15，﹣20
（1）通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了？
（2）经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有90吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？
（3）如果进、出库的装卸费都是每吨12元，那么这一周需付多少装卸费？
【答案】（1）35吨；
（2）125吨；
（3）1620元．
【解答】解：（1）（+16）+（﹣22）+（+34）+（﹣28）+（﹣15）+（﹣20）＝﹣35（吨），
答：这一周冷库里的水果减少了35吨；
（2）90+|﹣35|＝125（吨），
答：一周前冷库里存有水果125吨；
（3）（|+16|+|﹣22|+|+34|+|﹣28|+|﹣15|+|﹣20|）×12
＝135×12
＝1620（元），
答：这一周需付1620元装卸费．
16．（2022秋•江都区校级月考）观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1．给出定义如下：使等式a﹣b＝ab+1成立的对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如：数对（2，），（5，）都有“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是 　 　；
（2）若（4，b）是“共生有理数对”，则b＝　 　．
（3）小丁说：“若（a，b）是‘共生有理数对’，则（﹣b，﹣a）一定是‘共生有理数对’．”小丁说的正确吗？如果正确，请验证他的说法；如果不正确，请举出反例．
【答案】（1）（3，）；（2）；（3）小丁说的正确，验证过程见解析．
【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，（﹣2）×1+1＝1，
∴2﹣1≠（﹣2）×1+1，
∴数对（﹣2，1）不是“共生有理数对”；
∵3﹣＝，3×+1＝，
∴3﹣＝3×+1，
∴数对（3，）是“共生有理数对”，
故答案为：（3，）；
（2）∵（4，b）是“共生有理数对”，
∴4﹣b＝4b+1，
解得：b＝，
故答案为：；
（3）小丁说的正确，理由：
∵（a，b）是‘共生有理数对’，
∴a﹣b＝ab+1．
∵﹣b﹣（﹣a）＝﹣b+a＝a﹣b＝ab+1，
∴﹣b﹣（﹣a）＝（﹣b）（﹣a）+1，
∴（﹣b，﹣a）一定是‘共生有理数对’，
∴小丁说的正确．