专题13 最值问题 —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义

专题13 最大最小

人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。

【典例分析01】a和b是小于100的两个不同的自然数，求的最大值。

根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99

的最大值是=                

   答：的最大值是。

【典例分析02】有甲、乙两个两位数，甲数等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？

甲数：乙数=：=7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56

【典例分析03】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？

在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。

               答：这样的数对共有79个。

【典例分析04】三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多少？

因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最大数－最小数）×中间数＝114

而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是114÷2＝57，最小数是57－1＝56

                 答：最小数是56。

【典例分析05】 三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。

因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以，2886÷222能得到三个数字的和。

设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为

abc+acb+bac+bca+cab+cba

           ＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2

           ＝（a+b+c）×222

           ＝2886

即a+b+c＝2886÷222＝13

             答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）把2、3、4、5四个数字分别填入□□□×□里，要使积最大，应该是（　　）

A．432×5 B．532×4 C．543×2

【思路点拨】根据一位数乘三位数的计算法则，一位数最大是5，三位数最高位是4，百位是3，个位是2.据此解答。

【规范解答】解：积最大：

432×5＝2160

故选：A。

【考点评析】本题主要考查三位数乘一位数的计算。

2．（2分）舞蹈演员在舞台上排成5条直线，每条直线上有4名演员，则最少需要舞蹈演员（　　）

A．10名 B．12名 C．16名 D．20名

【思路点拨】利用直线两两相交图形，数一数交点的个数即是最少需要舞蹈演员人数，据此解答即可。

【规范解答】解：如图：，

当5条直线两两相交时，需要的舞蹈演员最少，此时5条直线有10个交点，每一条直线上有4个交点，正好是每排4名演员的位置，所以最少需要舞蹈演员10名。

故选：A。

【考点评析】本题主要考查了最少问题，解题的关键是理解直线两两相交时需要的舞蹈演员最少，利用图形更易理解。

3．（2分）试卷上有4道题，每题有3个可供选择的答案，一群学生参加考试结果对于其中任何三人都有一道题目的答案互不相同，参加考试的学生最多有（　　）人．

A．7 B．8 C．9 D．10

【思路点拨】根据乘法原理可得，共有4×3＝12种选择，要使一个题目的答案互不相同的情况尽量多，就要使他们每人做的另外3题都一样，那么不一样的就有12﹣3＝9种可供选择，所以最多有9人．

【规范解答】解：根据分析可得，

4×3＝12（种）

12﹣3＝9（人）

答：参加考试的学生最多有9人．

故选：C．

【考点评析】本题考查了排列组合知识和抽屉原理的综合应用，关键是从最不利的情况考虑．

4．（2分）从1、2、3、4、5、6…1997这些自然数中，最多可以取出（　　）个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于8．

A．500 B．600 C．900 D．1000

【思路点拨】根据题意：把1﹣﹣1997这些自然数分组：

1，9，17，25，3…1993﹣﹣有250个数；

2，10，18，26，34…1994﹣﹣有250个数；

3，11，19，27，35…1995﹣有250个数；

4，12，20，28，3…1996﹣﹣有250个数；

5，13，21，29，37…1997﹣有250个数；

6，14，22，30，38…1990﹣﹣有249个数；

7，15，23，31，39…1991﹣有249个数；

8，16，24，32，40…1992﹣有249个数；

前五行，每行的数每隔一个数取一个数，共可取250÷2＝125个符合条件的数；

后三行，每行的数每隔一个数取一个数，最多可也取125个（124+125＝249）符合条件的数；

 这样，从1～1997这些自然数中，最多可取125×8＝1000个符合条件的数．

【规范解答】解：由分析得：

前五行，每行的数每隔一个数取一个数，共可取250÷2＝125个符合条件的数；

后三行，每行的数每隔一个数取一个数，最多可也取125个（124+125＝249）符合条件的数；

最多可取：125×8＝1000（个）；

故选：D。

【考点评析】解决此题的关键是任意两个数的差都不等于8，根据8的倍数分组，再取出符合条件的数．

5．（2分）现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的人至少分（　　）朵鲜花。

A．5 B．6 C．7 D．8

【思路点拨】因为每个人分得的鲜花数各不相同，第一次先分给这5个人的鲜花数依次为：1、2、3、4、5，从这里可以看出最后那个人是分得鲜花最多的人；那么还剩下6朵，如果这6朵全给最后这个人，那么他最多可分得5+6＝11朵，要想让他分得的鲜花数少，那么剩下的6朵，可以再分给每个人1朵，由此可得出这时每个人的鲜花数为：2、3、4、5、6，此时还剩下1朵，只能给最后那个人，由此即可得出他至少得几朵。

【规范解答】解：因为每个人分得的鲜花数各不相同，第一次先分给这5个人的鲜花数依次为：1、2、3、4、5，那么还剩下6朵，为了使最后那个人分得的鲜花数最少，并且保证没人分得的鲜花数各不相同，所以，剩下的6朵再依次分给5个人每人一朵，这时，每人分得的鲜花数分别为：2、3、4、5、6，此时只剩下一朵，给前四个人中任意一个人，都会出现鲜花数量相同，所以最后一朵只能给最后那个人鲜花数最多的人，此时，他的鲜花数为7。

答：分得鲜花最多的人至少分得7朵鲜花。

故选：C。

【考点评析】本题主要考查了最大与最小问题，解题的关键是要抓住分得的鲜花数各不相同，得出分配鲜花的方法是解决这个问题的关键。

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

6．（2分）用1、2、3、4、5五个数字，分别组成一个最大的三位数，与一个最小的两位数，它们的乘积是 　6516　。

【思路点拨】要使三位数最大，百位上数字最大，十位是较大，个位上的数字较小；要使两位数最小，最高位上的数字要最小，个位上的数字较小。它们的乘积即可得。

【规范解答】解：543×12＝6516。

故答案为：6516。

【考点评析】理解数位的意义是解决本题的关键。

7．（2分）用2，0，5三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的是　5.20　，最小的是　0.25　．

【思路点拨】要使三个数字组成的两位小数最大，5要放在个位上，2要放在十分位上，0要放在百分位上；要使三个数字组成的两位小数最小，0要放在个位上，2要放在十分位上，7要放在百分位上；据此解答．

【规范解答】解：根据分析可得，

最大两位小数是：5.20，

最小两位小数是：0.25．

故答案为：5.20，0.25．

【考点评析】本题考查了简单的排列知识，要使三个数字组成的两位小数最大较大数字应放在较高位，反之放在较低位，注意要按顺序写出，防止遗漏．

8．（2分）把1993分成若干个自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是　3663×22．　．

【思路点拨】因为1993＝3×663+2×2，故将它分成+2+2时，这些加数之积最大．

【规范解答】解：因1993＝3×663+2×2，故将它分成+2+2时，这些加数之积最大．

即乘积最大是：3663×22．

故答案为：3663×22．

【考点评析】关键是明白：把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大．

9．（2分）A、B都是整数，A大于B，且A×B＝2009，那么A﹣B的最大值为　2008　，最小值为　8　。

【思路点拨】求最小值的时候，把2009分解质因数成2009＝7×7×41，所以当A＝49，B＝41，A﹣B有最小值为8；A和B的乘积等于2009又两者都是整数，所以A＝2009，B＝1时A﹣B有最大值为2008。

【规范解答】解：2009＝7×7×41

所以A＝2009，B＝1时，A﹣B有最大值为2008。

所以当A＝49，B＝41时，A﹣B的最小值为8。

故答案为：2008，8。

【考点评析】此题的关键在于通过分解质因数，求得A与B的值，进而求出最大值与最小值。

10．（2分）在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，选出六个不同的数字填在下面的方框中，使算式成立并且得数最大，最大是 　105　。

【思路点拨】两位数加一位数的数为三位数，说明个位上有进位，十位上的数字是9，要是最终的数最大，只需要一位数和两位数的个位的和最大即可。

【规范解答】解：两位数的十位上一定是9，三位数的个位上一定1，十位上是0，

除了9外，8+7最大，

所以：

答：最大是105。

故答案为：105。

【考点评析】本题主要考查了最大与最小，根据一位数加两位数的计算法则，判断出两位的十位是多少，再求最大值是本题解题的关键。

11．（2分）妈妈准备了7只信封，在每只信封里都放了钱共100元，要求每一只信封里都放整元数，而且都不相同，那么钱放得最多的一只信封里至少放　18　元？

【思路点拨】根据抽屉原理，如果把n个物体放入m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：①当n不能整除m时，k＝n÷m+1个物体；②当n能整除m时，k＝n÷m个物体．本题中，就是把100放入7个抽屉，结合前面的原理解答即可．

【规范解答】解：这题有多种解法，只要每一袋的数不同就可以了，

但题中要求“最多的一袋至少放多少”，

那么这7袋的数是非常接近的，

把100分成7个接近的数，每个信封里就是十几元，

根据个位数的和是30元，

结果是：11+12+13+14+15+17+18＝100（元）

所以：最多的一只信封里至少放18元．

故答案为：18．

【考点评析】本题主要考查了抽屉原理的应用，难度较大．

12．（2分）2013乘上一个整数，积的末4位是2012，那么乘上的这个整数最小是 　4924　。

【思路点拨】积的个位数是2，2013的个位是3，3×（4）＝12，所以乘上的这个整数个位是4；2013×4＝8052，十位是5，5+（6）＝11，这个整数的十位上的数与2013个位上3的积末位是6，6÷3＝2，所以乘上这个整数的十位是2；2013×24＝48312，百位是3，3+（7）＝10，这个整数的百位上的数与2013个位上3的积是末位是7，3×（9）＝27，所以乘上这个整数的百位是9；2013×924＝1860012，千位是0，0+（2）＝2，这个整数的千位上的数与2013个位上3的积是末位是2，3×（4）＝12，所以乘上这个整数的千位4；据此解答即可。

【规范解答】解：2013×4924＝9912012

答：乘上这个整数最小是4924。

故答案为：4924。

【考点评析】本题主要考查整数乘法计算法则，熟悉掌握整数乘法计算法则，灵活计算。

13．（2分）某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的男孩是　8　岁。

【思路点拨】4～10中，差为4的算式有：10﹣6＝4，9﹣5＝4，8﹣4＝4，据此讨论即可。

【规范解答】解：4～10中，差为4的算式有：

10﹣6＝4，9﹣5＝4，8﹣4＝4，

因为一定有人是10岁和4岁，

所以取算式：10﹣6＝4和8﹣4＝4，

若最大的男孩10岁，最大的女孩8岁，

则最小的女孩为6岁，最小的男孩为4岁，

此时，其他女孩分别为7、8、9岁，

与最大的女孩是8岁矛盾，

所以，最大的男孩是8岁，最大的女孩是10岁，最小的男孩是6岁，最小的女孩是4岁。

故答案为：8。

【考点评析】本题主要考查了最大与最小，确定计算年龄差的算式后，需要验证结论是否符合题意。

三．应用题（共5小题，满分25分，每小题5分）

14．（5分）一次数学考试的满分是100分，6位同学在这次考试中平均得分是91分，这6位同学的得分互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排在第三名的同学至少得多少分？

【思路点拨】要使第三名同学的分数最少，则让其他同学的分数最多即可，根据题意，令第一名是100分，第二名是99分，第六名是65分；然后求出六位同学的总分91乘6，减去100、99、65，最后除以3得94，让第四位、第五位同学分数尽量大94、93，则第三名同学至少得95分，即可得解。

【规范解答】解：91×6＝546（分）

546﹣100﹣99﹣65＝282（分）

282÷3＝94（分）

答：得分排在第三名的同学至少得95分。

【考点评析】明白要使第三名分数最小，则其他五人的分数必须最大是解决此题的关键。

15．（5分）影院正在放映《玩具总动员》、《冰河世纪》、《怪物史莱克》、《齐天大圣》四部动漫电影，票价分别是50元，55元，60元，65元，来影院的观众至少看一场，最多看两场，因时间关系《冰河世纪》和《怪物史莱克》不能都观看，若今天必有100人看电影所花的钱一样多，则影院今天至少接待观众多少人？

【思路点拨】每次看一场或两场且《冰河世纪》和《怪物史莱克》不能都观看，则共有9种不同票价，看一场有4种，两场有5种，然后最不利思考，最不利时这9种票价都有99人，则第100人无论怎么选择，必为9种中的一种，所以至少有99×9+1＝892（人），也就是抽屉原理的应用，即有m个抽屉，要使一个抽屉中放n个，最少要[（n﹣1）×m+1]个，

【规范解答】解：一场或两场且符合题目要求的不同票价有：

只看一场，共4种：50元，55元，60元，65元，

看2场，共5种：105元，110元，115元，120元，125元，

则总共有4+5＝9（种）可能

最不利时，至少接待观众：（100﹣1）×9+1＝892（人）

答：影院今天至少接待观众892人．

【考点评析】本题考查了最大与最小，利用的是抽屉原理，即有m个抽屉，要使一个抽屉中放n个，最少要[（n﹣1）×m+1]个，解答的关键是先求出总共有几种票价．

16．（5分）一场晚会的入场券分成两种，一种价格是48元，另一种价格是80元，48元的入场券共有180张，80元的入场券有120张．这场晚会一共售出250张入场券．票房收入最多可能是多少元？

【思路点拨】收入最多的可能是：80元的票全部卖完，48元的卖了（250﹣120）张；据此根据“单价×数量＝总价”即可求解．

【规范解答】解：80×120+48×（250﹣120）

＝9600+48×130

＝9600+6240

＝15840（元）

答：票房收入最多可能是15840元．

【考点评析】解答此题的关键是：弄清楚最多和最少是卖的两种票的数量情况，从而问题的解．

17．（5分）欢欢在一张大纸上建“长方形螺旋”，其方法是以厘米为单位画长度为1，1，2，2，3，3，4，4…的线段，如图所示．在总长度为3000厘米时，他的钢笔墨水用完了．问欢欢画的最长的线段是多少厘米？

【思路点拨】线段从小到大出现的规律是1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6……如果把相同的两个数看成一组，分析最后一个数是第几组即可．

【规范解答】解：

3000÷2＝1500（厘米）

1+2+3+……+50＝1275（厘米）

1+2+3+……+50+51+52+53+54＝1485（厘米）

3000﹣1485×2＝30（厘米）

答：欢欢画的最长的线段是54厘米．

【考点评析】此题主要运用等差数列知识，采用逼近法解题．

18．（5分）一支摩托车小分队奉命把一份重要的文件送到距小分队驻地300千米以外的指挥部．每辆摩托车装满油最多能行驶300千米，途中无加油站．队长要安排三辆摩托车共同完成这项任务，并要求其中两辆要返回驻地，另一辆把文件送到指挥部，指挥部最远离小分队驻地多少千米？

【思路点拨】画出线段图分析，三辆摩托车编号1、2、3，1号车到达指挥部，2号车第一个返回，3号车第二个返回；

情况一：设2号车行驶了a千米返回，此时，2号车预留出返回的油量，剩下的油加满1号车的油箱；3号车再行驶b千米后返回，预留出返回的油量，剩下的油加满1号车的油箱．此时1号车油箱是满的，所以可以继续行驶300千米．

情况二：设2号车行驶了a千米返回，此时，2号车预留出返回的油量，剩下的油加满1和3号车的油箱；3号车再行驶b千米后返回，预留出返回的油量，剩下的油加满1号车的油箱．此时1号车油箱是满的，所以可以继续行驶300千米．

根据线段图列出方程，求解即可；

【规范解答】解：三辆摩托车编号1、2、3，1号车到达指挥部，2号车第一个返回，3号车第二个返回；

情况一：设2号车行驶了a千米返回，3号车在2号车返回后，再行驶b千米后返回．

由线段图可知，2号车共行驶了：a+a＝2a（千米），

加给1号车的油量能行驶（300﹣2a）千米，

1号车此时消耗的油量能行驶a千米，

有：300﹣2a＝a

解得：a＝100

3号车共行驶了a+b+a+b＝2（a+b）（千米），

3号车加给1号车的油量能行驶[300﹣2（a+b）]（千米），

此时，1号车从2号车返回到3号车返回共消耗的油量能行驶b千米，

有：300﹣2（a+b）＝b

将a＝100代入，得：300﹣2（100+b）＝b

解得：b＝

所以，1号车行驶的总路程为：

a+b+300

＝100++300

＝433（千米）

情况二：设2号车行驶了a千米返回，3号车在2号车返回后，再行驶b千米后返回．

由线段图可知，2号车共行驶了：a+a＝2a（千米），

加给1号和3号车的油量能行驶（300﹣2a）千米，

1号和3号车此时消耗的油量能行驶（a+a）千米，

300﹣2a＝a+a

解得：a＝75，

3号车共行驶了a+b+a+b＝2（a+b）（千米），

2号车给3号车加过能行驶a千米的油量，则3号车加给1号车的油量能行驶[300+a﹣2（a+b）]（千米），

此时，1号车从2号车返回到3号车返回共消耗的油量能行驶b千米，

有：300+a﹣2（a+b）＝b

将a＝75代入，得：300+75﹣2（75+b）＝b

解得：b＝75

所以，1号车行驶的总路程为：

a+b+300

＝75+75+300

＝450（千米）

450＞443

答：指挥部最远离小分队驻地450千米．

【考点评析】本题主要考查了最大与最小问题以及综合行程问题，需要学生能够画出线段图，并发现其中的数量关系，使得到达指挥部的那辆摩托车行驶距离最远．

四．解答题（共9小题，满分49分）

19．（5分）用3、4、5、7四个数组成两个分数，再进行运算，结果最大是多少？请列式计算。

【思路点拨】用3、4、5、7四个数组成两个分数，再进行运算，要使结果最大，则需满足分母越小，分子越大即可。

【规范解答】解：结果最大是：+＝

【考点评析】解答本题关键是明确分数的大小比较法。

20．（5分）有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这5个数中最小数的最小值为多少？

【思路点拨】设中间数是a，则它们的和为5a，中间三数的和为3a．因为5a是平方数，所以平方数的尾数一定是5或者0；再由中间三数为立方数，所以a﹣1+a+a+1＝3a，所以立方数一定是3的倍数．中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．

【规范解答】解：设中间数是a，五个数分别是a﹣2，a﹣1，a，a+1，a+2；

明显可以得到a﹣2+a﹣1+a+a+1+a+2＝5a，

由于5a是平方数，所以平方数的尾数一定是5或者0，

再由3a是立方数，所以a﹣1+a+a+1＝3a，所以立方数一定是3的倍数．

所以这个数a一定是32×53＝1125，

所以最小数是1125﹣2＝1123．

答：这5个数中最小数的最小值为1123．

【考点评析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．

21．（5分）用0至9这10个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和最小是多少？

【思路点拨】由于要求和最小，则就要使加数尽量小且尽量少，其中偶数不能放在个位，0不能放在个位和首位，据此分析完成。

【规范解答】解：可以这样组：

2+3+5+67+89+401＝567

即和最小是567。

答：这些质数的和最小是567。

【考点评析】明确使加数尽量小且尽量少，然后根据质数的意义及数位知识分析是完成本题的关键。

22．（5分）如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发．沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．

（1）四边形PQEF的形状是　正方形　；

（2）PE是否总是经过某一定点，如果经过某一定点，请通过作图标出来；如果不经过某一定点，请说明理由；

（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？

【思路点拨】（1）因为速度相同，所以四边形PQEF外面的四个三角形是相同的，从而四边形PQEF的四条边相等，同时也可以求得这个四边形的四个角都是直角，所以这个四边形是正方形．

（2）大正方形对角线相交于中心点，小正方形的对角线也相交于中心点，这两个中心点重合．

（3）小正方形与大正方形重合的时候面积最大，PE与AB垂直的时候面积最小．

【规范解答】解：（1）正方形。

故答案为：正方形；

（2）连接A额，CP，连接AC交PE于O，

∵AP平行且等于EC，

∴四边形APCE为平行四边形．

∵O为对角线AC的中点，

∴对角线PE总过AC的中点．

（3）正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的，

当OP⊥AB时，四边形PQEF面积最小，为原正方形面积的一半，此时S正方形PFEQ＝S正方形ABCD．

当P与顶点B重合时，面积最大，S正方形PQEF＝S正方形ABCD．

【考点评析】本题考查了四边形的综合题，在证明过程中，应用了正方形的性质和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线，此题难度一般．

23．（5分）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C，区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在　A　区．

【思路点拨】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．

【规范解答】解：因为当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×100+10×300＝4500m，

当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×100+10×200＝5000m，

当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+15×200＝12000m，

所以当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在A区．

故答案为：A．

【考点评析】本题主要考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键，要能把线段的概念在现实中进行应用，比较简单

24．（6分）a和b是小于100的两个不同的自然数，则的最大值是．a和b是小于100的两个不同的自然数，求的最大值．

【思路点拨】根据题意，要求的最大值，应使分子尽可能大，使分母尽可能小．所以b＝1；由b＝1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a＝99

所以的最大值是＝．据此解答即可．

【规范解答】解：要求的最大值，应使分子尽可能大，使分母尽可能小．所以b＝1；

由b＝1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，

可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a＝99

＝

＝．

【考点评析】根据分数的意义确定分母分子的取值范围是完成本题的关键．

25．（6分）两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点．但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？

【思路点拨】把第一辆车的24桶油分成4份，两份供第一辆往返：24÷4×60＝360（公里），另外两份分别在360公里处给第二辆车来回行前360公里的路程．此时，第二辆车在360公里处加满油，可再往返：24÷2×60＝720（公里）．据此解答．

【规范解答】解：24÷4＝6（桶）

6×60＝360（公里）

24÷2×60＝720（公里）

360+720＝1080（公里）

1080×2＝2160（公里）

答：为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点360公里的地方返回，离出发地点最远的那辆车一共行驶了2160公里．

【考点评析】此题的第二问与第一问不同，很容易错算成单向行驶的路程．

26．（6分）商店里有大、中、小规格的弹子盒子，分别装有同样规格的弹子13、11、7粒．如果有人要买20粒，那么不必拆盒（一大盒加一小盒即可），如果要买23粒，就必须拆盒卖，你能不能找出一个最小数，凡是来买弹子的数目超过这个数，肯定不必拆开盒子卖，请说明理由？

【思路点拨】根据题意，要找出一个最小数，凡是来买弹子的数目超过这个数，肯定不必拆开盒子卖，那购买的数量必须有7、11、13，为了使这个数尽量的小，那再多买的数量可以为7的若干倍，由此得出答案．

【规范解答】解：因为31＝7+11+13，32＝7×3+11，33＝7+13×2，34＝7×3+13，35＝11×2+13，36＝11×2+7×2，37＝11+13×2．

这七个连续整数均不须拆开盒子卖，故以后可在每个数的基础上，加上7的若干倍就可以了．

所以最小数为30．

【考点评析】解答本题的关键是，根据题意利用裂项的方法求出购买比30大的7个连续的自然数能够不必拆开盒子卖，由此得出答案．

27．（6分）如图是单车齿轮．大轮是主动轮，半径为24cm；小轮是从动轮，半径为10cm．大轮转了n（n为整数） 个圈后，标志在同一条直线上，求n的最小值．（起始状态为两轮标志在同一水平线上）

【思路点拨】先求出24和10 的最小公倍数是120，然后用120÷24＝5，就是5个半圈，不合题意，所以进一步扩大2倍即可解决问题．

【规范解答】解：24＝2×2×2×3，

10＝2×5，

所以24和10的最小公倍数是120，

120÷24＝5，

所以大轮转了5个半圈，即转了2.5圈，

因为要求n为整数，所以转了2.5×2＝5圈．

【考点评析】此题主要是应用最小公倍数的知识解决生活中的实际问题