专题19 行程问题（相遇、追击、多次相遇问题） —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题19 行程问题（相遇、追击、多次相遇问题）
知识精讲





行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。
行 程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。它大致分为以下三种情况：
（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和
（2）相背而行：相背距离=速度和×时间。
（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。
追及时间=追及距离÷速度差
在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。
追及距离=速度差×时间。
解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。
典例分析




【典例分析01】两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。甲车行完全程用了多少小时？
解答本题的关键是正确理解“已知甲车比乙车早刀8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米”。这句话的实质就是：“乙48分钟行了24千米”。可以 先求乙的速度，然后根据路程求时间。也可以先求出全程165千米是24千米的多少倍，再求甲行完全程要用多少小时。
解法一：乙车速度：24÷48×60=30（千米/小时）
甲行完全程的时间：165÷30—=4.7（小时）
解法二：48×（165÷24）—48=282（分钟）=4.7（小时）
答：甲车行完全程用了4.7小时。
【典例分析02】两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后，两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回，又在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？

从两辆汽车同时从东、西两站相对开出到第二次相遇共行了三个全程。两辆汽车行一个全程时，从东站出发的汽车行了60千米，两车走三个全程时，这辆汽车走了3个60千米。这时这辆汽车距中点30千米，也就是说这辆汽车再行30千米的话，共行的路程相当于东、西两站路程的1.5倍。找到这个关系，东、西两这站之间的距离也就可以求出来了。所以
（60×3+30）÷1.5=140（千米）
答：东、西两站相距140千米。
【典例分析03】A、B两地相距960米。甲、乙两人分别从A、B两地同时出发。若相向而行，6分钟相遇；若同向行走，80分钟甲可以追上乙。甲从A地走到B地要用多少分钟？
甲、乙两人从同时同向出发到相遇，6分钟共行的路程是960米，那么每分钟共行的路程（速度和）是960÷6=160（米）；甲、乙两人从同时同向出发到甲追上乙需用去80分钟，甲追乙的路程是960米，每分钟甲追乙的路程（速度差）是960÷80=12（米）。根据甲、乙速度和与差，可知甲每分钟行（160+12）÷1=86（米）。甲从A地到B地要用960÷86=11（分钟），列算式为
960÷[（960÷6+960÷80）÷2]=11（分钟）
答：甲从A地走到B地要用11分钟。
【典例分析04】上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后每爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千米（如图33-2所示），这时是几时几分？

由题意可知：爸爸第一次追上小明后，立即回家，到家后又回头去追小名，再追上小明时走了12千米。可见小明的速度是爸爸的速度的。那么，小明先走8分钟后，爸爸只花了4分钟即可追上，这段时间爸爸走了4千米。列式为
爸爸的速度是小明的几倍：（4+8）÷4=3（倍）
爸爸走4千米所需的时间：8÷（3—1）=4（分钟）
爸爸的速度：4÷4=1（千米/分）
爸爸所用的时间：（4+4+8）÷1=16（分钟）
16+16=32（分钟）
答：这时是8时32分。
【典例分析05】甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，又过2分钟与甲相遇。东、西两镇相距多少器
秒年米毫 ？

如图33-3所示，可以看出，乙、丙两人相遇时，乙比甲多行的路程正好是后来甲、丙2分钟所行的路程和，是（68+72）×2=280（米）。而每分钟乙比甲多行70.5—68=2.5（米）可见，乙、丙相遇时间是280÷2.5=112（分钟），因此，求东、西两镇间的距离可用速度和乘以相遇时间求出。列式为
乙、丙相遇时间：（68+72）×2÷2.5=112（分钟）
东、西两镇相距的千米数：（70.5+72）×112÷1000=15.96（千米）
真题演练




一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2021•泰安模拟）甲，乙两人从相距20千米的两地出发相向而行，一只小狗与甲同时出发向乙奔去，遇到乙后立即掉头向甲跑去，遇到甲后又立即掉头向乙跑去…直到甲乙两人相遇为止．已知甲的速度是6千米/小时，乙的速度是4千米/小时，小狗的速度是13千米/小时，在这一过程中，小狗共跑了（　　）千米．
A．18 B．20 C．24 D．26
【思路点拨】根据题意，甲、乙相遇需要的时间是20÷（6+4）＝2（小时），在此过程中狗一直奔跑，所以狗跑的时间也是2小时，然后根据狗的速度，运用关系式：速度×时间＝路程，解决问题．
【规范解答】解：20÷（6+4）×13
＝2×13
＝26（千米）
答：在这一过程中，小狗共跑了26千米．
故选：D．
【考点评析】此题解答的关键是要知道：甲、乙相遇需要的时间就是狗跑的时间．
2．（2分）（2021•泰安模拟）甲、乙两车同时从两地出发，相向而行．甲车每时行105千米，5时后两车在距中点30千米处相遇．若乙车慢一些，则乙车每时行（　　）千米．
A．93 B．99 C．111
【思路点拨】甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，属于相遇问题．在距中点30千米处相遇且乙车慢，说明在5小时内甲车比乙车多行驶30×2＝60（千米），则平均每小时甲车比乙车多行驶60÷5＝12（千米），据此可求出乙车的速度．
【规范解答】解：30×2÷5
＝60÷5
＝12（千米/时）
105﹣12＝93（千米/时）
答：乙车每小时行驶93千米．
故选：A．
【考点评析】本题考查相遇问题，找准两车相遇时的路程差是解决本题的关键．
3．（2分）（2021•泰安模拟）爸爸和儿子从东西两地同时相对出发，两地相距10千米．爸爸每小时走6千米，儿子每小时走4千米．爸爸带了一只小狗，小狗用每小时10千米的速度向儿子跑去，遇到儿子或爸爸立即折返，直到爸爸和儿子相遇才停．那么小狗一共跑了（　　）千米的路程．
A．10 B．15 C．20
【思路点拨】由题意可知小狗来回跑的时间等于爸爸和儿子相遇的时间，先根据相遇时间＝路程÷速度和，求出爸爸和儿子相遇时需要的时间，再根据路程＝速度×时间即可解答．
【规范解答】解：小狗跑的时间就是爸爸和儿子相遇的时间，
爸爸和儿子相遇用了：10÷（6+4）＝1（小时），
10×1＝10（千米），
所以小狗跑了1小时，跑了10千米．
故选：A．
【考点评析】解答本题的关键是明确：小狗跑的时间和父子两人相遇时间是一样的．
4．（2分）（2021•拱墅区模拟）甲乙二人分别从相距若干公里的A、B两地同时出发相向而行，相遇后各自继续前进，甲又经1小时到达B地，乙又经4小时到达A地，甲走完全程用了几小时？（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【思路点拨】首先根据速度×时间＝路程，可得路程一定时，速度和时间成反比；然后设甲乙两人相遇用的时间是x小时，再分别求出甲乙两人的速度之比是多少，根据甲乙两人的速度之比相等，列出比例，根据比例的基本性质解比例，求出两人相遇用的时间是多少；最后用两人相遇用的时间加上相遇后甲又行的时间，求出甲行完全程各要几小时即可。
【规范解答】解：设甲乙两人相遇用的时间是x小时，列方程：
则x：1＝4：x
x2＝4
x＝2
甲行完全程需要：
1+2＝3（小时）
答：甲行完全程需要3小时。
故选：B。
【考点评析】（1）此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是要明确：路程一定时，速度和时间成反比。
（2）此题还考查了根据比例的基本性质解比例问题，要熟练掌握。
5．（2分）（2021•江苏模拟）小陈、小李、小王三个人的跑步速度之比为7：3：6。他们三人沿一环形跑道从同一点同时同向出发，当他们首次同时回到出发点之前，小王追上小李多少次？（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】时间一定，路程和速度是正比例，他们所行的路程比等于他们的速度比，所以他们首次同时回到出发点时，小陈跑了7圈，小李跑了3圈，小王跑了6圈。小王追小李的追击路程是1圈，速度差是，可求出追击时间是跑2圈所用的时间。按题目要求，减去最后回到出发点的1次。
【规范解答】解：6÷[1÷（1﹣）]﹣1
＝6÷（1÷）﹣1
＝6÷2﹣1
＝3﹣1
＝2（次）
答：当他们首次回到出发点之前，小王追上小李2次。
故选：B。
【考点评析】追击问题的一般公式：追击速度×追击时间＝追击路程，根据公式灵活运用解决实际问题。
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2020•开平市）AB两地相距300千米，快车和慢车分别从AB两地相对开出，经过3小时相遇。已知快车平均每小时走60千米，慢车平均每小时走 　40　千米。
【思路点拨】根据“速度和＝路程÷相遇时间”求出两车的速度和，再减去快车的速度即可。
【规范解答】解：300÷3﹣60
＝100﹣60
＝40（千米/小时）
答：慢车平均每小时走40千米。
故答案为：40。
【考点评析】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答；速度×时间＝路程，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度。
7．（2分）（2022秋•正定县期末）甲、乙两船同时从两港口相对开出，甲船每小时行50千米，乙船每小时行40千米，两船相遇时，甲船行了200千米。甲、乙两船经过 　4　小时相遇，两港口相距 　360　千米。
【思路点拨】根据“时间＝路程÷速度”，用200除以50就是甲船行驶的时间，即甲、乙两船相遇的时间；然后再乘两船的速度和就是两港口相距多少千米。
【规范解答】解：200÷50＝4（小时）
（50+40）×4
＝90×4
＝360（千米）
答：甲、乙两船经过4小时相遇，两港口相距360千米。
故答案为：4；360。
【考点评析】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答；速度×时间＝路程，时间＝路程÷速度。
8．（2分）（2022•江北区模拟）小刚和小明从学校出发去骑行，以30千米/时的速度前进，骑行了半小时小明突然发现有东西遗忘在学校，马上以50千米/小时的速度返回学校，同时小刚将速度放慢为20千米/小时继续前行，小明取到东西后，仍以50千米/小时的速度追赶小明，小明从掉头返校到追上小刚，经过了 　1　小时。
【思路点拨】小明追小刚的距离就是他俩离开学校半小时后的路程的2倍，追及时间＝相距路程÷速度差。
【规范解答】解：30×0.5×2÷（50﹣20）
＝15×2÷30
＝30÷30
＝1（小时）
答：小明从掉头返校到追上小刚，经过了1小时。
故答案为：1。
【考点评析】明确追及问题中的数量关系是解决本题的关键。
9．（2分）（2022•湘潭县）在一幅地图上，图上3cm对应的实际距离是120km，这幅地图的比例尺是 　1：4000000　；在这幅地图上量得A、B两个城市间的公路长12cm，甲、乙两车分别从A、B两个城市相向而行，甲车每小时行驶78km，乙车每小时行驶82km，两车 　3　小时相遇。
【思路点拨】先求出这幅地图的比例尺；根据图上距离1厘米表示实际距离40千米，因此用12乘上40即可求出两地的实际距离，再根据“路程÷速度和＝相遇时间”即可求解。
【规范解答】解：图上3cm对应的实际距离是120km，
3：12000000＝1：4000000
所以这幅地图的比例尺是1：4000000；
12×40＝480（千米）
480÷（78+82）
＝480÷160
＝3（小时）
答：两车3小时相遇。
故答案为：1：4000000，3。
【考点评析】此题主要考查线段比例尺的意义，以及路程、速度和时间之间的关系的灵活应用。
10．（2分）（2022•城中区）如图，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，20分钟后在C地相遇。根据图中信息，我知道：20×　（a+b）　＝3000

【思路点拨】根据总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间来列式。
【规范解答】解：20×（a+b）＝3000
【考点评析】本题考查了学生对相遇问题各数量间关系的掌握。
11．（2分）（2022•潜江）钟状菌是迄今发现的唯一能用肉眼看出生长的植物，生长旺盛期每小时约生长25cm，竹子的生长旺盛期每小时约长4cm。在这两种植物的生长旺盛期，如果一开始竹子比钟状菌高10.5cm，　1　小时后钟状菌反而比竹子高10.5cm。
【思路点拨】本题可以看成追击问题，先求出它们之间的高度差，再求出它们生长的速度差，用高度差除以每时生长的速度差，即可求出钟状菌的高度可以赶上竹子需要的时间。
【规范解答】解：（10.5+10.5）÷（25﹣4）
＝21÷21
＝1（小时）
答：1小时后钟状菌反而比竹子高10.5cm。
故答案为：1。
【考点评析】解答此题的关键是确定每时钟状菌比竹子多长多少和现在竹子比钟状菌高的厘米数。
12．（2分）（2022春•内乡县期中）已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从AB两地同时出发，相向而行。在途径C点时，乙车比甲车早到20分钟；第二天甲乙分别从B、A两地出发同时，返回原来出发地。在途径C点时，甲车比乙车早到60分钟。AB两地相距 　120　千米。
【思路点拨】从B地到C点的路程一定，速度和时间成反比例，所以乙车从B地到C点的与甲车从B地到C点所用时间的比是，又因为两车的速度和一定，两车共行的路程和时间成正比例，所以第一天乙车从B地到C点时两车共行路程与第二天甲车从B地到C点时两车共行路程的比是，第一天乙车从B地到C点时两车共行路程比全程少甲车行20分钟的路程，第二天甲车从B地到C点时两车共行路程比全程少乙车行60分钟的路程，据此可以设全程为x千米，列比例求解。
【规范解答】解：设全程为x千米，
20分＝时
60分＝1时
（x﹣90×）：（x﹣60×1）＝90：60
（x﹣30）：（x﹣60）＝3：2
3x﹣180＝2x﹣60
3x﹣2x＝180﹣60
x＝120
答：AB两地相距120千米。
故答案为：120。
【考点评析】解答此题的关键是理解第一天乙车从B地到C点时两车共行路程与第二天甲车从B地到C点时两车共行路程的关系。
13．（2分）（2020•青神县）甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，在距离A地20km处相遇。相遇后，两车继续以原来的速度前进，到达对方出发地后马上返回，在途中再次相遇。第2次相遇的地点离B地的距离是两地路程的。A、B两地相距 　45　千米。
【思路点拨】如图所示，第一次相遇在距离A地20km处，这时候甲走了20km，在第二次相遇时甲和乙一共走了3个全程，甲一共走了20×3＝60（km），第二次相遇的地点离B地的距离是两地路程的，则甲走了全程的（1+），（下图红色部分为甲走的路线）；把全程看作单位“1”，根据对应量÷对应分率＝单位“1”的量，即可求出全程。

【规范解答】解：20×3＝60（千米）
60÷（1+）＝45（千米）
答：A、B两地相距45千米。
故答案为：45。
【考点评析】本题的关键在于理解第二次相遇时，两车一共走了3个全程，这时候甲一共走了60千米。
三．应用题（共14小题，满分74分=）
14．（5分）（2022•郑州模拟）从A地到B地有49千米，甲、乙、丙三人从A地出发向B地前进，甲驾驶摩托车，每次只能带1人，摩托车的速度是每小时44千米，人步行每小时行4千米。甲先带乙走若干千米后乙下车步行，甲立即调转回头接正在步行的丙，遇丙后立即带上丙驶向B地，结果三人正好同时到B地，求乙在离B地多远处下车步行？
【思路点拨】乙下车步行时离B地的距离与丙上车时离A地的距离相等，时间一定，路程与速度成正比例。甲从出发到接到丙时，甲和丙行的距离之和正好是甲带乙行的路程的2倍，据此列方程即可。
【规范解答】解：设乙在离B地x千米处下车步行，
甲从出发到接到丙：44÷4＝11，此时甲行的路程为丙的11倍。
x+（11+1）x÷2＝49
7x＝49
x＝7
答：乙在离B地7千米远处下车步行。
【考点评析】此题考查的用方程解决问题，找出等量关系式才是解题的解题的关键。
15．（5分）（2022•永城市）甲乙两列火车同时从A、B两地相向开出，4小时相遇。相遇时，甲乙两车所行路程比是2：3，已知甲车每小时行60千米。求A、B两城相距多少千米？
【思路点拨】4小时相遇，根据“速度×时间＝路程”求出甲车行驶的路程，甲乙两车所行路程比是2：3，用甲车行驶的路程除以2求出每份的路程，再乘总份数（2+3）即可。
【规范解答】解：60×4÷2×（2+3）
＝120×5
＝600（千米）
答：A、B两城相距600千米。
【考点评析】本题考查了相遇问题与比的应用的综合运用，关键是求出每份的路程。
16．（5分）（2022•江北区模拟）已知A、B两地相距7200米，甲、乙两人均骑车同时从A地出发，向B地匀速行驶，甲每分钟走300米，乙每分钟走400米，乙到达B地后立即将速度提高100米/分掉头返回A地，而甲也立即将速度提高100米/分进续向B地行驶，当甲到达B地时，两人同时停止运动，若两人距离超过1000米时视为处于信息“闭塞状态，求整个过程中两人处于信息闭塞状态的时间共有多少分钟？
【思路点拨】第一阶段，甲乙从A地向B地行驶时，乙的速度比甲的速度每分钟多100米，10分钟多1000米，乙到达B地用18分钟，10分钟后的8分钟是信息闭塞状态；第二阶段乙从B地返往甲地，甲继续想B地行驶，两人相距1800米，800米后，两人相距1000米，信息不闭塞，一直到两人相遇又相距1000米后处于信息闭塞状态。甲行驶1800米后到达B地，用时4.5分钟，从4.5分钟里减去信息不闭塞的时间，就是第二阶段的信息闭塞时间；闭塞总时间可求。
【规范解答】解：7200÷400﹣1000÷（400﹣300）
＝18﹣10
＝8（分钟）
（7200﹣300×18）÷（300+100）
＝（7200﹣5400）÷400
＝1800÷400
＝4.5（分钟）
1000×2÷（300+100+400+100）
＝2000÷900
＝（分钟）
8+（4.5﹣）
＝8+
＝（分钟）
答：整个过程中两人处于信息闭塞状态的时间共有分钟。
【考点评析】弄清楚追及问题数量间的关系是解决本题的关键。
17．（5分）（2022•峡江县）从A地到B地，甲车需要8小时，乙车需要7小时，现在甲、乙两车同时从AB两地相对开出，6小时后，两车相遇后继续前行又相距了170千米，AB两地相距多少千米？
【思路点拨】甲车的速度是1÷8＝，乙车的速度是1÷7＝，已知相遇后又相距170千米，就是两车6小时行驶了一个AB的距离加170千米。根据相遇问题的数量关系即可求得AB两地的距离。
【规范解答】解：1÷8＝
1÷7＝
（+）×6﹣1
＝×6﹣1
＝
170÷＝280（千米）
答：AB两地相距280千米。
【考点评析】明确相遇问题数量之间的关系及分数除法的意义是解决本题的关键。
18．（5分）（2022•九江）甲乙两人从A、B两地同时出发相向而行，经过4小时相遇，甲又行1小时正好到达A、B两地的中点。问两人相遇后，乙再过几小时到达A地？
【思路点拨】相遇后甲又行1小时正好到达两地中点，也就是说，甲用了5小时刚好走了AB一半的路程，而剩下的路，自然还要走5小时。
也就是说，甲在相遇后需要走6小时才能到达B地，而这正好是乙在相遇前走过的路程，所以说相遇前的那段同样的时间里，甲走了4小时的路程，乙走了相当于甲6小时的路程，所以他们的速度之比为2：3。
相遇后乙还要走相当于甲4小时的路程，乙的速度是甲的倍，所以同样的路程，乙花的时间就是甲的，据此解答即可。
【规范解答】解：（4+1）×2＝10（小时）
4：6＝2：3
乙的速度是甲的倍。
4＝（小时）
答：两人相遇后，乙再过小时到达A地。
【考点评析】此题的关键是分析清楚甲和乙速度之间的关系。
19．（5分）（2022•达川区）客车从甲地到乙地要20小时，货车从乙地到甲地要30小时，两车同时从两地相对开出，相遇时客车比货车多行了450千米，甲、乙两地之间的距离是多少千米？相遇时客车和货车各行了多少千米？
【思路点拨】首先根据速度×时间＝路程，可得路程一定时，速度和时间成反比，据此求出两车的速度之比是多少；然后根据时间一定时，路程和速度成正比，求出相遇时两车行的路程之比是多少，进而求出客车比货车多行了全程的几分之几；最后根据分数除法的意义，用相遇时客车比货车多行的路程除以它占全程的分率，求出甲、乙两地相距多少千米即可。用总路程除以2，再加上450千米，即可求出客车行驶的路程。用总路程减去客车行驶的路程，即可求出货车行驶的路程。
【规范解答】解：因为客车从甲地到乙地需要20小时，货车从乙地到甲地需要30小时。
所以客车、货车的速度之比是30：20＝3：2。
所以相遇时两车行的路程之比是3：2。
所以甲、乙两地相距：
450÷（）
＝450
＝2250（千米）
2250÷2+450
＝1125+450
＝1575（千米）
2250﹣1575＝675（千米）
答：甲、乙两地相距2550千米。客车行驶了1575千米，货车行驶了675千米。
【考点评析】此题主要考查了相遇问题，注意速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，解答此题的关键是求出相遇时快车比慢车多行了全程的几分之几。
20．（5分）（2021•凤凰县）一条单线铁路上有A，B，C，D，E五个车站，它们之间的路程如图所示（单位：千米），两列火车同时从A，E两站相向开出，A站开出的火车平均速度为120千米/时，E站开出的火车平均速度为100千米/时．由于只有车站才具备错轨通行的条件，因此两车在车站相遇才会使列车安全行驶．

（1）两列火车在哪个站相遇，才能使列车停车等候的时间最短？
（2）先到这一站的那列火车至少需要停多少分钟？
【思路点拨】为使等车时间最短，会车站应安排在距两车相遇地点最近的地方．已知两车的速度及路程，则它们的相遇时间为：（450+50+30+460）÷（120+100）＝4.5（小时），所以它们的相遇地点为距A站：120×4.5＝540（千米），A站距离D站的距离：450+50+30＝530（千米），所以途中的D站距它们的相遇地点最近，为使等车时间最短，应安排在D站．然后根据路程÷速度＝时间分别算出两车到达D站所需的时间，即能求出先到该站的火车至少要等多少分钟．
【规范解答】解：（450+50+30+460）÷（120+100）
＝990÷220
＝4.5（小时）
120×4.5＝540（千米）
则甲、乙两车会车地点距离A站540千米．
AD的距离为：450+50+30＝530（千米）
也即距离D站最近为10千米，故选择D站会车最好．
等车时间为：
460÷100﹣（450+50+30）÷120
＝4.6﹣
＝（小时）
小时＝11分钟
答：为使等车时间最短，应安排在D站会车，先到该站的火车至少要等11分钟．
【考点评析】明确会车站安排在距两车相遇地点最近的地方等车时间最短是完成本题的关键．
21．（5分）（2022•长治模拟）慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多时间？
【思路点拨】根据题意可知，“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和，速度应该是两列火车的速度差，再根据时间＝路程÷速度，就可以求出快车穿过慢车的时间。
【规范解答】解：根据题意可得：
（125+140）÷（22﹣17）
＝265÷5
＝53（秒）
答：快车在后面追上到完全超过需要53秒。
【考点评析】这是一个典型的列车追及问题，根据快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车所行的路程是两个车长的和，快车穿过慢车时，所行驶的速度是两列火车的速度差，就可以求出快车穿过慢车的时间。
22．（5分）（2022•平舆县）西安和合肥是“：一带一路”战略规划中两个重要的内陆节点城市，客、货两车分别从合肥、西安两地相对开出。已知客、货两车的速度比是4：5，两车在途中相遇后继续行驶，客车把速度提高20%，货车速度不变，再行4小时后，货车到达合肥，而客车离西安还有116千米，西安合肥两地相距多少千米？
【思路点拨】把两地的路程看作单位“1”，由题意可知，相遇时货车行了＝，客车行了＝，客车还剩没到B地；相遇后货车行了，用了4小时，每小时行：÷4＝，则客车未提高20%前的速度：×＝；客车提高20%后的速度：×（1+20%）＝；相遇后客车再行4小时行了：×4＝，客车离B地还剩：﹣＝，由“客车离B地还有116千米”可知，116千米对应的分率是 ，用对应量除以对应分率就是全程的长度。
【规范解答】解：相遇后货车4小时的速度：÷4＝
则客车未提高20%前的速度：×＝
客车提高20%后的速度：×（1+20%）＝
相遇后客车再行4小时行了：×4＝
客车离B地还剩：﹣＝
两地的距离：116÷＝900（千米）
答：西安合肥两地相距900千米。
【考点评析】解答此题的关键是求出对应量116千米的对应分率，用对应量除以对应分率就是全程的长度。
23．（5分）（2023•海淀区模拟）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C地，如果甲车的速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇的地点距离C地12千米；如果乙车的速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距离C地16千米．甲车原来每小时行多少千米？
【思路点拨】设甲的原来的速度是V甲，乙的原来的速度是V乙
①甲车的速度不变，乙车每小时多行5千米，是速度和为：V甲+V乙+5 路程和为：AB 相遇时间：AB÷（V甲+V乙+5 ）
②乙车的速度不变，甲车每小时多行5千米，是速度和为：V甲+V乙+5 路程和为：AB 相遇时间：AB÷（V甲+V乙+5 ）
单独分析甲：两次的时间相等，路程差＝12+16＝28 速度差＝5
【规范解答】解：第二次相遇时间是：（12+16）÷5＝5.6（小时）．依据下图可得：

V甲＝12÷（6﹣5.6）＝30（千米）
答：甲车原来每小时行30千米
【考点评析】解题的关键是利用第二次和第三次的时间不变，画图，分析
24．（6分）（2022•邛崃市）小华和小明分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间．小华的速度是65米/分，小明的速度是70米/分，经过5分钟两人第二次相遇．这座桥长多少米？
【思路点拨】第一次相遇两人走了一个桥长，然后分别走到桥头两人又走了一个桥长，返回后第二次相遇，两人又走了一个桥长，先用加法求出两人的速度和，再根据“路程＝速度×时间”，求出两人的路程和，再除以3即可求出这座桥有多少米长．
【规范解答】解：（65+70）×5÷3
＝135×5÷3
＝675÷3
＝225（米）
答．这座桥有225米长．
【考点评析】在此类相遇问题中，第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程．
25．（6分）（2022•天河区）一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车每小时行40千米，货车的速度是客车的，两车开出2.5小时后相遇，两城相距多少千米？
【思路点拨】已知客车每小时行40千米，货车的速度是客车的，根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，可求出货车的速度，再根据路程＝速度和×时间，可求出两地之间的路程，据此解答．
【规范解答】解：（40+40×）×2.5
＝（40+32）×2.5
＝72×2.5
＝180（千米）
答：两城相距180千米．
【考点评析】本题的重点是先求出货车的速度，进而根据路程＝速度和×时间，可求出两地之间的路程．
26．（6分）（2021•岳麓区）甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C同时出发绕池边沿“A﹣B﹣C﹣D﹣A”的方向行走，甲的速度是每分钟50米，乙的度是每分钟46米，则甲、乙第一次在同一边上行走是发生在出发后的第几分钟？第一次在同一条边上行走了多少分钟？

【思路点拨】要使两人在同一边行走，甲乙两人相距距离必须要小于一条边的长度，水池边长：1600÷4＝400（米），甲的速度比乙的速度快，甲追上乙需要的时间：400÷（50﹣46）＝100（分钟），此时甲行了50×100＝5000米，共走了5000÷400＝12（条）......200（米），所以出发之后还要行走200÷50＝4分钟，共计走了100+4＝104分钟；此时甲乙两个人相距400×2﹣104×（50﹣46）＝384（米），乙还剩400﹣384＝16（米），所以第一次在同一条边上走了16÷46＝（分钟）。
【规范解答】解：1600÷4＝400（米）
400÷（50﹣46）＝100（分钟）
50×100＝5000（米）
5000÷400＝12（条）......200（米）
200÷50＝4（分钟）
100+4＝104（分钟）
故甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的104分钟。
400×2﹣104×（50﹣46）
＝800﹣416
＝384（米）
400﹣384＝16（米）
16÷46＝（分钟）
答：甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的104分钟，第一次在同一边上行走分钟。
【考点评析】本题考查环形跑道问题，要理解整个行走过程，理解在一条边上行走的条件。
27．（6分）（2021•海淀区模拟）上午8点整．甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从B地出发时是8点几分？
【思路点拨】路程一定，速度和时间成反比例关系；相遇后乙走的路程是甲相遇前的路程，相遇后甲走的路程是乙相遇前的路程，那么甲走20分钟的路程乙用了10分钟，可知乙的速度是甲提速前的2倍，而甲后来走了10分钟，则是提速前的3倍，也就相当于走了原来速度的30分钟的路程；而乙是甲原来速度的2倍，甲后来走的10分钟，相当于乙走30÷2＝15分钟 从8：20向前推算15分钟就是8点05分出发．
【规范解答】解：8时20分﹣8时＝20分钟
8时30分﹣8时20分＝10分钟
甲原来走20分钟的路程乙用了10分钟，那么乙的速度相当于原来甲的2倍；
甲提速后走10分钟的路程相当于原来10×3＝30分钟的路程；
乙的速度相当于原来甲的2倍；那么相遇时乙需要的时间就是
30÷2＝15（分钟）
8时20分﹣15分钟＝8时05分
答：乙从B地出发时是8点5分．
【考点评析】解决本题抓住“相遇后乙走的路程是甲相遇前的路程，相遇后甲走的路程是乙相遇前的路程”这一关系，根据速度的变化，得出时间的变化，从而得解