专题22 最佳对策问题 —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义

专题22 最佳对策问题

熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了“扬长避短”的策略，取得了胜利。

生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比赛、军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知彼，百战不殆”。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。

解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。

【典例分析01】两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至7根火柴，直到移尽为止。挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。如果开始时有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。

先移火柴的人要取胜，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。

设先移的人为甲，后移的人为乙。甲要取胜只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次类推，甲取的与乙取的之和为8根火柴）。由此继续推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保证获胜。

所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走7根火柴。

【典例分析02】有1987粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？

从结局开始，倒推上去。不妨设甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。因此甲想取胜，只要在某一时刻留下5粒棋子就行了。不妨设甲先取，则甲能取胜。甲第一次取2粒，以后无论乙拿几粒，甲只要使自己的粒数与乙拿的粒数之和正好等于5，这样，每一轮后，剩下的棋子粒数总是5的倍数，最后总能留下5粒棋子，因此，甲先取必胜。

【典例分析03】在黑板上写有999个数：2，3，4，……，1000。甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。谁必胜？必胜的策略是什么？

甲先擦去1000，剩下的998个数，分为499个数对：（2，3），（4，5），（6，7），……（998，999）。可见每一对数中的两个数互质。如果乙擦去某一对中的一个，甲则接着擦去这对中的另一个，这样乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。所以，甲必胜。

【典例分析04】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法。

这里关键是第一次写什么数，总共只有10个数，可通过归纳试验。

甲不能写1，否则乙写6，乙可获胜；甲不能写3，5，7，否则乙写8，乙可获胜；甲不能写4，9，10，否则乙写6，乙可获胜。因此，甲先写6或8，才有可能获胜。

甲可以获胜。如甲写6，去掉6的约数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10这六个数中的一个，将这六个数分成（4，5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜。

【典例分析05】有一个3×3的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片如图所示，9张卡片分别写有：1，3，4，5，6，7，8，9，10这几个数。小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡片放在9格中的一格，小兵计算上、下两行6个数的和；小强计算左、右两列6个数的和，和数大的一方取胜。小兵一定能取胜吗？

由于4个角的数是两人共有的，因而和数的大小只与放在A，B，C，D

这4个格中的数有关。

小兵要获胜，必须采取如下策略，尽可能把大数填入A或C格，尽可能将小数填入B格或D格。

由于1+10＜3+9，即B+D＜A+C，小兵应先将1放在B格，如小强把10放进D格，小兵再把9放进A格，这时不论小强怎么做，C格中一定是大于或等于3的数，因而小兵获胜。如小强把3放进A格，小兵只需将9放到C格，小兵也一定获胜。

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）在抢“32”的游戏中，规则是第一个人先说1或1、2，第二个人要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数，这样两人反复轮流，每人每次说一个或两个数，但不可以连续说三个数，谁先抢到“32”谁就胜，那么取适当的策略后其后果是（　　）

A．先报数者胜 B．后报数者胜 

C．两者都有可能 D．很难预料

【思路点拨】先报数者报两个数1、2，然后第二个人无论说一个或两个数，先报数者都与第二个人说的数凑成3个数，这样进行下去…，最后剩下的数是30，31，32．第二个人无论再说一个或两个数，先报数者一定能抢到32．

【规范解答】解：先报数者首先报两个数1，2，然后第二个人接着无论说一个或两个数，先报数者都与第二个人说的数凑成3个数，如此循环，最后剩下的三个数是30，31，32．第二个人无论再说一个或两个数，先报数者一定能抢到32得胜．

故选：A．

【考点评析】解此题的策略是最终剩下的数是3个数是先报数者得胜，如果剩下4个数，后报数者得胜．

2．（2分）一把钥匙只能开一把锁，现有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，问最多试（　　）次能将所有的锁都找到相对应的钥匙．

A．4 B．6 C．16

【思路点拨】根据最不利原理原理，试开第一把锁，试了3把钥匙都没有打开，则第4把钥匙一定能打开；同理，还剩3把锁，最多要试2把钥匙，即试开2次打开；还剩2把锁，最多要试1把钥匙，即试开1次打开；最后剩一把锁，一把钥匙，开一次即能打开，所以一共要开：3+2+1＝6（次）．

【规范解答】解：3+2+1＝6（次）；

答：最多试6次能将所有的锁都找到相对应的钥匙．

故选：B．

【考点评析】完成本题要注意每试开一把锁都要根据最不利原理进行计数．

3．（2分）两个人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放，谁就获胜．那么先放着在（　　）处就必胜．

A．周长上 B．直径上 C．半径上 D．圆心上

【思路点拨】我们用对称的思想来分析一下．圆是关于圆心对称的图形，若A是圆内除圆心外的任意一点，则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（其中AO＝OB）如图：

所以，圆内除圆心外，任意一点都有一个（关于圆心的）对称点．假设这两个人一个是甲，一个是乙，由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币．也就是说，只要乙能放，甲就一定能放．最后无处可放硬币的必是乙．

【规范解答】解：假设这两个人一个是甲，一个是乙；甲的获胜策略是：

把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币．

答：如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币，这样才能取胜．

故选：D．

【考点评析】此题较难，应利用对称思想获胜，对称思想获胜策略体现出了一种机智，而这种机智来源于数学思想，应灵活运用数学知识解决问题．

4．（2分）一种电脑小游戏，玩1局要5分钟，可以单人玩，也可以双人玩。明明和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要（　　）分钟。

A．10 B．15 C．20

【思路点拨】要求明明和爸爸、妈妈三人每人都玩2局，至少要多少分钟，则三个人两两双人玩，只需3局：爸爸和妈妈、妈妈和明明、爸爸和明明，即可得解。

【规范解答】解：三个人两两双人玩，只需3局，

5×3＝15（分钟）

答：至少要15分钟。

故选：B。

【考点评析】统筹安排时间，要兼顾使事情能够顺利完成，本题关键是理解每人都想玩2局，只有双人玩时间的总和最少。

5．（2分）一把钥匙只能打开一把锁，现在有6把钥匙．但不知哪把钥匙开哪把锁．最多要（　　）次才能打开所有的锁．

A．25 B．21 C．5

【思路点拨】次数最多，则假设每次试开锁都到最后一把锁才能打开，第一把锁要用5次才能保证找到正确的钥匙，第2把锁要4次，第3把锁要3次，第4把锁要2次，剩下最后1把需要1次，把所有次数都加起来，再加上6即可求解．

【规范解答】解：根据题意及运气最坏原理可知，最多要试：

5+4+3+2+1+6＝21（次），

答：最多要21次才能打开所有的锁．

故选：B。

【考点评析】完成本题要注意每试开一把锁都要根据最坏原理进行计数．解决此题的关键在于要考虑最坏情况，每次试开锁都到最后一把锁才能打开，用运用类推的方法解答问题．

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

6．（2分）有240人去春游，想准备一些饮料，商店“优惠告示”写着本店饮料，6只空瓶可换一瓶饮料，240人至少买　200　瓶饮料，就能保证每人都喝一瓶．

【思路点拨】6只空瓶可换一瓶饮料，就是说花6瓶的钱可以喝到7瓶饮料，还余出1个瓶子，凑够6个空瓶还可以再换1瓶饮料，就尽量的让剩下的空瓶都利用．

【规范解答】解：240÷7＝34…2，

34×6＝204（瓶），

花204瓶的钱，可喝到的瓶数为：204+204÷6＝238（瓶），剩下204÷6＝34个空瓶，此法浪费，

花203瓶的钱，可喝到的瓶数为：203+203÷6＝236（瓶），剩下203÷6+5＝38个空瓶，

38个空瓶再换6瓶饮料，还剩8个空瓶，此法浪费

花202瓶的钱，可喝到的瓶数为：202+202÷6＝235（瓶），剩下202÷6+4＝37个空瓶，

37个空瓶再换6瓶饮料，还剩7个空瓶，此法浪费，

花201瓶的钱，可喝到的瓶数为：201+201÷6＝234（瓶），剩下201÷6+3＝36个空瓶，

36个空瓶再换6瓶饮料，还剩6个空瓶，此法浪费；

花200瓶的钱，可喝到的瓶数为：200+200÷6＝233（瓶），剩下200÷6+2＝35个空瓶，

35个空瓶再换5瓶饮料，共计还剩10个空瓶，先拿6个空瓶换1瓶，喝完后再与其它的4个空瓶合计是5个空瓶，

如果能够赊一瓶饮料，喝完后与那5个空瓶共计6个空瓶，正好抵挡刚才赊的那瓶饮料，

所以买200瓶饮料，一个空瓶都不剩．

答：240人至少买200瓶就可以了．

故答案为：200．

【考点评析】本题的关键是空瓶的再次利用，让最后剩下的空瓶越少越好．

7．（2分）两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁报数后和是20，谁就获胜。如果让你先报数，为了确保获胜，你第一次应该报 　2　；接下来应该报前面数与 　3　的差。

【思路点拨】因为20÷（1+2）＝6……2，所以，先报的一定要报2，然后每次报的数始终都与另一人的和是3，一定会赢。

【规范解答】解：先报数的人第一次一定要报2，和还剩20﹣2＝18，18是3的倍数，

所以，以后每次报的数始终都与另一人报的数的和是3，

最后一次总是先报数的人，

所以只要这样做先报数的人一定会赢。

答：你第一次应该报2；接下来应该报前面数与3的差。

故答案为：2，3。

【考点评析】本题关键根据余数确定先先报的数，以后每次报的数始终都与另一人报的数的和是3，一定会赢。

8．（2分）两个人做移火柴棍游戏．比赛规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至5根火柴，但不可以不取，直到移完为止，谁最后移走火柴就算谁赢．如果开始有55根火柴，首先移火柴的人在第一次移走　1　根时才能在游戏中保证获胜．

【思路点拨】根据游戏规则，先移火柴的人要想获胜，要设法最后只留下6根给对方，55﹣6＝49，因此他应移走第49根才能获胜．同理为了移走第49根他必须移走第43根，依此类推他应移走第37根、第31根、第25根、…，这些数除以6余数均为1，因此首先移火柴的人在第1次应该移走1根，以后游戏过程中他只要保证两人每次共移走6根，就必能在游戏中获胜．

【规范解答】解：根据游戏规则，先移火柴的人要想获胜，要设法最后只留下6根给对方，

55÷6＝9（次）……1（根）

答：首先移火柴的人在第1次应该移走1根，以后游戏过程中他只要保证两人每次共移走6根，就必能在游戏中获胜．

故答案为：1

【考点评析】本题主要考查最佳策略问题，关键根据比赛规则找到要保证获胜，最后需要给对手留几根火柴，然后根据需要求出剩余的根数，就是第一次取的根数．

9．（2分）桌上有8根木棒，现小明和小刚玩一个游戏，每个人只能抽取1或2根木棒，最后抽完的人胜利，小明先抽，为了让自己一定取得胜利，则小明第一次先抽取 　2　根。

【思路点拨】只要把小棒总数除以二人每次取的小棒的和，如果没有余数，就让对方先拿。有余数，就自己先拿，而小明先拿，并一定取得胜利，即先取余数，接着小刚取n，自己拿的根数和小明拿的根数合起来是3，则小明保证能获胜。

【规范解答】解：由题可得：8÷（2+1）＝2…2；

有余数，则让小明先取，取2根，接着小刚取n，小明就取（3﹣n）根即可获胜。

故答案为：2。

【考点评析】本题的关键是让小明先拿，接着小刚取n，小明就取（3﹣n）根即可获胜。

10．（2分）甲、乙二人做报数游戏，规定：A，按顺序从1开始报数，每次最少报一个数，最多报两个数；B，后一人接着前一个人的数往后报；C，谁先报出25谁赢；D，甲先乙后，甲乙都很聪明，结果是　甲赢乙输　．

【思路点拨】因为每次最少报一个数，最多报两个数，所以后面报数的人只要报的数的个数和是3，那么24是3的倍数，所以第一次只要报一个数1，那么无论第二个怎么报，第一次报数的人一定赢．

【规范解答】解：①甲先报数：报1

25﹣1＝24

②那么乙要么报2，要么报2和3，如果乙报2，那么甲报3和4；如果乙报2和3，甲就报4；

因为24是3的倍数，甲报完数字1后还剩下24个数，只要甲从第二次开始报数的个数与乙报数的个数和是3，那么甲一定赢．

故答案为：甲赢乙输．

【考点评析】此题属于数字问题，考查了数字的倍数等有关知识．

11．（2分）小军和小红做游戏，桌上放着14枚棋子，两人轮流取走1枚或2枚，谁拿到最后一枚谁就获胜．如果小军先取　2　枚有必胜的策略．

【思路点拨】两人轮流取走1枚或2枚，即每轮最多拿3枚，14÷3＝4（轮）…2（枚），所以如果小军先取要想取胜，需要先拿2枚，剩下的如果小红拿1枚，小军就拿2枚，若小红拿2枚，小军就拿1枚，即始终保持每一轮两个人拿走的枚数和是3，即可保证小军必胜．

【规范解答】解：1+2＝3（枚）

14÷3＝4（轮）…2（枚）

答：如果小军先取2枚有必胜的策略．

故答案为：2．

【考点评析】此题考查的知识点是推理与论证，解答此题需要逆向思维，最后一轮剩下3枚，无论小红拿1或2枚，总有小军的最后1枚或2枚，小军必胜．

12．（2分）有26个不同国家的集邮爱好者，想通过互相通信的方法交换各国最新发行的纪念邮票，为了使这26人每人都拥有这26个国家的一套最新纪念邮票，他们至少要通　50　封信。

【思路点拨】每个人都需要送出25张邮票，也要收到25张邮票，将送出和收到都一次性完成，他们所需要的通信的次数最少，因此，其中25个人留下一张自己的邮票后，全部邮寄给第26个人，第26个人，再根据其他25人需要的邮票邮寄回去即可。

【规范解答】解：（26﹣1）×2

＝25×2

＝50（次）

答：他们至少要通50封信。

故答案为：50。

【考点评析】本题主要考查了最佳对策问题，每人的需要和送出的数量是一定的，尽量减少邮寄出去的次数就可以减少通信的总次数。

13．（2分）两人做一种游戏：轮流报数，报出的数只能是1，2，3，4，5，6，7，8．把两人报出的数连加起来，谁报数后，加起来的数是123，谁就获胜，让你先报，就一定会赢，那么你第一个数报　6　．

【思路点拨】因为123÷9＝13…6，报出的数只能是1，2，3，4，5，6，7，8．不论对方报什么数，你总是可以做到两人所报数之和为9．那就得你第一个数报6以后，对方报数后，你再报数，使一轮中两人报的数和为9，最后相加的和是123，由此解决问题．

【规范解答】解：对方至少要报数1，至多报数8，不论对方报什么数，你总是可以做到两人所报数之和为9．

123÷9＝13…6．

你第一次报数6．

以后，对方报数后，你再报数，使一轮中两人报的数和为9，你就能在13轮后达到123．

答：第一个数报6．

故答案为：6．

【考点评析】此题关键是明白对方至少要报数1，至多报数8，不论对方报什么数，你总是可以做到两人所报数之和为9；123不是9的倍数，除以9得到余数，由此探讨找到结论．

三．应用题（共15小题，满分74分）

14．（4分）水果店有苹果90千克，如果大小分开卖，大苹果每千克4元，小苹果每千克的售价是大苹果的，如果混合着卖每千克元．如果你是店主，你打算怎么卖？

【思路点拨】先计算全部混合卖，一共可以卖多少钱：90×＝315（元），现在考虑当大苹果有多少千克时分开卖的总价等于混合卖的价格．

【规范解答】解：设大苹果有x千克，小苹果有（90﹣x）千克．

4x+（90﹣x）×4×＝90×

   4x+270﹣3x＝315

                x＝315﹣270

                x＝45

答：当大苹果有45千克，小苹果有45千克时分开卖与混合卖收入一样，当大苹果超过45千克时分开卖收入更高，当大苹果小于45千克时混合卖收入更高．

【考点评析】先找到分开卖与混合卖收入相等时两种苹果的各自重量是解题的关键．

15．（5分）小猿和车甫正在玩一个卡片游戏。桌上一共有21张卡片，上面分别写着1～21，并且按顺序排成了一行。从小猿开始，每人轮流拿走3张卡片，要求拿走的3张卡片上的数必须是连续的3个数，谁先无法按照规则拿走卡片或无卡片可以拿谁输。请你帮小猿想一个必胜的方法。（卡片不能旋转）

【思路点拨】让小猿必胜，就是要控制从这21张卡片中只能按规则拿出奇数次，5张连续的卡片只能拿1次，8张连续的卡片必然拿2次，13张连续的卡片最少能拿3次，据此可以设计让小猿必胜的方案。

【规范解答】解：小猿第一次拿走6、7、8，把卡片分为前面连续的5张，后面连续的13张；第二次轮到小猿拿时，因为13和17之间有3张卡片，在后面连续的13张中小猿必然能拿到11、12、13或17、18、19，这13张中剩下的10张被分为连续的2张和连续的8张，做到以上两点，无论车甫怎么拿，连续的8张必然拿2次，1～5必然拿一次，21张卡片拿出5次连续的3张后就不能再拿出连续的3张，小猿必胜。（答案不唯一）

【考点评析】解答此题的关键在于如何控制21卡片拿出连续3张的次数必然为奇数次。

16．（5分）前面有一条河，假设人只能骑牛过河，共有A、B、C、D头牛，A牛过河要2分钟，B牛过河要3分钟，C牛过河要4分钟，D牛过河要7分钟，每次只能赶两头牛过河，人要把4头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？

【思路点拨】根据题意，A和B先送到对岸，需3分钟，然后骑A回来2分钟；C和D送过河，需7分钟，骑B回来；A和B再过河，需3分钟，据此解答。

【规范解答】解：A和B先送到对岸，需3分钟，然后骑A回来2分钟；C和D送过河，需7分钟，骑B回来；A和B再过河，需3分钟，

3+2+7+3+3＝18（分钟）

答：最少要18分钟。

【考点评析】本题主要考查最佳对策问题，关键找到正确的组合一起过河。

17．（5分）在一堆棋子（22枚）中，两个人轮流取，一次可以取2枚或3枚棋子，不能不取，或多取，取到最后一枚棋子的为胜利者．第一个取的人应采取怎样的策略，才能保证自己胜利？

【思路点拨】因为每人每次可取2枚或3枚棋子，所以只要第一个人先拿2枚，另一个人就只能拿3枚，如果先取3枚，剩下的就取2枚，反正第一个人先拿走后和另一个人再拿的枚数和起来是5，则保证甲获胜．

【规范解答】解：第一次取的时候直接取2枚，以后对方取2枚我方就取3枚；

对方取3枚我方就取2枚，这样就一定能保证自己胜利．

【考点评析】关键是保证第一个人先拿走后和另一个人再拿的枚数和起来是5．

18．（5分）两人轮流报数，每次只能报1或3，把两人报的数加起来．

（1）谁报数后和是33，谁就获胜．想一想：为了确保获胜，你应该先报还是后报？应该怎样报？

（2）谁报数后和是44，谁就获胜，如果让你先报，你能保证一定获胜吗？为什么？

【思路点拨】（1）3+1＝4，33÷4＝8……1，所以我应该先报1，然后每次保证他和我报的数和是4即可；

（2）44÷4＝11，没有余数，所以如果我先报，无论报1或者3，只要对方报的数和我报的数和为4，对方一定会获胜。

【规范解答】解：（1）3+1＝4

33÷4＝8……1

所以我应该先报1，然后每次保证他和我报的数和是4即可；

（2）44÷4＝11，没有余数，

所以如果我先报，无论报1或者3，只要对方报的数和我报的数和为4，对方一定会获胜。

所以，不能保证一定获胜。

【考点评析】本题主要考查了最佳对策问题，用目标数除以每次报数的和，看是否有余数来判断先报还是后报，是本题解题的关键。

19．（5分）有一个3×3的棋盘方格和9张大小与一个小方格相同的卡片，在每一张卡片上写着1～9中的一个数。甲、乙两人做游戏，轮流选取一张卡片放到9格中的一格，对甲计算上、下两行6个数字的和，对乙计算左、右两列（竖行）6个数字的和，和数大者为胜。试说明若甲先选卡片放，则甲有必胜的策略。

【思路点拨】左右上方4个数字是双方共用的，无论取什么都一样，不做考虑，所以甲要有必胜的策略，先从中间一格制定策略。

【规范解答】解：因为甲、乙的6个数字和中四角上的数字是相同的，故甲只需保证第1、3行中间的数字和比乙第1、3列中间的数字和大即可。

为此，甲先取9放在第1行中间一格，如果乙第1次取数不放在第3行中间一格，则甲可取7、8之一放到第3行中间一格，甲必胜；

如果乙第1次取放在第3行中间一格，则甲可取剩下7个数中最大者放到第2列中间一格，然后，甲第3次再取剩下数中最小者放到第1或第3列中间。这样甲必胜。

【考点评析】本题是一道有关最佳对策问题的题目；关键是从中间一格制定策略。

20．（5分）有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者．如果甲先取，那么谁有必胜策略？如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜策略？

【思路点拨】①通过分析可知，因为每人每次可取1枚、2枚或3枚，所以只要甲先拿，甲无论是拿1枚、2枚还是3枚，乙再拿时，拿的枚数和甲的枚数合起来是4，则保证乙获胜；据此解答即可。

②因为1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，2，3，4都是12的因数，只要甲总是取一枚，无论乙怎么取，最后一枚一定是乙取的，所以甲必胜；据此解答即可。

【规范解答】解：①因为，12÷4＝3，没有余数，

所以只要甲先拿，甲无论是拿1枚、2枚还是3枚，乙再拿时，拿的枚数和甲的枚数合起来是4，则保证乙获胜。

②因为1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，

而2，3，4都是12的因数，只要甲总是取一枚，无论乙怎么取，最后一枚一定是乙取的，所以甲必胜。

【考点评析】如何制定最佳策略，要根据具体的“对策现象”来分析；一般来说，要结合余数问题来选择制胜策略。

21．（5分）羊羊运动会上，绵羊家族和山羊家族各派3名乒乓球选手进行比赛，共打三场，3场2胜即为赢．如果你是绵羊家族的领队，你将怎么安排本队的3名选手与对方对阵，才有可能赢得比赛？

【思路点拨】可用“田忌赛马”的方法进行安排选手，即是用上对中，中对下，下对上．进行比赛．据此解答．

【规范解答】解：如果我是绵羊的领队，我将做如下安排：

（1）用我队第一名的选手和对方第二名的选手对阵，胜．

（2）用我队第二名的选手和对方第三名的选手对阵，胜．

（3）用我队第三名的选手和对方第一名的选手对阵，负．

三场比赛可赢得二场，我方可获胜．

【考点评析】本题的关键是要想赢得胜利，就必须做到2胜，要想2胜，用我队的第一名和对方的第一名比试获胜的机率不大，所以可采用“田忌赛马”的方法来安排比赛．

22．（5分）有四个人夜间过一座独木桥，他们只有一只手电筒．而这座独木桥一次最多允许两人同时通过，而过桥的时候必须持有手电筒，所以就得有人把手电筒带来带去．两人同行时以较慢者的速度为准，四人过桥时间分别是1分、2分、5分和10分．他们四人过完桥最少需要　17　分钟．

【思路点拨】根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送手电筒会节省时间，进而分别分析得出即可．

【规范解答】解：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送手电筒会节省时间，

故：（1）1分钟的和2分钟的先过桥（此时耗时2分钟）．

（2）1分钟的回来，（此时共耗时3分钟）．

（3）5分钟的和10分钟的过桥（共耗时2+1+10＝13分钟）．

（4）2分钟的回来（共耗时2+1+10+2＝15分钟）．

（5）1分钟的和2分钟的过桥（共耗时2+1+10+2+2＝17分钟）．

此时全部过桥，共耗时17分钟．

故答案为：17．

【考点评析】此题主要考查了应用类问题，结合实际发现用时最少的两人先过桥往返送手电筒会节省时间是解题关键．

23．（5分）有分别装7根和10根的两盒火柴，甲、乙两人轮流在某一盒中任取，但不能同时在两盒中都取，也不能不取，规定取到最后火柴者为胜．问甲先取时是否有必胜的策略？（请你写出取胜的策略）

【思路点拨】由题意可知，两盒火柴相差3根，若甲先取，则先在10根里取3根，结果造成两盒都是7根，然后乙取几，则甲跟着在另一盒中取相同的数目的火柴，则甲必胜；据此解答．

【规范解答】解：10﹣7＝3（根），

由于两盒火柴相差3根，若甲先取，则先在10根里取3根，结果造成两盒都是7根，

然后乙取几，则甲跟着在另一盒中取相同的数目的火柴，则甲必胜．

【考点评析】关键是先取的一方取出两盒火柴相差的根数，然后，对方取几就跟着取几即可．

24．（5分）甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，谁的棋子中有3枚连成一条线（横、竖、斜均可），谁就获胜．如果甲首先占据了中间位置，乙要想不败，第1枚棋子应该放在哪里？

【思路点拨】除了中间位置，乙能放的位置有两种：顶点位置和边中间位置，若乙放在边中间位置，则甲第二步放在顶点位置，乙只能放在甲放位置的对角位置，甲第三步再放到另一个顶点位置，则乙无论放在哪里，甲必胜，所以，乙要想不败，第一枚棋子只能放在顶点的位置，据此解答。

【规范解答】解：除了中间位置，乙能放的位置有两种：顶点位置和边中间位置，

若乙放在边中间位置，则甲第二步放在顶点位置，乙只能放在甲放位置的对角位置，甲第三步再放到另一个顶点位置，则乙无论放在哪里，甲必胜，

所以，乙要想不败，第一枚棋子只能放在顶点的位置，

答：乙第一枚棋子应该放在顶点位置。

【考点评析】本题主要考查了最佳对策问题，采用排除法，找出甲必胜的方案排除即可。

25．（5分）一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数2，3，4，…，2007，2008，一名裁判现在随意擦去其中的一个数，然后由小聪和小明轮流擦去其中的一个数（即小明先擦去一个数，小聪再擦去一个数，如此下去），若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜．问：小聪和小明谁有必胜策略？说明理由．

【思路点拨】先求出2，3，4，…，2008中有1003个奇数，有1004个偶数，再分裁判擦去的数是奇数或偶数两种情况讨论，①若裁判擦去的是奇数，则小明不管小聪擦什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后两个数一定都是偶数；②若裁判擦去的数是2m，设裁判擦去的数是偶数，则将所剩的数配成1003对，再进行解答．

【规范解答】解：他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数．注意到2，3，4，…，2008中有1003个奇数，有1004个偶数．

①若裁判擦去的是奇数，不管小聪擦什么数，只要还有奇数，小明就擦去奇数，这样最后两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，小明获胜．

②若裁判擦去的数是2m，则所剩的数配成1003对：（2，3），…，（2m﹣2，2m﹣1），（2m+1，2m+2），…，（2007，2008），不管小明擦哪一个数，小聪就擦 所配数对中的另一个数，这样最后剩下的两数必然互质，小聪一定获胜．

【考点评析】本题考查的是奇数与偶数，质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想进行解答是解答此题的关键

26．（5分）120名小六学生选举学生代表，每人可投一票，候选人只有甲、乙两人．在已点选的100票中，甲得45票，乙得35票，其余弃权．甲最少还需要多少张选票才确保他一定当选﹖

【思路点拨】根据题意，还剩120﹣100＝20张，甲比乙多45﹣35＝10张．如果20张中，甲得5张，那么乙得15张，与甲的票数持平．如果20张中甲得6张，那么乙至多得14张，甲比乙多10+6﹣14＝2张，所以甲再得6张即可当选．据此解答．

【规范解答】解：还剩：120﹣100＝20（张），

甲比乙多：45﹣35＝10（张）．

如果20张中，甲得5张，那么乙得15张，与甲的票数持平．

如果20张中甲得6张，那么乙至多得14张，

甲比乙多：10+6﹣14＝2（张），

答：甲最少还需要6张选票才确保他一定当选．

【考点评析】此题属于逻辑推理题，找准解决问题的关键点，并由此进行推理，解决问题．

27．（5分）桌子上有8枚棋子，甲乙二人轮流拿棋子．规定先拿的只要不都拿走，拿几枚都成，后拿者不能多于先拿的2倍，如此进行下去，谁拿最后一枚棋子谁就算胜利．请你回答，怎样拿必然取胜，为什么？

【思路点拨】通过读题可知只要后拿就能赢．先拿1枚，后就拿2枚；先拿2枚，后就拿1枚．

【规范解答】解：后拿的能取胜．

①根据题意，先拿的肯定不会在第一次取3枚或4枚或5枚或6枚或7枚，；

②先拿的若取2枚，后拿的可以选择1～4枚，后拿一定选择1枚，因为选择2、3、4都会使得先拿的能一次性取完．当后拿的选1后，只剩5枚棋子，先拿的只能在1～2选，先拿若选了2，则后拿马上取胜，所以只能选1，这时又轮到后拿的，只剩4枚棋子，只能在1～2选，选1，又轮到先选的，在剩下的3枚棋子无论怎么选都会剩，使得后拿赢；

③若先拿的拿1，后拿的可以选择（1，2），后拿一定选择2枚，这样就会使得桌面又剩5枚棋子，先拿的无法全部拿走，因为最多只能拿4枚，面临与上述重复的情形，最后使得后拿剩；

综上，先拿的若取1枚，后拿的取2枚；先拿的若取2枚，后拿的取1枚．后拿者就能获胜．

故答案为：后拿胜．

【考点评析】分为先拿的拿1或2讨论可得结果．

28．（5分）向阳玩具厂有女工50名，平均每人每天做玩具20件；有男工20名，平均每人每天做玩具25件．该厂接到订货6000件的单，并要求三天之内交货．可是厂里没有现货，按照这样的情况，你能给厂长出点主意吗？

【思路点拨】读题明白，厂里现有员工，三天是完不成6000件订货的．那只能想最直接最现实的办法，谈判拖延一天，同时，员工生产着，一天谈判下来，可能没有结果，但是我们已经工作1天了，刚好1500件，再加上三天期限生产的就够了．

【规范解答】解：一天谈判下来，可能没有结果，但是我们已经工作1天了，生产了：50×20+20×25＝1500（件），

这时三天内交货，又有3天加工了：1500×3＝4500（件），

共生产：1500+4500＝6000（件）．

答：正好6000件，完成任务．

故我的办法是：谈判拖延一天，同时，员工生产着．

【考点评析】此题条件告诉我们，以他们人力能力，三天是完不成的，那只能想计策，智取