专题09 面积计算（等积变形） —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题09 面积计算（等积变形）
知识精讲





计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。
典例分析




【典例分析01】已知图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=BC，求阴影部分的面积。

【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
【典例分析02】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？


【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为6÷2＝3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高 所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD＝6÷2＝3。
答：△AOD的面积是3。
【典例分析03】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图18－9所示）。


【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
【典例分析04】如图18－13所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。所以，
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。
【典例分析05】如图所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。

【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。
由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。
真题演练




一．选择题（共4小题，满分8分，每小题2分）
1．（2分）如果图中每个小方格代表1cm2，那么大长方形的面积是（　　）cm2．

A．56 B．60 C．58 D．66
【思路点拨】由图形观察可知，这个长方形沿着长有11个方格，沿着宽有6个方格，所以共有6×11＝66个方格，1×66＝66平方厘米．由此解答即可．
【规范解答】解：1×（6×11），
＝1×66，
＝66（平方厘米）；
答：大长方形的面积是66平方厘米．
故选：D．
【考点评析】本题根据求出有多少个小正方形可以组成这个大长方形，然后进一步求出面积．
2．（2分）把割补成后，面积（　　）
A．不变 B．变大了 C．变小了 D．无法判断
【思路点拨】割补前平行四边形的面积等于底乘高，把平行四边形从它的一个顶点沿高割下一个三角形，三角形的底是平行四边形底的一部分，高是平行四边形这条底上的高；割补后的长方形的长是原平行四边形的底，宽是平行四边形的高，长方形面积等于长乘宽，割补前后面积可比较。
【规范解答】解：割补前平行四边形面积＝底×高
割补后长方形的长＝原平行四边形的底，宽＝原平行四边形的高，
长方形面积＝长×宽＝原平行四边形的底×原平行四边形的高
平行四边形面积＝长方形面积
故选：A。
【考点评析】熟悉平行四边形面积与长方形面积计算公式是解决本题的关键。
3．（2分）如图，长方形的面积与圆的面积相等，已知阴影部分的面积是84.78cm2，圆的周长是（　　）cm．

A．18.84 B．75.36 C．37.68
【思路点拨】求圆的周长，需要求出圆的半径；由图形可知长方形的长相当于圆的周长的一半，宽相当于圆的半径；因为已知圆的面积和长方形面积相等，又由已知阴影部分的面积是84.78cm2，可求长方形的面积，即可求出圆的半径，据此解答即可．
【规范解答】解：84.78÷÷3.14
＝113.04÷3.14
＝36（cm2）；
6×6＝36（cm2），
3.14×6×2＝37.68（cm）．
答：圆的周长是37.68cm．
故选：C．
【考点评析】此题变相的考查圆的面积的推导过程，解答此题的关键是得出阴影部分面积是圆面积的．
4．（2分）如图的等腰梯形中，甲三角形的面积（　　）乙三角形的面积。

A．大于 B．等于 C．小于 D．无法判断
【思路点拨】由图可知，两个阴影三角形分别加上顶部的空白三角形后组成两个新的三角形，由于这两个新三角形是等底等高的，面积相等，所以两个阴影三角形的面积是相等的。
【规范解答】解：两个阴影三角形分别加上顶部的空白三角形后组成两个新的三角形，
这两个新三角形是等底等高，面积相等，空白部分是公共部分，所以甲三角形的面积等于乙三角形的面积。
故选：B。
【考点评析】此类题目可借助“等底等高的三角形面积相等”来解答。
二．填空题（共11小题，满分22分，每小题2分）
5．（2分）如图三角形ABC的面积是10平方厘米，AE＝ED，BD＝2DC，则阴影部分的面积是　4　平方厘米．

【思路点拨】过D作DM‖BF交AC于M（如图）因为BD＝2DC，因为AE＝DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等，所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积，即三角形AFB的面积，由DM‖BF知道△DMC相似△CBF 所以CM：CF＝CD：CB＝1：3，即FM＝CF，因为EF是△ADM的中位线，AF＝MF，所以AF＝AC，由此即可求出三角形AFB的面积，即阴影部分的面积．

【规范解答】解：过D作DM‖BF交AC于M（如图）因为BD＝2DC，
因为AE＝DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等
所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积
DM‖BF所以△DMC相似△CBF 所以CM：CF＝CD：CB＝1：3
即FM＝CF
因为EF是△ADM的中位线，AF＝MF，
所以AF＝AC
所以△ABF的面积10×＝4（平方厘米）
即阴影部分的面积（即△DBE的面积加△AEF的面积）等于4平方厘米
答：阴影部分的面积是4平方厘米，
故答案为：4．
【考点评析】本题主要是利用在三角形中，高一定，面积与底成正比关系解决问题．
6．（2分）如图，ABCDEF为正六边形，P为其内部任意一点，若△PBC、△PEF的面积分别为3和12，则正六边形ABCDEF的面积是　45　．

【思路点拨】假设P到BC 的距离为h1，P到EF 的距离为h2，BC到EF的距离为h，则h1+h2＝h．再假设正六边形边长为a，中心到各边的距离为d，则h＝2d；然后利用面积公式可得出△PBC的面积+△PEF的面积和，再与正六边形比较，得出正六边形的面积是△PBC的面积+△PEF的面积和的三倍，从而得出答案．
【规范解答】解：假设P到BC 的距离为h1，P到EF 的距离为h2，BC到EF的距离为h，则h1+h2＝h．再假设正六边形边长为a，中心到各边的距离为d，则h＝2d；
△PBC的面积+△PEF的面积
＝a×h1÷2+a×h2÷2
＝a×（h1+h2）÷2
＝a×h÷2
＝a×2d÷2
＝ad，
正六边形的面积＝（a×d÷2）×6
＝3ad，
所以正六边形的面积＝3（△PBC的面积+△PEF的面积）
＝3×（3+12）
＝3×15
＝45；
答：正六边形ABCDEF的面积是45，
故答案为：45．
【考点评析】解答此题的关键是得出正六边形的面积是△PBC的面积+△PEF的面积和的三倍．
7．（2分）如图所示，梯形下底是上底的1.5倍，梯形中阴影面积等于空白面积，三角形OBC的面积是12，那么三角形AOD的面积是　8　．

【思路点拨】设上底是a，下底是1.5a，O到BC的距离是h1，O到AD的距离是h2，因为阴影面积等于空白面积，所以空白面积＝梯形面积，由此得出，O到BC的距离与O到AD的距离相等，再根据在高相等时三角形的面积的比与底的比相等，从而解决问题．
【规范解答】解：设上底是a，下底是1.5a，O到BC的距离是h1，O到AD的距离是h2，
因为阴影面积等于空白面积，
所以空白面积＝梯形面积，
空白面积＝S△BOC+S△AOD＝（1.5ah1+ah2）＝（a+1.5a）（h1+h2），
得出h1＝h2，
所以S△BOC：S△AOD＝1.5：1，
而且S△BOC＝12，
所以S△AOD＝12÷1.5＝8；
故答案为：8．
【考点评析】根据图形特点及题意，得出O到BC的距离与O到AD的距离相等，及高一定时，三角形的面积与底成正比的关系的灵活应用．
8．（2分）如图中E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的三等分点，如果阴影部分面积为10平方厘米，则四边形ABCD的面积等于　18　平方厘米．

【思路点拨】如下图所示，连接BH、BD，则△AEH和△ABH等底不等高，而△ABH和△ABD也是等底不等高，则其面积比就等于对应高的比，同理△CFG和△CBG以及△CBG和△CBD也是等底不等高，其面积比就等于对应高的比，以此类推，得到四个空白三角形的面积占四边形面积的几分之几，也就能求出阴影部分的面积占四边形面积的几分之几，这样就能求出四边形ABCD的面积．
【规范解答】解：如图，连接BD、BH，
根据面积的关系：S△AEH＝×S△ABH，而S△ABH＝S△ABD，
所以S△AEH＝S△ABD＝S△ABD；
同理S△CFG＝S△BCD，
则S△AEH+S△CFG＝S四边形ABCD；
同理，S△DHG+S△BEF＝S四边形ABCD，
所以阴影部分是四边形面积的1﹣×2，
＝1﹣，
＝，
四边形的面积是10÷＝18（平方厘米）．
答：四边形的面积是18平方厘米．
故答案为：18．

【考点评析】解答此题的关键是：将图形进行分割，利用等底不等高的三角形的面积，其面积比就等于对应底的比，即可求出空白三角形的面积是总面积的几分之几，进而得出阴影部分的面积是总面积的几分之几，从而求得总面积．
9．（2分）右图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，左图中阴影部分是右图中阴影部分的面积　150　%．

【思路点拨】在左图中，阴影部分的面积＝正方形面积﹣空白部分的面积，空白部分是由四个三角形组成的，三角形的高是，面积是：
1×÷2＝，空白部分的面积是×4＝，阴影部分的面积＝1×1﹣＝；
在右图中，阴影部分的面积＝正方形面积﹣空白部分的面积，把空白部分是由4个四边形组成的，每个四边形看作是由2个三角形组成的，空白部分共有8个三角形，每个三角形的面积是×÷2＝，8个三角形的面积是×8＝．
【规范解答】解：左图中，阴影部分的面积是：
1×1﹣1×÷2×4
＝1﹣×4
＝1﹣
＝
右图中，阴影部分的面积是：
1×1＝×÷2×8
＝1﹣×8
＝1﹣
＝
左图中阴影部分是右图中阴影部分面积的：
÷＝1.5＝150%．
故答案为：150．
【考点评析】此题考查了学生对组合图形面积的分析与解答能力．
10．（2分）如图，大正方形ABCD的边长是10cm，小正方形CGFE的边长是6cm，那么图中阴影部分的面积是 　50　cm2。

【思路点拨】连接CF，阴影部分面积＝三角形BEF面积+三角形BDE面积+三角形DEF面积；三角形BEF的底EF＝6厘米，高FG＝6厘米；三角形BDE的底DE＝（10﹣6）厘米，高BC＝10厘米；三角形DEF底EF＝6厘米，高DE＝（10﹣6）厘米。
【规范解答】解：连接BE，阴影部分面积＝三角形BEF面积+三角形BDE面积+三角形DEF面积。

6×6÷2+（10﹣6）×10÷2+6×（10﹣6）÷2
＝36÷2+40÷2+24÷2
＝18+20+12
＝50（平方厘米）
故答案为：50。
【考点评析】本题有多种方法，本解法运用拆分的方法，把阴影分部拆分成几个部分。
11．（2分）如图，涂色部分的面积是3cm2，BD＝DC，AE＝ED，则三角形ABC的面积为 　9　cm2．

【思路点拨】连接EC两点，根据等高的三角形面积比等于底边长比，可以得到S△ABE＝S△BDE＝S△CDE，然后根据燕尾定律求出AF：FC的比，再根据等量替换即可解决问题．
【规范解答】解：连接EC两点，
因为，BD＝DC，三角形BDE和三角形CDE等高，
所以，S△BDE＝S△CDE，
同理，因为AE＝ED，
所以，S△ABE＝S△BDE＝S△CDE，
则，S△ABE：S△BCE＝S△ABE：（S△BDE+S△CDE）＝S△ABE：2S△ABE＝1：2，
根据燕尾定律可得：AF：FC＝1：2，
又因为，S△ABF＝S△ABE+S△AEF，涂色部分的面积是3cm2，
所以，S△ABF＝S△BDE+S△AEF＝3（平方厘米），
所以，（平方厘米），
答：三角形ABC的面积为9平方厘米．
故答案为：9．

【考点评析】此题主要考查了三角形的面积与底的正比关系以及燕尾定律的灵活应用，考查了分析推理能力的应用，要熟练掌握，
12．（2分）如图，在△ABC中，AE：EB＝1：3，，AD与CE交于F，若△AFC面积为24平方厘米，则△DEF的面积是　12　平方厘米．

【思路点拨】连接BF，因为AE：EB＝1：3，根据燕尾定律可得，S△BCF＝3S△ACF＝72平方厘米，然后分别求出S△CDF和AF：FD＝1：1；然后再求出S△AEF即可求出△DEF的面积．
【规范解答】解：连接BF，
因为AE：EB＝1：3，根据燕尾定律可得，S△BCF＝3S△ACF＝3×24＝72平方厘米，
又因为，所以，平方厘米，
所以，S△ACF＝S△CDF＝24平方厘米，
所以，AF：FD＝1：1，
同理，因为，根据燕尾定律可得，S△ABF＝2S△ACF＝2×24＝48平方厘米，
又因为，AE：EB＝1：3，所以，平方厘米，
由于AF：FD＝1：1，所以S△DEF＝S△AEF＝12平方厘米；
故答案为：12．

【考点评析】本题多次用到了燕尾定律，关键是求出AF：FD＝1：1．
13．（2分）如图，在△ABC中，BD＝AD，EF＝3，FC＝2，△ADH与△AGC的面积和等于四边形EFGH的面积，那么BE的长是　1　．

【思路点拨】因为BD＝AD，根据燕尾定理可得，，又因为△ADH与△AGC的面积和等于四边形EFGH的面积，S△AHG是公共部分，所以，那么，又因为△ABE、△AFC和△AEF等高，所以BE+FC＝EF，又EF＝3，FC＝2，所以BE+2＝3，则BE＝1，问题得解．
【规范解答】解：因为BD＝AD，根据燕尾定理可得，，S△ADH+S△AGC＝S四边形EFGH，
所以S△ADH+S△AGC+S△AHG＝S四边形EFGH+S△AHG，即：，，
又因为△ABE、△AFC和△AEF等高，
所以BE+FC＝EF，
又因为EF＝3，FC＝2，
所以，BE+2＝3，BE＝1；
故答案为：1．
【考点评析】本题关键是利用S△AHG是S△AEF和S△ADC的公共部分，得出．
14．（2分）如图，E，F，G，H是边长为2的正方形ABCD各边的中点，则图中阴影部分的面积等于　2　．

【思路点拨】如图，连接EG、HF、OA，则正方形ABCD被分成了4个相等的小正方形，阴影部分的面积被分成了相等的4份；点P是长方形ABFH对角线AF和BH的交点，且点E和O分别为AB和HF的中点，得出P在EO上，且P是EO的中点，由此得出三角形AOP的面积是三角形AEO的面积的一半，同理三角形AQO的面积是三角形AHO的面积的一半，进而得出阴影APOQ的面积是小正方形AEOH的面积的一半，因此图中阴影部分的面积是大正方形面积的一半．

【规范解答】解：根据题干分析可得：2×2×＝2，
答：阴影部分的面积是2．
故答案为：2．
【考点评析】解答此题的关键是，正确添加辅助线，利用等底同高的性质，判断三角形之间的关系，进而得出阴影部分与正方形的关系，由此得出答案．
15．（2分）用一块正方形玻璃来修补窗户，需要在相邻的两边分别划掉5厘米和2厘米，共划掉298平方厘米，原来正方形玻璃的面积是　1936　平方厘米，剩下部分的面积是　1638　平方厘米．
【思路点拨】根据题意，按下图所示先分割，再拼补，所以原正方形的边长为（289+2×5）÷（2+5）＝44（厘米）．所以原正方形的面积为44×44＝1936（平方厘米），剩下部分面积为1936﹣298＝1638（平方厘米）．

【规范解答】解：原正方形的边长为：（289+2×5）÷（2+5）
＝299÷7
＝44（厘米）
原正方形的面积为：44×44＝1936（平方厘米）
剩下部分面积为1936﹣298＝1638（平方厘米）
答：原来正方形玻璃的面积是 1936平方厘米，剩下部分的面积是 1638平方厘米．
故答案为：1936，1638．
【考点评析】本题属于图形的等积变形问题，关键是画出分割拼补后的图形．
三．解答题（共13小题，满分70分）
16．（5分）如图，大正方形的一个顶点A落在小正方形的中心，已知大、小正方形的边长分别是19厘米和10厘米，求重叠部分的面积．

【思路点拨】根据题干，可将该重叠部分图形进行等积变形，如图所示：阴影部分面积正好是小正方形的面积的，由此即可求得重叠部分的面积．

【规范解答】解：10×10×＝25（平方厘米）
答：阴影部分的面积为25平方厘米．
【考点评析】此题的关键是利用正方形的中心的特点，将重叠部分进行等积变形．
17．（5分）如图1、图2所示，梯形上底AB长3厘米，下底CD长6厘米，高为3厘米，P为CD边上任意一点，求阴影部分的面积。

小东是这样想的：P为CD边上任意一点，不妨让点P落在点C处（如图3所示），这样阴影部分就是三角形ADC，面积是6×3÷2＝9（cm2）。当点P落在其它位置时，虽然阴影部分的形状不同，但面积应该是不会变的，仍是9cm2。
你认为东东的想法怎么样？写出你这样判断的理由。
【思路点拨】三角形的面积＝底×高÷2，P点如果不是C、D两点，那么P点分成底在CD边上的两个三角形，它们的高相等，两个底的和是CD，所以这两个三角形的面积和就是以CD为底，以梯形的高为高的三角形的面积，由此判断。
【规范解答】解：东东的想法是正确的。
原因如下：P点分成底在CD边上的两个三角形，如题目中的图1、图2，它们的高相等，两个底的和是CD。
根据三角形的面积＝底×高÷2可知：阴影部分两个三角形的面积和＝三角形ADC的面积＝6×3÷2＝9（cm2）。
所以无论P落在何处，面积都是9cm2。
【考点评析】本题考查了学生对于三角形面积公式的理解和掌握情况，关键是明确分成的两个三角形的高是原来梯形的高，两个底的和是原来梯形的下底。
18．（5分）如图，有三个正方形ABCD，BEFG和CHIJ，其中正方形ABCD的边长是10，正方形BEFG的边长是6，那么三角形DFI的面积是　20　．

【思路点拨】三角形DFI面积就等于五边形DFEHI的面积减去梯形HIFE的面积，五边形HIDFE的面积等于梯形HIDC的面积加上梯形EFDC的面积，假设小正方形CHIJ的边长为a，据此计算即可。
【规范解答】解：方法1：设正方形HIJC的边长为a，
梯形HIDC的面积为：
（a+10）×a÷2＝a2+5a
梯形EFCD的面积为：
（10+6）×（10﹣6）÷2
＝16×4÷2
＝16×2
＝32
梯形HIFE的面积为：
（a+6）×（10﹣6+a）÷2
＝（a+6）×（4+a）
＝[4×（a+6）+a×（a+6）]
＝（4a+24+a2+6a）
＝a2+5a+12
三角形DFI面积：
a2+5a+32﹣（a2+5a+12）
＝a2+5a+32﹣a2﹣5a﹣12
＝32﹣12
＝20
方法2：连接IC，则DF∥IC，
阴影部分三角形DFI和三角形DFC是以DF为底的等面积三角形，
三角形DFC面积为：10×4÷2＝20
则阴影部分三角形DFI的面积为20。
答：三角形DFI的面积为20。
故答案为：20。

【考点评析】将图形进行割补变成可计算的图形的面积，是本题解题的关键。
19．（5分）如图，正方形ABCD的边长为10厘米，E，F，G，H分别为正方形四边上的
中点，求阴影部分的面积是多少平方厘米．

【思路点拨】如图所示，将原图进行割补，则可以得出，正方形的面积就等于5个小正方形的面积和，于是阴影部分的面积就等于大正方形的面积除以5，据此即可得解．

【规范解答】解：将原图割补为下图：
．
；
答：阴影部分的面积是20平方厘米．
【考点评析】解答此题的关键是：利用割补的方法，将原正方形割补成同样的5个小正方形，从而问题轻松得解．
20．（5分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？

【思路点拨】如图，阴影部分A的面积等于空白部分B的面积，阴影部分C的面积等于空白部分D的面积，所以阴影部分的面积和等于正方形面积的一半，据此解答即可．
【规范解答】解：如图，，
阴影部分A的面积等于空白部分B的面积，
阴影部分C的面积等于空白部分D的面积，
所以阴影部分的面积和等于正方形面积的一半，
4×4÷2＝8（平方厘米）
答：图中阴影部分的面积为8平方厘米．
【考点评析】此题主要考查了组合图形的面积求法的应用，解答此题的关键是分析出：阴影部分的面积和等于正方形面积的一半．
21．（5分）求小路的占地面积．
如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路．

【思路点拨】无论这曲折小路如何再曲折，都可以将曲折小路分成两类，一类是竖的，一类是横的，可以把竖的往左拼，横的往上拼，如下图则小路面积不难算出，竖的部分14×2，横的部分20×2，计算重叠2×2，则小路面积为（20+14）×2﹣2×2＝64（平方米）．

【规范解答】解：小路面积为：（20+14）×2﹣2×2＝64（平方米），
答：小路的占地面积64平方米．
【考点评析】利用等积变形、平移知识把曲折的小路拉直，就变成规则的图形包括三部分竖的长方形，横的长方形和重叠的小正方形，进而解答．
22．（5分）如图所示，用一张斜边长为17厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长为29厘米的黄色直角三角形纸片，一张蓝色的正方形纸片，拼成一个直角三角形．红、黄两张三角形纸片面积之和是多少？

【思路点拨】根据题干分析可得，黄色直角三角形和红色直角三角形是相似三角形，（三个角分别相等的三角形是相似三角形），将红三角形绕点旋转，一直角边与黄三角形直角边重合，就组成了一个新直角三角形，如下图所示：红黄三角形的面积之和就是一个大三角形的面积了．

【规范解答】解：根据题干分析可得：
29×17÷2＝246.5（平方厘米），
答：这两个直角三角形的面积和是246.5平方厘米．
故答案为：246.5平方厘米．
【考点评析】此题关键是将红色三角形旋转90°与黄色三角形组成一个新直角三角形，从而利用三角形面积公式进行计算．
23．（5分）如图，有边长分别是15分米和20分米的两个正方形，一条直线把这两个相连的正方形分成甲、乙、丙、丁四部分．甲三角形的面积比丙三角形的面积大多少平方分米？

【思路点拨】如图，根据图意，PB∥EF，所以△ABP∽△AEF，所以AB：AE＝BP：EF，即15：（15+20）＝BP：20，因此，BP＝＝＝（分米），PG＝20﹣＝（分米），根据已知条件可分别求出甲三角形和丙三角形的面积，进而求出甲三角形的面积比丙三角形的面积大多少平方分米．
【规范解答】解：如图，

甲三角形的面积是：×20×＝114（平方分米），
丙三角形的面积是：×15×＝64（平方分类），
114﹣64＝50（平方分米）；
故答案为：50平方分米．
【考点评析】解答此题的关键是根据相似三角形求出直线把大正方形分成的两部分的长．用小学知识解答有一定难度．
24．（6分）如图，O是半圆的圆心，AC＝BC，CD＝DB，AB＝12厘米，求阴影部分的面积．

【思路点拨】如图所示，连接CO，则CO就是三角形ABC的高，因为三角形ACD的面积等于三角形COB的面积，所以阴影部分的面积＝S扇形COB＝圆的面积，将数据代入此等式即可求解．

【规范解答】解：S阴＝S扇形COB
＝×3.14×，
＝3.14×9，
＝28.26（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是28.26平方厘米．
【考点评析】解答此题的关键是做出合适的辅助线，将阴影转化成圆面积的四分之一．
25．（6分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1，∠BAB1＝∠CAC1＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5．
（1）求线段AB、AC所扫过的图形的面积；（结果保留π）
（2）画出线段BC所扫过的图形并用阴影表示出来，然后求出阴影部分的面积．（结果保留π）

【思路点拨】（1）因为将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1，所以线段AB、AC所扫过的图形的面积都是圆心角为90度的扇形，根据圆的面积公式分别求出圆的面积即可．
（2）为了便于观察，在格子图中画阴影部分；阴影部分的面积等于扇形ABB1与△ABC的面积和减去扇形ACC1与△AB1C1，而△ABC与△AB1C1的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形扇形ABB1减去扇形ACC1的面积；据此解答即可．
【规范解答】解：（1）AB所扫过的图形的面积：
π×AB2＝π×52＝π
AC所扫过的图形的面积：
π×AC2＝π×42＝4π
答：AB所扫过的图形的面积是π；AC所扫过的图形的面积是4π．

（2）如图：为了便于观察，在格子图中画阴影部分；

黄色阴影部分即为旋转过程中线段BC所扫过的图形，
线段BC所扫过的图形如图所示．
根据网格图知：BC＝3，AC＝4，AB＝5，
阴影部分的面积等于扇形ABB1与△ABC的面积和减去扇形ACC1与△AB1C1，
故阴影部分的面积等于扇形ABB1减去扇形ACC1的面积，两个扇形的圆心都是90度．
段BC所扫过的图形的面积：S＝（AB2﹣AC2）＝×（52﹣42）＝．
答：旋转过程中线段BC所扫过的图形的面积（阴影部分的面积）是．
【考点评析】解决本题的关键是找出关键点得到扫过的图形；并利用圆的面积公式求解．
26．（6分）如图，直角梯形ABCD中，AB＝12，BC＝8，CD＝9，且三角形AED、三角形FCD和四边形EBFD的面积相等，求三角形DEF 的面积．

【思路点拨】根据题干，利用梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，即可求得这个直角梯形的面积，又因为三角形AED、三角形FCD和四边形EBFD的面积相等，所以可得它们的面积都是这个梯形的面积的，因此，要求三角形DEF的面积，只要求出直角三角形BEF的面积即可，利用图中直角梯形BECD的面积，和直角三角形FCD的面积分别求出BE和BF即可解决问题．
【规范解答】解：（1）根据题干可得，梯形ABCD的面积为：
（9+12）×8÷2，
＝21×8÷2，
＝84，
所以三角形AED、三角形FCD和四边形EBFD的面积分别为：
84÷3＝28，
（2）在直角梯形BECD中，
BE＝28×2×2÷8﹣9＝14﹣9＝5，
（3）在直角三角形FCD中，
FC＝28×2÷9＝，
所以BF＝8﹣＝，
所以直角三角形BEF的面积为：5×＝，
故三角形DEF 的面积为：28﹣＝，
答：三角形DEF的面积为．
【考点评析】根据题干“三角形AED、三角形FCD和四边形EBFD的面积相等”，得出这三部分图形的面积都是直角梯形ABCD的面积的，此题把一般三角形的面积转移到求直角三角形的面积上来是本题的关键，此题也考查了学生对直角梯形和直角三角形的面积公式的灵活应用．
27．（6分）如图，ABCD是一个长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路，求小路的面积．

【思路点拨】无论这曲折小路如何再曲折，都可以将曲折小路分成两类，一类是竖的，一类是横的，可以把竖的往左拼，横的往上拼，如下图则小路面积不难算出，竖的部分14×2，横的部分20×2，计算重叠2×2，则小路面积为（20+14）×2﹣2×2＝64（平方米）．

【规范解答】解：小路面积为：（20+14）×2﹣2×2＝64（平方米），
答：小路的面积是64平方米．
【考点评析】利用等积变形、平移知识把曲折的小路拉直，就变成规则的图形包括三部分竖的长方形，横的长方形和重叠的小正方形，进而解答．
28．（6分）如图是直角三角形中有一个内接正方形，求图中阴影部分的面积．单位：厘米．提示：分拆图形时常用“分割、填补、组合、旋转”等方法．

【思路点拨】根据题干分析可得，大直角三角形和小直角三角形是相似三角形，（三个角分别相等的三角形是相似三角形），将小三角形绕点旋转，一直角边与大三角形直角边重合，就组成了一个新直角三角形，如下图所示：大小三角形的面积之和就是一个大三角形的面积即图中阴影部分的面积．

【规范解答】解：根据题干分析可得：
18×12÷2＝108（平方厘米），
答：图中阴影部分的面积是108平方厘米．
故答案为：108平方厘米．
【考点评析】此题关键是将小三角形旋转90°与大三角形组成一个新直角三角形，从而利用三角形面积公式进行计算