专题20 行程问题（环形跑道问题） —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题20 行程问题（环形跑道问题）
知识精讲





在行程问题中，与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似，但有两点值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。
典例分析




【典例分析01】甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。甲第一次遇到乙后1分钟于到丙，再过3分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的，湖的周长为600米，求丙的速度。
甲第一次与乙相遇后到第二西与乙相遇，刚好共行了一圈。甲、乙的速度和为600÷（1+3）=120米/分。甲、乙的速度分别是：120÷（1+）=72（米/分），120—72=48（米/分）。甲、丙的速度和为600÷（1+3+1）=96（米/分），这样，就可以求出丙的速度。列算式为
甲、乙的速度和：600÷（1+3）=120（米/分）
甲速：120÷（1+）=72（米/分）
乙速：120—72=48（米/分）
甲、丙的速度和：600÷（1+3+1）=96（米/分）
丙的速度：96—72=24（千米/分）
答：丙每分钟行24米。
【典例分析02】甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的，甲跑第二圈时的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了。已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。这条椭圆形跑道长多少米？

根据题意画图34-2：甲、乙从A点出发，沿相反方向跑，他们的速度比是1：=3：2。第一次相遇时，他们所行路程比是3：2，把全程平均分成5份，则他们第一次相遇点在B点。当甲A点时，乙又行了2÷3×2=1。这时甲反西肮而行，速度提高了。甲、乙速度比为[3×（1+）：2]=2：1，当乙到达A点时，甲反向行了（3—1）×2=3。这时乙反向而行，甲、乙的速度比变成了[3×（1+）]：[2×（1+）]=5：3。这样，乙又行了（5—3）×=，与甲在C点相遇。B、C的路程为190米，对应的份数为3—=2。
列式为
1：=3：2
2÷3×2=1
[3×（1+）：2]=2：1
（3—1）×2=3
[3×（1+）]：[2×（1+）]=5：3
（5—3）×=
190÷（3-）×5=400（米）
答：这条椭圆形跑道长400米。
【典例分析03】绕湖的一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。小王以每小时4千米速度走1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟。两人出发多少时间第一次相遇？
小张的速度是每小时6千米，50分钟走5千米，我们可以把他们出发后的时间与行程列出下表：
小王
时间
1小时5分
2小时10分
3小时15分
行程
4千米
8千米
12千米
小张
时间
1小时
2小时
3小时
行程
5千米
10千米
15千米
12+15=27，比24大，从上表可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间。出发后2小时10分，小张已走了10+5÷（50÷10）=11（千米），此时两人相距24—（8+11）=5（千米）。由于从此时到相遇以不会再休息，因此共同走完这5千米所需的时间是5÷（4+6）=0.5（小时），而2小时10分+0.5小时=2小时40分。
小张50分钟走的路程：6÷60×50=5（千米）
小张2小时10分后共行的路程：10+5÷（50÷10）=11（千米）
两人行2小时10分后相距的路程：24—（8+11）=5（千米）
两人共同行5千米所需时间：5÷（4+6）=0.5（小时）
相遇时间：2小时10分+0.5小时=2小时40分
【典例分析04】一个游泳池长90米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。找这样往、返游，两人游10分钟。已知甲每秒游3米，乙每秒游2米。在出发后的两分钟 内，二人相遇了几次？
设甲的速度为a，乙的速度为b，a：b的最简比为m：n，那么甲、乙在半个周期内共走m+n个全程。若m＞n，且m、n都是奇数，在一个周期内甲、乙相遇了2m次；若m＞n，且m为奇数（或偶数），n为偶数（或奇数），在半个周期末甲、乙同时在乙（或甲）的出发位置，一个周期内，甲、乙共相遇（2m—1）次。
甲速：乙速=3：2，由于3＞2，且一奇数一偶数，一个周期 内共相遇（2×3—1=）5次，共跑了[（3+2）×2=]10个全程。
10分钟两人合跑周期的个数为：60×10÷[90÷（2+3）×10]=3（个）
3个周期相遇（5×3=）15（次）；个周期相遇2次。
一共相遇：15+2=17（次）
答：二人相遇了17次。
【典例分析05】甲、乙两地相距60千米。张明8点从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度为每分钟1千米，后一半时间平均速度为每分钟0.8千米。张明经过多少时间到达乙地？
因为前一半时间与后一半时间相同，所以可假设为两人同时相向而行的情形，这样我们可以求出两人合走60千米所需的时间为[60÷（1+0.8）=]33分钟。因此，张明从甲地到乙地的时间列算式为
60÷（1+0.8）×2=66（分钟）
答：张明经过66分钟到达乙地。
真题演练




一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2020秋•新田县期中）军军和明明在学校操场的环形跑道上跑步，军军小时跑一圈，明明小时跑一圈，如果两人同时同点相背而行，（　　）小时两人相遇。
A． B． C．
【思路点拨】把环形跑道的长度看作单位“1”，分别表示出两个人的速度，再根据“相遇时间＝路程÷速度和”解答即可。
【规范解答】解：1÷（1÷+1÷）
＝1÷22
＝（小时）
答：小时两人相遇。
故选：A。
【考点评析】本题考查了环形跑道相遇问题，关键是把环形跑道的长度看作单位“1”。
2．（2分）（2018•开福区）如图，在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发，反向而行，8分后两人相遇，再过6分甲到B点，又过10分两人再次相遇．甲环行一周需（　　）分．

A．28 B．30 C．32 D．34
【思路点拨】设跑道一周长是单位“1”，乙8分的行程甲行了6分，所以甲乙的速度比是：8：6＝4：3；从第一次相遇到第二次相遇用了：6+10＝16分，二人共行了一个全程． 所以二人的速度和是：．即甲的速度是：×＝，那么甲跑一周的时间是：1÷＝28分钟．
【规范解答】解：甲乙的速度比是：8：6＝4：3．
1÷[1÷（6+10）×]
＝1÷[×]，
＝1，
＝28（分钟）．
答：甲环行一周需28分．
故选：A．
【考点评析】首先根据行驶相同的路程，所用时间与速度成反比求出两人的速度比是完成本题的关键．
3．（2分）（2021秋•河西区期末）小红和爷爷在圆形街心花园散步。小红走一圈需要6分，爷爷需要8分。如果两人同时同地出发，相背而行，12分时两人的位置如下面（　　）图。
A． B． C． D．
【思路点拨】把圆形街心花园的周长看作单位“1”，小红走一圈需要6分钟，平均每分钟走圈，爷爷走一圈需要8分钟，平均每分钟走圈，根据速度和×时间＝总路程，据此求出12分钟时两人走了多少圈，进而确定两人的位置，据此解答。
【规范解答】解：（）×12
＝（）×12
＝
＝
＝3（圈）
因为两人12分钟走了3圈半，所以两人相距半圈的距离。
由此可以确定两人的位置在图象D的位置。
故选：D。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，关键是把圆形街心花园的周长看作单位“1”。
4．（2分）如图，花园内有一个圆形水库，老鼠在圆心O处，猫在岸上点A处。老鼠从点O沿着半径向点B逃跑，同时猫从点A沿着箭头方向追。已知猫的速度是老鼠的3倍，则（　　）会先到达点B。

A．老鼠 B．猫 C．同时
【思路点拨】假设圆形水库的半径为r米。根据题意可知猫到达B点时，猫跑了圆周长的一半即跑了πr米。已知猫的速度是老鼠的3倍，则在相同时间里，老鼠跑的路程是猫的路程的。即老鼠的路程是πr。因为πr＞r，所以老鼠先到达B点。
【规范解答】解：假设圆形水库的半径为r米，
当猫跑了πr米，老鼠跑了πr米，
因为为πr＞r
所以老鼠先到达B点。
答：老鼠先到达B点。
故选：A。
【考点评析】因为路程＝速度×时间，当相同时间下，速度比等于路程比。
5．（2分）（2022•江宁区）小红和爷爷围绕一个圆形的湖泊散步锻炼身体，小红走完一圈需要6分钟。爷爷走完一圈需要8分钟。如果两人同时从同地出发，相背而行。走了12分钟以后，两人的位置是如图的第（　　）幅图。
A． B． C．
【思路点拨】把圆形湖泊的周长看作单位“1”，小红走一圈需要6分钟，平均每分钟走圈，爷爷走一圈需要8分钟，平均每分钟走圈，根据速度和×时间＝总路程，据此求出12分钟时两人走了多少圈，进而确定两人的位置，据此解答。
【规范解答】解：（）×12
＝
＝3（圈）
因为两人12分钟走了3圈半，所以两人相距半圈的距离。
由此可以确定两人的位置在图象C的位置。
故选：C。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，关键是把圆形街心花园的周长看作单位“1”。
6．（2分）（2011•碑林区校级自主招生）一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行．这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米，两只蚂蚁分别爬行1秒、3秒、5秒…（连续奇数），就掉头爬行．那么，它们相遇时，已爬行的时间是（　　）秒．
A．7 B．49
C．7或49 D．以上答案都不对
【思路点拨】这道题难在蚂蚁爬行的方向不断地发生变化，那么如果这两只蚂蚁都不调头爬行，相遇时它们已经爬行了多长时间呢？非常简单，由于半圆周长为：1.26÷2＝0.63米＝63厘米，所以可列式为：1.26÷2÷（5.5+3.5）＝7（秒）；我们发现蚂蚁爬行方向的变化是有规律可循的，它们每爬行1秒、3秒、5秒、…（连续的奇数）就调头爬行．每只蚂蚁先向前爬1秒，然后调头爬3秒，再调头爬5秒，这时相当于在向前爬1秒的基础上又向前爬行了2秒；同理，接着向后爬7秒，再向前爬9秒，再向后爬11秒，再向前爬13秒，这就相当于一共向前爬行了1+2+2+2＝7（秒），正好相遇．
【规范解答】解：它们相遇时应是行了半个圆周，半个圆周长为：
1.26÷2＝0.63（米）＝63（厘米）；
如不调头，它们相遇时间为：
63÷（3.5+5.5）＝7（秒）；
根据它们调头再返回的规律可知：
由于1﹣3+5﹣7+9﹣11+13＝7（秒），
所以13+11+9+7+5+3+1＝49（秒）相遇．
即它们相遇时已爬行的时间是49秒．
故选：B。
【考点评析】完成本题关键是发现蚂蚁爬行方向的变化是有规律可循．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021秋•电白区期末）淘气跑一圈跑道要6分钟，妈妈跑一圈要4分钟，爸爸跑一圈只需2分钟。他们一同起跑后，　12　分在起点第一次相遇，相遇时，妈妈跑了 　3　圈。
【思路点拨】淘气跑一圈跑道要6分钟，妈妈跑一圈要4分钟，爸爸跑一圈只需2分钟，淘气回到起点的时间是6的整数倍，妈妈回到起点的时间是4的整数倍，爸爸回到起点的时间是2的整数倍，他们一同起跑后，在起点第一次相遇的时间即是6的整数倍，是4的整数倍，也是2的整数倍，即为6、4、2这三个数的倍数，且是最小的，由此解答即可。
【规范解答】解：由分析可得：最小公倍数为：[6，4，2]＝12（分钟）
12÷4＝3（圈）
答：他们一同起跑后，12分在起点第一次相遇，相遇时，妈妈跑了3圈。
故答案为：12，3。
【考点评析】此题考查最小公倍数的应用。关键在于理解题意。
8．（2分）（2014•西安）如图，点P为长方形ABCD上的一个动点，它以每秒1cm的速度，从A点出发，沿着A→B→C→D的路线运动，到D点停止．当其运动2秒或6秒时，△PAD的面积均为4cm2，则长方形ABCD的周长为　12　 cm．

【思路点拨】根据题意可知，当点P在BC边上时，△PAD的面积均保持不变，因此点P不能在BC边上（除端点外），结合题意可知，P点应该在AB边上和CD边上相同高度处，P点在AP1上运动2s，且速度是每秒1cm，则AP1＝P2D＝2cm，然后根据△PAD的面积为4cm2，求出AD的长度，然后根据时间关系列出等式．
【规范解答】解：根据题意，P点在AP1上运动2s，且速度是每秒1cm，则AP1＝P2D＝2cm，

根据△PAD的面积均为4cm2得×AP1×AD＝4，则AD＝4，
P点从P1点运动到P2点消耗时间4s，则P1B+BC+CP2＝2AP1＝4cm，解得P1B＝0，
所以P1点和B点重合，P2点和C点重合，
AB＝AP1＝2cm，长方形的周长＝2×（AB+AD）＝2×（2+4）＝12cm
故答案为：12．
【考点评析】考查了环形跑道问题，本题关键是得到长方形的长和宽，难度较大．
9．（2分）（2021秋•肇源县期末）一条环形跑道，爸爸跑一圈用4分，妈妈跑一圈用6分，淘气跑一圈用8分，三人同时从起点出发，　24　分后，可以在起点第一次相遇。
【思路点拨】通过分析可知，可以通过求4、6、8的最小公倍数的方法求出在起点第一次相遇的时间。
【规范解答】解：4＝2×2
6＝2×3
8＝2×2×2
2×2×2×3＝24（分钟）
答：三人同时从起点出发，24分钟后，可以在起点第一次相遇。
故答案为：24。
【考点评析】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决问题的能力。
10．（2分）（2021春•淮滨县校级期末）一条环形跑道的长是400米，小东和小明在跑道上同一点沿相反方向同时出发，小东每秒跑6米，小明每秒跑4米，那么，除第一次出发以外，3分钟内两人在途中相遇 　4　次。
【思路点拨】已知路程及速度，据路程÷速度和＝相遇时间求出小东和小明的相遇时间，然后用3分钟除以相遇时间就是相遇次数。
【规范解答】解：3分钟＝180秒
180÷[400÷（4+6）]
＝180÷40
＝4.5（次）
即三分钟内相遇4次。
故答案为：4。
【考点评析】本题据相遇问题的基本关系式路程÷速度和＝相遇时间进行解答即可。
11．（2分）（2021秋•平昌县期末）甲、乙二人在圆形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方同时出发，同向跑，则经过3分20秒可以第一次相遇；若反向跑，则经过40秒也可以第一次相遇，已知甲跑步的速度每秒跑6m，这个圆形跑道的直径是 　　m。（圆周率π取3）
【思路点拨】同向跑甲和乙第一次相遇时，甲跑了1200米，也就是甲跑了一圈加上乙跑的路程；又从反向跑第一次相遇可得，跑一圈甲就跑240米，1200米甲跑了5个240米，乙也跑了5个反向距离，1200米减去一圈的甲的240米，就是乙的6个反向相遇距离。乙的速度可得，圆的周长可得，直径即可求。
【规范解答】解：60×3+20
＝180+20
＝200（秒）
6×200＝1200（米）
（1200﹣6×40）÷（200÷40+1）
＝960÷6
＝160（米）
160÷40
＝4（米）
（6+4）×40÷3
＝400÷3
＝（米）
故答案为：。
【考点评析】弄清楚行程问题数量间的关系是解决本题的关键。
12．（2分）（2021•重庆）如图，正方形边长是100来，甲、乙两人同时从A、B沿图中所示的方向出发，甲每分钟走75米，乙每分钟走65米，且两人每到达一个顶点都需要休息2分钟。甲从出发到第一次看见乙用 　24　分钟。

【思路点拨】首先根据图示，可得甲、乙距离是正方形的两个边长，分别求出甲、乙走每个边长加上休息的时间；然后根据乙走7个边长到A左边的顶点用时7×﹣2＝22（分钟），24分钟离开，因为24＜24，甲到A点时，乙还没有离开A左侧顶点，此时甲第一次看到乙，据此解答即可。
【规范解答】解：根据图示，可得甲乙距离是正方形的两个边长，
甲每个边长用时：100÷75＝1（分钟），加上休息需要3分钟；
乙每个边长用时：100÷65＝1（分钟），加上休息需要3分钟；
甲走两周回到A点用时3×8＝24（分钟）；
乙走7个边长到A左边的顶点用时7×﹣2＝22（分钟），24分钟离开；
因为24＜24，甲到A点时，乙还没有离开A左侧顶点，此时甲第一次看到乙；即24分钟末甲第一次看到乙。
答：24分钟末甲第一次看到乙。
故答案为：24。
【考点评析】此题主要考查了行程问题的应用，解答此题的关键是分别求出甲乙走每个边长加上休息的时间。
13．（2分）（2020•安溪县）如图，A、B是圆直径的两端，乐乐在A点，欢欢在B点，同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C点离A点90米，他们以同样的速度继续前行，在D点第二次相遇，D点离B点70米，那么这个圆的周长是　400　米。

【思路点拨】已知他们在C点第一次相遇，C点离A点90米，则乐乐和欢欢第一次相遇时，两人刚好合走了圆周长的一半，此时乐乐走了90米；第一次相遇后直到两人第二次相遇在D点，这时乐乐和欢欢一共合走了一个圆周长；所以乐乐和欢欢从出发到第二次相遇，一共走了3个圆周长的一半。乐乐和欢欢合走了圆周长的一半，乐乐就走90米，当他们合走了3个圆周长的一半时，乐乐走了90×3＝270（米）。因为D点离B点的距离是70米。所以圆周长的一半＝270﹣70＝200（米），所以圆的周长是200×2＝400（米）。
【规范解答】解：90×3＝270（米）
270﹣70＝200（米）
200×2＝400（米）
答：这个圆的周长是400米。
故答案为：400。
【考点评析】本题的关键在于求得乐乐到D点一共走了多少米。
14．（2分）（2018秋•浦东新区期末）如图，点P在圆O的圆周上顺时针匀速运动，现将圆O八等分，如果点P从A点开始经过1分钟，其位置正好第一次在B点，那么点P从A点开始经过45分钟，其位置在　F　点．（用图中的字母表示）

【思路点拨】观察图形发现点P8分钟完成一个循环，根据45÷8＝5…5可以得到结果．
【规范解答】解：因为45÷8＝5…5
所以点P从A点开始经过45分钟，位置在F点．
故答案为：F．
【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够确定8分钟一个循环．
15．（2分）（2018•广州）如图，点P为长方形ABCD上一动点，它以每秒1cm的速度从A出发，沿着A﹣B﹣C﹣D的路线运动，到点D停止，从2秒开始一直至8秒，△PAD的面积均为6cm2，那么长方形ABCD的周长为　16　cm．

【思路点拨】根据题意可知，当点P在BC边上时，△PAD的面积均保持不变，所以2秒钟时就已经到达B点，即AB的长度是1×2＝2（厘米）；根据△PAD的面积均为6cm2得×AP1×AD＝6，则AD＝6cm，再根据长方形的周长公式求解即可．
【规范解答】解：根据题意，P点在AP1上运动2s，且速度是每秒1cm，
AB的长度是1×2＝2（厘米）；
根据△PAD的面积均为6cm2得×AP1×AD＝6，则AD＝6，
长方形的周长＝2×（AB+AD）＝2×（2+6）＝16（厘米）
故答案为：16．
【考点评析】考查了环形跑道问题，本题关键是得到长方形的长和宽，难度较大．
16．（2分）（2015•内江模拟）在一个边长为1米的正方形木框ABCD的两个顶点A、B分别有两只蚂蚁甲、乙，沿着木框逆时针爬行，如图．10秒钟后甲、乙距离B点的距离相同．30秒钟后甲、乙距B点的距离又一次相同．甲蚂蚁沿木框爬行一圈需　60　秒，乙蚂蚁沿木框爬行一圈需　120　秒．

【思路点拨】10秒钟后甲、乙距离B点的距离相同，10秒钟后甲、乙在B点的两端，正好共同行的路程为一个边长1米，也就能求出甲乙两只蚂蚁的速度和；30秒钟后甲、乙距B点的距离又一次相同，甲、乙在B点的同一侧．甲追上乙两人相遇，就能求出速度差，就用速度和加上速度差再除以2就是甲的速度，速度和减去速度差再除以2就是乙的速度．再根据路程÷速度＝时间，即可求出各自沿木框爬行一圈的时间．
【规范解答】解：甲蚂蚁速度：（+）÷2＝（米），
乙蚂蚁速度：（﹣）÷2＝（米），
甲蚂蚁沿木框爬行一圈需：1×4÷＝60 （秒），
乙蚂蚁沿木框爬行一圈需：1×4÷＝120（ 秒），
所以甲蚂蚁沿木框爬行一圈需 60秒，乙蚂蚁沿木框爬行一圈需120秒．
故答案为：60，120．
【考点评析】此题是较复杂的环形跑道上的行程问题，快的追上慢的，关键是抓住图示明白10秒钟后甲、乙距离B点的距离相同，实际上是甲乙共行了一个AB边长，就能求出速度和，30秒钟后甲、乙距B点的距离又一次相同，说明甲、乙在B点的同一侧．甲追上乙两人相遇，就能求出速度差，然后再根据行程方面关系就可完成．
三．应用题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2022秋•雨花区期末）小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？
【思路点拨】如果两人同时同地出发，同方向而行，小红超出小丽一整圈，看作单位“1”，然后用1除以两人的速度差就是追及时间。
【规范解答】解：1÷（1÷4﹣1÷5）
＝1÷
＝20（分钟）
答：如果两人同时同地出发，同方向而行，20分钟后小红超出小丽一整圈。
【考点评析】环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）；第几次追上就多跑几圈。
18．（5分）（2022春•铜山区期末）李强和王刚在环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，相背而行。李强每秒跑4米，王刚每秒跑6米，经过40秒两人第一次相遇。
（1）这个环形跑道长多少米？
（2）相遇时，李强比王刚少跑多少米？
【思路点拨】这是典型的相遇问题。速度和乘时间等于总路程。速度差乘时间等于少跑的路程。
【规范解答】解：（1）（4+6）×40
＝10×40
＝400（米）
答：这个环形跑道长400米。
（2））（6﹣4）×40
＝2×40
＝80（米）
答：相遇时，李强比王刚少跑80米。
【考点评析】此类题目的关键是要建立相遇问题的数学模型，速度和乘时间等于总路程。速度差乘时间等于少跑的路程。
19．（5分）（2022秋•监利市期末）甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。
【思路点拨】根据题意可知，甲与乙的速度和是（400÷24）米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知，甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和列出方程求解即可。
【规范解答】解：400÷24＝（米/秒）
设原来甲的速度是x米/秒。
x+x+2＝
2x+2＝
2x＝
x＝7
答：甲原来的速度是7米/秒。
【考点评析】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力。
20．（5分）（2022春•黄石期末）周末，李凯与爸爸妈妈一起在体育馆运动场跑步锻炼。李凯跑一圈要6分钟，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟。如果他们同时同地同向起跑，多少分钟后他们三人再次相遇？这时李凯跑了多少圈？
【思路点拨】可以通过求3、4、6的最小公倍数的方法求出再次相遇时间，然后用最小公倍数除以李凯跑一圈各自用的时间，就可求出它们各自跑的圈数
【规范解答】解：3、4、6的最小公倍数是12，所以至少12分钟后三人在起点再次相遇；
李凯跑了：12÷6＝2（圈）
答：至少12分钟两人在起点再次相遇，这时李凯跑了2圈。
【考点评析】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。
21．（6分）（2022春•舞钢市期末）王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？
【思路点拨】根据题意，王老师和张老师围着环形跑道向相反方向跑的过程，可以看作相遇问题，第一次相遇二人共行路程和为跑道全长360米；利用相遇问题公式：相遇时间＝路程和÷速度和，把数代入，进行计算即可。
【规范解答】解：360÷（330+390）
＝360÷720
＝0.5（分钟）
答：经过0.5分钟两人第一次相遇。
【考点评析】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。
22．（6分）（2022春•沈河区期末）（如图）环湖公路一周长度是2400米，淘气和笑笑同时从起点出发，　（1）（2）　，淘气每分钟跑180米，笑笑每分钟跑120米。几分钟后淘气和笑笑相遇？（下面两个问题任选其一列方程解答，都解答加2分。）
（1）如果两人相背而行几分钟相遇？
（2）如果两人同向而行几分钟相遇？

【思路点拨】（1）两人相背而行，求几分钟相遇，用路程2400除以速度和即可。
（2）两人同向而行，求几分钟相遇，用路程2400除以速度差即可。
【规范解答】解：（1）2400÷（180+120）
＝2400÷300
＝8（分钟）
答：如果两人相背而行8分钟相遇。
（2）2400÷（180﹣120）
＝2400÷60
＝40（分钟）
答：如果两人同向而行40分钟相遇。
【考点评析】本题主要考查行程问题，关键利用路程、速度和时间之间的关系做题；注意跑的方向。
23．（6分）（2021•宁波模拟）如图是长400米的跑道，由A点到B点的跑道长是200米，直线距离是50米。父子俩同时从A点出发按逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到B点便沿直线跑。父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？

【思路点拨】由题意知，父子俩的相遇是在从A到B的逆时针的这个路段上，先求出儿子和父亲在这一路段各自的用时是38秒、40秒，这说明只要父亲到达A点后的2秒内儿子到达A点即可追上父亲；再求出儿子、父亲每次到达A点所有时间的周期分别为76秒、50秒，进而列出父子俩到达A点的几个时间并进行比较找出相差2秒的时间便可得到答案。
【规范解答】解：①儿子每次到达A点所用时间周期为：
400÷100×19
＝4×19
＝76（秒）
父亲为：
（200+50）÷100×20
＝250÷100×20
＝50（秒）
②在从A到B逆时针这段路上，儿子要跑：
76÷2＝38（秒），
父亲要跑：
200÷100×20
＝2×20
＝40（秒）
他们的时间差是：
40﹣38＝2（秒）
即：只要在父亲到达A点后的2秒之内，儿子也到达A点，儿子就能从后面追上父亲。
③父亲到达A点的时间有50，100、150、200…
儿子到达A点的时间有76、152、228…
相差2的有152与150（即父子第一次相遇时，儿子已跑完第2圈，也就是正在跑第3圈）
所以，儿子在跑第3圈时，第一次与父亲相遇。
答：儿子在跑第3圈时，第一次与父亲相遇。
【考点评析】解此题要先搞清他们父子是在哪个路段和哪种情况下才能相遇，然后再进行解答才可。
24．（6分）（2022•江北区模拟）如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行60米，乙按顺时针方向每分钟行30米，如果用记号（a.b）表示两人行了a分钟，并相遇过b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是多少？

【思路点拨】当甲逆时针行走到正方形右上顶点时他走了20米，用时分钟；乙顺时针走到正方形的左下顶点时，走了10米，用时分钟；那么他们相遇1次是在分钟时。对应的记号可求。
【规范解答】解：10×2÷60
＝20÷60
＝（分钟）
10÷30＝（分钟）
答：那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号是（，1）
【考点评析】熟悉正方形周长的意义，及行程问题数量间的关系是解决本题的关键。
25．（6分）（2022春•靖江市期中）小颖和小婷每天早上坚持跑步，小颖每秒跑6米，小婷每秒跑4米．
（1）如果她们从100米跑道的两端同时出发，相向而行，几秒后两人相遇？
（2）如果她们从200米环形跑道的同一地点沿逆时针方向同时出发，多长时间后小颖比小婷整整多跑一圈？
【思路点拨】（1）小颖每秒6米，小婷每秒4米，先求出两人的速度和，再依据时间＝路程÷速度即可解答；
（2）可知两人速度差为每秒2米，路程差为200米，根据关系式：路程差÷速度差＝追及时间，解决问题．
【规范解答】解：（1）100÷（6+4）
＝100÷10
＝10（秒）
答：10秒钟后两人相遇．

（2）200÷（6﹣4）
＝200÷2
＝100（秒）
答：100秒钟后小颖比小婷整整多跑一圈．
【考点评析】本题主要考查学生依据速度，时间以及路程之间数量关系解决问题的能力．
26．（6分）（2021春•铜山区期末）小明和小刚沿大龙湖环湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是160米/分，小刚的速度是140米/分，25分钟后两人第一次相遇。
（1）大龙湖环湖跑道全长多少米？
（2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相距400米？
【思路点拨】（1）在环形跑道上反向而行，可按相遇问题计算，跑道的长度就是相遇路程，相遇路程＝速度和×相遇时间；
（2）在环形跑道上同向而行，路程差÷速度差＝时间。
【规范解答】解：（1）（160+140）×25
＝300×25
＝7500（米）
答：大龙湖环湖跑道全长7500米。

（2）400÷（160﹣140）
＝400÷20
＝20（分）
答：如果相遇后两人改为同向而行，那么20分钟后小刚和小明相距400米。
【考点评析】找出题中数量之间的关系，根据数量之间的关系解决问题。
27．（6分）（2022春•婺城区期末）湖海塘一圈5400米，红红每分钟跑120米，明明每分钟跑180米，两人同时反方向跑步。
（1）估计两人在何处相遇，在图中用▲标出。
（2）从出发到两人第二次相遇，经过了多长时间？

【思路点拨】（1）先根据时间＝路程÷速度，求出两人相遇的时间，再求出红红离起点的距离，即可画图；
（2）先根据时间＝路程÷速度，求出两人第一次相遇的时间，再乘2即可求出第二次相遇，经过的时间。
【规范解答】解：（1）5400÷（120+180）×120
＝5400÷300×120
＝18×120
＝2160（米）
所以在红红距离起点2160米处相遇，如图：

（2）5400÷（120+180）×2
＝5400÷300×2
＝18×2
＝36（分钟）
答：从出发到两人第二次相遇，经过了36分钟。
【考点评析】本题主要考查行程问题，关键利用路程、速度和时间之间的关系做题；注意跑的方向。
28．（6分）（2021秋•龙华区期末）如图，两个圆只有一个公共点C，大圆直径AC为50厘米，小圆直径BC为30厘米。甲、乙两只蚂蚁同时从C点出发，甲蚂蚁以每秒0.6厘米的速度顺时针沿着大圆圆周爬行，乙蚂蚁以同样的速度顺时针沿着小圆圆周爬行。（本题圆周率π计算时取3）
（1）乙蚂蚁第一次爬回到C点时，需要多少秒？
（2）当乙蚂蚁第一次爬回到C点时，甲蚂蚁是否已经经过A点？
（3）甲乙两蚂蚁各自沿着圆周不间断地反复爬行，它们是否会在C点相遇？如果相遇，此时甲蚂蚁至少爬了几圈？如果不能相遇，请说明理由。

【思路点拨】（1）根据圆的周长公式：C＝πd，求出小圆的周长，再根据时间＝路程÷速度，用小圆的周长除以乙蚂蚁速度即可求解；
（2）求出大圆的半圆的长，再除以甲蚂蚁的速度，得出用的时间与（1）中的时间对比即可；
（3）根据求两个数的最小公倍数的方法，得出150与250的最小公倍数，再除以甲蚂蚁一圈的时间即可。
【规范解答】解：（1）C小圆＝πd小圆＝3×30＝90（厘米）
90÷0.6＝150（秒）
答：乙蚂蚁第一次爬回到C点时，需要150秒。
（2）C大半圆＝πd大圆＝×3×50＝75（厘米）
75÷0.6＝125（秒）
125＜150
答：当乙蚂蚁第一次爬回到C点时，甲蚂蚁已经经过A点。
（3）乙蚂蚁第一次爬回到C点时，需要150秒，甲蚂蚁第一次爬回到C点时，需要250秒，
150与250的最小公倍数是750，
750÷250＝3（圈）
答：此时甲蚂蚁至少爬了3圈。
【考点评析】此题主要根据圆的周长公式、路程、速度、时间三者之间的关系、及求两个数的最小公倍数的方法解决问题