专题15 规则几何体的表面积 —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义专题15 规则几何体的表面积小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。【典例分析01】从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，方法有多种：①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。    ②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。    ③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。    【典例分析02】把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用（S上+S左+S前）×2来计算。（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2=（81+72+90）×2=243×2=486（平方厘米）                     答：这个立体图形的表面积是486平方厘米。【典例分析03】把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个9×7的面。（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2=（63+36+28）×4—126=508—126=382（平方厘米）                  答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。【典例分析04】一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。我们知道：体积=长×宽×高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。即40÷2=20（平方厘米）90÷3=30（平方厘米）96÷4=24（平方厘米）（30+20+24）×2=74×2=148（平方厘米）       答：原 长方体的表面积是148平方厘米。【典例分析05】如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。    如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1=3.14×（4.5+3+2+1）=3.14×10.5=32.97（平方米）答：这个物体的表面积是32.97平方米。一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）如图，三个棱长都是10厘米的正方体木块堆放在墙角处，露在外面的面积是（　　）平方厘米。A．1000 B．500 C．800 D．700【思路点拨】观察图形可知，从正面看，有3个面露在外面；从上面看，有2个面露在外面；从右侧看，有2个面露在外面；一共有3+2+2＝7个面露在外面；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出一个正方形面积，再乘露出外面面的个数，即可解答。【规范解答】解：3+2+2＝5+2＝7（个）10×10×7＝100×7＝700（平方厘米）答：露在外面的面积是700平方厘米。故选：D。【考点评析】解答本题的关键是数清楚露在外面的面的个数。2．（2分）如图，该柱状立体图形的两个底面为完全相同的正六边形，它的侧面积是（　　）cm2。A．2520 B．420 C．无法计算【思路点拨】根据两个底面为完全相同的正六边形（正六边形即6条边长均相等），可知该柱状立体图形的侧面展开图是由6个相同的长方形组成，长方形的长是28cm，宽是15cm，据此求解。【规范解答】解：28×15×6＝28×（15×6 ）＝28×90＝2520（cm2）故选：A。【考点评析】能够根据“两个底面是完全相同的正六边形”得出展开图是由6个相同的长方形组成的是解题的关键。本题需要学生有一定的空间想象能力。3．（2分）用3个棱长为1厘米的小正方体搭成一个立体图形（如图）。这个立体图形的表面积比原来3个小正方体的表面积之和减少了（　　）平方厘米。A．8 B．6 C．4 D．2【思路点拨】3个小正方体拼成一个立体图形，拼组后长方体的表面积比原来减少了4个小正方体的面的面积，据此即可解答。【规范解答】解：1×1×4＝4（平方厘米）答：这个立体图形的表面积比原来3个小正方体的表面积之和减少了4平方厘米。故选：C。【考点评析】抓住3个正方体拼组成立体图形后减少4个面的面积是解决此类问题的关键。4．（2分）如图，6个棱长为3cm的正方体放在墙角处，露在外面的面积是（　　）cm2。A．117 B．90 C．126 D．99【思路点拨】露在外面的面就是我们能看到的面，分别是上面、正面、右面。从上面看到的正方形有5个，从正面看到的正方形有4个，从右面看到的正方形有4个。再用露在外面的面的总数乘一个面的面积。【规范解答】解：5+4++4＝13（个）  13×3×3＝39×3＝117（cm2）答：露在外面的面积是117cm2。故选：A。【考点评析】本题的关键是运用从不同的方向观察物体知识，数出立体图形不同方向观察到的图形。5．（2分）如图，把5个棱长为4厘米的小正方体摆放在墙角，露在外面的面积是（　　）平方厘米。A．160 B．144 C．170 D．176【思路点拨】露在外面的面可从三个方向观察，正面看到3个面，上面看到4个面，右面看到3个面，一共看到（3+4+3）个面，露在外面的面积＝正方形的个数×每个面的面积；据此求解即可。【规范解答】解：3+4+3＝10（个）  4×4×10＝16×10＝160（平方厘米）答：露在外面的面积是160平方厘米。故选：A。【考点评析】按一定的顺序观察物体，不容易出现遗漏情况。二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）如图是用棱长1厘米的小正方体摆成的立体图形。它的体积是 　10　立方厘米，表面积是 　36　平方厘米。【思路点拨】通过观察图形可知，上层有1个小正方体，中层有3个小正方体，下层有6个小正方体，根据正方体的体积公式：V＝a3，求出小正方体的体积再乘小正方体的个数就是这个组合图形的体积；上、下面外露小正方体的6个面，前、后面外露小正方体的6个面，左、右面外露小正方体的6个面，根据正方形的面积公式：S＝a2，求出小正方体的一个面的面积再乘外露面的个数就是这个组合图形的表面积。【规范解答】解：1×1×1×（1+3+6）＝1×10＝10（立方厘米）1×1×（6+6+6）×2＝1×18×2＝36（平方厘米）答：这个物体的体积是10立方厘米，表面积是36平方厘米。故答案为：10；36。【考点评析】此题主要考查正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。7．（2分）如图，由棱长为1厘米的小正方体拼搭而成，它的表面积是 　18　平方厘米；至少还需要 　4　个这样的小正方体，才能搭拼成一个大正方体。【思路点拨】根据题干可得：这个图形是由4个小正方体组成的，它的表面积就是这4个小正方体的表面积之和减去重叠部分的面积．外露的3个正方体都有一个面和被挡住的小正方体的3个面互相重叠，所以表面积一共减少了6个面；由此即可求得此立体图形的表面积；根据题干小正方体拼组大正方体的特点可以得出：至少需要8个这样的小正方体才能拼成一个大正方体，所以至少还需要8﹣4＝4个小正方体。【规范解答】解：表面积为：1×1×6×4﹣1×1×6＝24﹣6＝18（平方厘米）8﹣4＝4（个）答：它的表面积是18平方厘米；至少还需要4个这样的小正方体才能拼成一个大正方体。故答案为：18；4。【考点评析】这个立体图形的表面积就是这4个小正方体的表面积之和减去重叠部分的面积，找出图形中重叠的面，是解决本题的关键。8．（2分）如图图形中分别有　15　个面露在外面．露在外面的面积是　60　平方分米．（图中小正方体的棱长为2分米）【思路点拨】此图是由4个棱长2分米的小正方体搭成的，前面、后面、左面、右面、上面都有3个面露在外面，下面的没有露在外面的面，所以3×5＝15个，根据正方形的面积公式：s＝a2，把数据代入公式解答即可．【规范解答】解：3×5＝15（个）2×2×15＝60（平方分米）答：图形中有15个面露在外面，露在外面的面积是60平方分米．故答案为：15，60．【考点评析】解答此题的关键是弄清楚每个图形露在外面的面的个数，再根据正方形的面积公式解答．9．（2分）计算如图的表面积和体积．表面积：　24　cm2，体积：　7　cm3【思路点拨】观察图形可知，从大正方体的一个顶点处，挖去一个棱长为1厘米的正方体后，减少三个正方体面的同时，也增加了三个正方体的面；所以表面积的大小不变；体积比原来减少了棱长为1厘米的小正方体的体积，由此利用正方体的表面积和体积公式即可解答．【规范解答】解：表面积是：2×2×6＝4×6＝24（平方厘米） 体积是：2×2×2﹣1×1×1＝8﹣1＝7（立方厘米）答：这个图形的表面积是24平方厘米，体积是7立方厘米故答案为：24，7．【考点评析】抓住大正方体从顶点处切割小正方体的特点，得出切割后的表面积与原来长方体的表面积相等是解决本题的关键．10．（2分）同样大小的小正方体堆积在墙角，（如图），已知每个小正方体棱长1厘米，这个物体的体积是　8　立方厘米，露在外面的面积和是　14　平方厘米．【思路点拨】（1）该立方体共3层，从上向下数：一层有1个，二层有3个，三层有4个，共有1+3+4＝8个小正方体，根据正方体的体积公式V＝a3求出每个小正方体的体积，再乘正方体的总个数就是这个立体图形的体积．（2）露在外面的面一共有：从上面看有4个，从前面看有5个，从右面看有5个，一共有4+5+5＝14个，由此利用正方形的面积公式S＝a2求出每个小正方体的面的面积，再乘14就是露在外部的总面积．【规范解答】解：（1）1+3+4＝8（个）13×8＝8（立方厘米）（2）4+5+5＝14（个）12×14＝14（平方厘米）答：这个物体的体积是8立方厘米，露在外面的面积和是 14平方厘米．故答案为：8；14．【考点评析】此题考查了观察几何体的方法的灵活应用；抓住这个几何体的体积等于这些小正方体的体积之和；几何体的表面积是露出的小正方体的面的面积之和是解决此类问题的关键．11．（2分）如图中的每个小正方体的棱长为1厘米，它的表面积是 　44cm2　，体积是 　14　立方厘米．【思路点拨】该立体图形的表面积＝上面的表面积+下面的表面积+正面的表面积+后面的表面积+两个侧面的表面积．先数出小正方体的个数，再乘1个小正方体的体积即为所求立方图形的体积．【规范解答】解：从上面和下面看到的面积为8×（1×1）×2＝16cm2，从正面和后面看得到的面积为2×6×（1×1）＝12cm2，从两个侧面看到的面积为2×8×（1×1）＝16cm2，所以16+12+16＝44cm2；（1×1×1）×14＝1×14＝14（cm3）．答：这个几何体的表面积为44cm2，体积是14cm3．故答案为：44cm2，14．【考点评析】主要考查了立体图形的视图问题．解题的关键是能把从不同的方向上看到的图形面积抽象出来（即利用视图的原理），从而求得总面积．12．（2分）如图，将5个棱长为3dm的正方体箱子堆放在墙角处，则露在外面的面的面积是 　108　dm2。【思路点拨】根据正方形的面积＝边长×边长，可知每个小正方体的面的面积是3×3＝9（dm2）；根据图形可知，前面露出5个正方形面，上面露出3个正方形面，右面露出2个正方形面，中间左、右各1个，把所有露出的面的个数加起来，再乘9，即可解决问题。【规范解答】解：3×3＝9（dm2）（5+3+2+2）×9＝12×9＝108（dm2）答：露在外面的面的面积是108dm2。故答案为：108。【考点评析】此题主要考查了学生观察物体的能力，这里要注意只数出露在外部的面。13．（2分）由棱长是5cm的正方体搭成图所示的图形，共有　10　个正方体．它的体积是　1250　平方厘米．它的表面积是　850　平方厘米．【思路点拨】棱长为5cm的正方体的体积是5×5×5＝125立方厘米，观察图形可知，图中有8+2＝10个小正方体，则这个图形的体积就是这10个小正方体的体积之和；棱长为5cm的正方体的一个面的面积是5×5＝25平方厘米，观察图形可知，图形的前、后2个面各有4个小正方体的面，左、右2个面分别是由5个小正方体的面组成的，上、下2个面分别是由8个小正方体组成的，由此即可求出这个图形的表面积．【规范解答】解：5×5×5×10＝125×10＝1250（立方厘米）；（5×5）×（4×2+5×2+8×2）＝25×（8+10+16）＝25×34＝850（平方厘米）．答：共有 10个正方体．它的体积是 1250平方厘米．它的表面积是 850平方厘米．故答案为：10，1250，850．【考点评析】此题考查了不规则图形的体积与表面积的计算方法的灵活应用．三．计算题（共3小题，满分12分，每小题4分）14．（4分）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）【思路点拨】根据图示可知，该组合图形的表面积是大长方体的表面积加上小长方体的上、下、前、后四个面的面积的和；体积等于两个长方体体积的和。【规范解答】解：右边小长方体的高：7﹣3＝4（厘米）（4×3+7×3+4×7）×2+（5×3+5×4）×2＝（12+21+28）×2+（15+20）×2＝61×2+35×2＝122+70＝192（平方厘米）7×4×3+5×4×3＝84+60＝144（立方厘米）答：这个图形的表面积是192平方厘米，体积是144立方厘米。【考点评析】本题主要考查组合图形的体积和表面积的计算，关键是利用长方体体积公式：V＝abh，长方体表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2计算。15．（4分）如图是由16个棱长2厘米的小正方体重叠而成的，求这个立体图形的表面积．【思路点拨】通过观察，可从前、后、左、右、上、下看到的面的个数来分析，然后用一个面的面积乘面的总个数即可．【规范解答】解：从前、后、左、右、上、下六个方向分别看这堆小正方体形成的立体图形的表面．从前看有7个边长为2厘米的小正方形；从后看有7个边长为2厘米的小正方形；从左看有8个边长为2厘米的小正方形；从右看有8个边长为2厘米的小正方形；从上看有9个边长为2厘米的小正方形；从下看有9个边长为2厘米的小正方形；（正面最前面凸出来的两个），因此，这堆小正方体的表面积是：22×（7+7+9+8+8+9+2）＝4×50＝200（平方厘米）答：这个立体图形的表面积是200平方厘米．【考点评析】此题解答的关键是数出从前、后、左、右、上、下看到的面的个数，然后根据正方体的棱长，求出这个立体图形的表面积．16．（4分）求下面图形的表面积和体积．（单位：厘米）【思路点拨】根据图形的特点可知：它的表面积等于正方体的表面积加上圆柱的侧面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，圆柱的侧面积公式：S＝ch，把数据代入公式，它的体积等于正方体的体积减去圆柱的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3，圆柱的体积公式：V＝sh，把数据代入公式解答．【规范解答】解：10×10×6+3.14×4×6＝600+75.36＝675.36（平方厘米）；10×10×10﹣3.14×（4÷2）2×6＝1000﹣3.14×4×6＝1000﹣75.36＝924.64（立方厘米）；答：它的表面积是675.36平方厘米，体积是924.64立方厘米．【考点评析】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆柱的体积公式、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．四．应用题（共13小题，满分62分）17．（4分）如图是从一个立体图形的正上面与正侧面看到的图形，从正面看到的圆的半径是2厘米。（1）以每秒1毫升的速度，往容器内注水时，水面到离地面10厘米的地方，需要多少秒？（2）这个立体图形的体积是多少？（3）这个立体图形的表面积是多少？【思路点拨】（1）利用圆柱的体积公式，计算水柱离地面10厘米时的水的体积，再除以1毫升，就是时间。（2）用长方体的体积减去圆柱的体积，就是整个立体图形的体积。（3）这个立体图形的表面积等于长方体的表面积加上圆柱的侧面积。利用圆柱的体积公式：V＝πr2h，长方体体积公式：V＝abh，长方形表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，计算即可。【规范解答】解：（1）1毫升＝1立方厘米3.14×22×（10﹣5）÷1＝3.14×4×5＝62.8（秒）答：需要62.8秒。（2）8×8×（10+5）﹣3.14×22×10＝960﹣125.6＝834.4（立方厘米）答：这个立体图形的体积是834.4立方厘米。（3）10+5＝15（厘米）（8×8+8×15+8×15）×2+2×3.14×2×10＝（64+240）×2+125.6＝608+125.6＝733.6（平方厘米）答：这个立体图形的表面积是733.6平方厘米。【考点评析】本题主要考查组合图形的表面积和体积，关键把组合图形转化为规则图形，再计算。18．（4分）看图回答问题．（1）如图中一共有多少个小正方体？有多少个面露在外面？（2）如果每个小正方体的棱长均是5cm，那么露在外面的面积是多少平方厘米？【思路点拨】（1）该立方体共2层，从上向下数：一层有3个，二层有5个，共有3+5＝8个小正方体，露在外面的面：从上面看有5个，从前面看有5个，从右面看有4个，一共有5+5+4＝14个；（2）利用正方形的面积公式S＝a2求出每个小正方体的面的面积，再乘14就是露在外部的总面积．【规范解答】解：（1）这个几何体共有2层组成，所以共有小正方体的个数为：3+5＝8（个）图中几何体露出的面有：5+5+4＝14（个）答：一共有8个小正方体，有14个面露在外面． （2）5×5×14＝25×14＝350（平方厘米）答：露在外面的面积是350平方厘米．【考点评析】此题考查了规则立体图形的表面积；抓住几何体露在外面的面积是露出的小正方体的面积之和是解决此类问题的关键．19．（4分）如图是棱长为5厘米的正方体，如果在这个正方体中切去一个棱长为3厘米的小正方体，剩下几何体的表面积是多少平方厘米？请作具体分析．【思路点拨】切去的这个小正方体的位置不同，剩下的几何体的表面积就不同；如果在顶点处，表面积是不变的；如果在棱长上且不在顶点处，则会比正方体增加2个小正方形的面；如果在每个面的中间，剩下的表面积会比正方体的表面积增加4个小正方形的面积．【规范解答】解：若切去的小正方体位于八个顶角上，则表面积未变，为5×5×6＝150（平方厘米）；（2）若切去的小正方形位于棱上，且不在顶角上，则表面积为5×5×6+3×3×2＝168（平方厘米）；（3）若切去的小正方体在一个面内．则表面积为5×5×6+3×3×4＝186（平方厘米）答：剩下的几何体的表面积是150平方厘米、168平方厘米或186平方厘米．【考点评析】本题考查了立方体切拼问题，关键是分类讨论．20．（5分）如图，棱长为4cm的正方体木块的每个面的中心打上一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1cm的正方形，求挖洞后木块的体积及表面积.【思路点拨】观察图形可知，挖洞后，体积减少了3个宽1厘米、高1厘米、长4厘米的小长方体的体积，因为中间的棱长是1厘米的小正方体被重复多减了2次，所以体积＝正方体的体积﹣3个小长方体的体积+2个棱长是1厘米的小正方体的体积；挖洞后，忽略正中间挖掉的小正方体，表面积可以看作是增加了12个宽1厘米、长4﹣1＝3厘米的长方形的面积，表面积＝正方体的外表面积+挖洞里面形成的表面积，再减去正中间减少的棱长1厘米的正方体的表面积，据此计算即可解答问题。【规范解答】解：木块的体积：4×4×4﹣1×1×4×3+1×1×1×2＝64﹣12+2＝54（立方厘米） 木块的表面积：（4×4﹣1×1）×6＝15×6＝90（平方厘米）1×（4﹣1）×12＝1×3×12＝36（平方厘米）90+36＝126（平方厘米）答：这个木块的体积是54立方厘米，表面积是126平方厘米。【考点评析】解答此题的关键是掌握切割后的体积与表面积的计算方法，明确体积＝正方体的体积﹣3个小长方体的体积+2个棱长是1厘米的小正方体的体积；表面积＝正方体的外表面积+挖洞里面形成的表面积，再减去正中间减少的棱长1厘米的正方体的表面积。21．（5分）有5个棱长为3厘米的正方体小木块堆放在桌面上（如图），你能计算出露在外面的面的面积吗？【思路点拨】观察图形可知：从上面看4个小正方体的面露在外面；从左面和右面看：分别有3个小正方体的面露在外面；从前面和后面看：分别有4个小正方体的面露在外面，求出它们的和就是一共有多少个小正方体的面露在外面；再根据正方形的面积＝边长×边长，求出1个小正方体的面的面积，再乘露在外面小正方体的面的总个数，即可求出这个图形露在外面的面积。【规范解答】解：4+3×2+4×2＝4+6+8＝18（个）3×3×18＝9×18＝162（平方厘米）答：露在外面的面的面积是162平方厘米。【考点评析】此题考查了立体图形的表面积，解决此题的关键是求出面露在外面的总个数；注意底面是放在桌面上的，不是露在外面的面。22．（5分）有一个长6cm，宽1cm，高3cm的长方体铁块，从左、右两个角各切掉一个正方体，加工成一种零件．①给这个零件前后两面涂上黄漆，其它露出来的涂红漆．涂黄漆和涂红漆各多少平方厘米？②这个零件的体积是多少立方厘米？【思路点拨】如图：把这个图形分成两个长方体，上面长方体的长是6﹣1﹣1＝4厘米，宽是1厘米，高是1厘米；下面长方体的长是6厘米，宽是1厘米，高是3﹣1＝2厘米；①涂黄漆的部分是前后两个相等的面，前面是两个长方形，一是长6厘米宽2厘米，以及长4厘米，宽1厘米；分别求出这两个长方形的面积再相加，求出前面的面积，再乘上2即可；涂红漆的部分是这个图形的两个侧面和上下面；右面可以看成一个长3厘米，宽1厘米的长方形，上面可以看成是一个长6厘米，宽1厘米的长方形；分别求出面积相加，再乘2即可．②这个图形的体积是下面长方体的体积加上面长方体的体积即可．【规范解答】解：6﹣1﹣1＝4（厘米）3﹣1＝2（厘米）①黄漆部分：（6×2+4×1）×2＝16×2＝32（平方厘米）红漆部分：（3×1+6×1）×2＝9×2＝18（平方厘米）答：涂黄漆的面积是32平方厘米，涂红漆的面积是18平方厘米． ②6×1×2+4×1×1＝12+4＝16（立方厘米）答：这个零件的体积是16立方厘米．【考点评析】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．23．（5分）一个美术老师在课堂上进行立体图形素描教学时，把14个棱长1分米正方体摆在课桌上成如图的形状，然后他把露出的表面都涂上颜色，则被他涂上颜色部分的面积为　33　平方分米．【思路点拨】观察图形可知，涂色部分的面积，就是露在外部的正方体的面的面积之和，1个小正方体的面的面积是1×1＝1平方分米，由此，只要数出露在外部的正方体的面有几个即可．【规范解答】解：从上面看，有3×3＝9个面，从前后左右看，分别有1+2+3＝6个面，所以一共有：9+6×4＝33（个）33×（1×1）＝33（平方分米）答：被他涂上颜色部分的面积为33平方分米．故答案为：33．【考点评析】本题考查了几何体的表面积，分别数出露在外部的小正方体的面数，是解决本题的关键，特别是从上面看时，将小正方体平移到第一层，正好是9个面．24．（5分）一个棱长5分米的正方体上放了一个棱长4分米的正方体，求这个立体图形的表面积．【思路点拨】观察图形可知，这个组合立体图形的表面积可以看做是棱长为5分米的正方体的表面积与棱长为4分米的小正方体的4个侧面的面积之和，据此利用正方体的表面积公式即可解答．【规范解答】解：52×6+42×4，＝25×6+16×4，＝150+64，＝214（平方分米），答：这个立体图形的表面积是214平方分米．【考点评析】把上部的小正方体的上面的面向下平移，所以这个立体图形的表面积就是下部的大正方体的表面积与上部小正方体的四个侧面的面积之和．25．（5分）在一个长方体的一个角上挖去小正方体做成一种零件。求这个零件的表面积和体积。【思路点拨】由题意可知：挖去一个小正方体后，减少了小正方体的3个面，同时又增加了小正方体的3个面，因此后来的表面积就等于长方体的表面积，利用长方体的表面积公式即可得解；剩下部分的体积等于长方体的体积减去小正方体的体积，据此求解即可。【规范解答】解：（20×12+20×15+12×15）×2＝（240+300+180）×2＝720×2＝1440（平方厘米） 20×12×15﹣6×6×6＝3600﹣216＝3384（立方厘米）答：这个零件的表面积是1440平方厘米，体积是3384立方厘米。【考点评析】解答此题的关键是明确：长方体的表面积不变，体积等于长方体的体积减去小正方体的体积。26．（5分）3个棱长都是10cm的正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面积是多少cm2？【思路点拨】根据图形可知，前面外露3个面，上面外露2个面，右面外露2个面，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答即可．【规范解答】解：10×10×（3+2+2）＝100×7＝700（平方厘米）答：露在外面的面积是700平方厘米．【考点评析】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征及正方体的表面积的计算方法．27．（5分）下面是由棱长3cm的小正方体靠墙角堆成的，这堆小正方体露在外面的面积是多少？【思路点拨】观察图形知道，露在外面的面一共是6+4+4＝14个，由此根据正方形的面积公式S＝a×a，求出一个正方形的面积，再乘14即可．【规范解答】解：3×3×14＝9×14＝126（平方厘米）答：这堆小正方体露在外面的面积是126平方厘米．【考点评析】此题关键是正确数出正方体露在外面的面有几个，再根据正方形的面积公式解决问题．28．（5分）如图所示，在棱长为5厘米的正方体木块的每个面的中心挖一个洞，洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米．挖洞后木块的表面积是多少平方厘米？【思路点拨】根据题意可知：这个挖洞后木块的表面积等于大正方体的表面积，加上6个棱长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积．【规范解答】解：5×5×6+1×1×4×6＝150+24＝174（平方厘米）答：挖洞后木块的表面积是174平方厘米．【考点评析】此题考查规则立体图形的表面积的计算方法，解决此题的关键是准确的理解图意．29．（5分）把一个棱长4厘米的正方体，在正中从上到下挖出一个长方体孔洞，孔洞的底面为边长2厘米的正方形，这个空心图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？【思路点拨】这个空心图形的表面积＝棱长4厘米的正方体的表面积﹣边长2厘米的正方形面积×2+长4厘米宽2厘米的长方形面积×4；体积＝棱长4厘米的正方体体积﹣长2厘米宽2厘米高4厘米的长方体体积；依此列式计算即可求解．【规范解答】解：4×4×6﹣2×2×2+4×2×4＝96﹣8+32＝120（平方厘米），4×4×4﹣2×2×4＝64﹣16＝48（立方厘米）．答：这个空心图形的表面积是120平方厘米，体积是48立方厘米．【考点评析】解答此题的关键是弄清楚：现在的表面积由哪些面组成，问题即可得解