专题02 加减法的巧算 2022-2023学年三年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义

专题02 加减法的巧算

专题简析：

在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看作所接近的数进行简算。

进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千…相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。

另外，可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。

【典例分析01】计算下面各题。

（1）396＋55    （2）427＋1008

（3）456－298   （4）582－305

思路导航：（1）中396接近于400，396＋55可以看成400＋55，多加了4，所以还要减4；

（2）中1008接近于1000，427＋1008变成427＋1000，少加了8，所以还要加8；

（3）中298接近于300，456－298变成了456－300，多减了2，所以还要加2；

（4）中305接近于300，582－305变成了582－300，少减了5，所以还要减5。

【典例分析02】你有好办法迅速计算出结果吗？

（1）502＋799―298―97    （2）9999＋999＋99＋9

思路导航：（1）是一道加减混合运算，每个数都接近于整百数，计算时可先把这些数拆成两部分，再把整百数与整百数相加减，“零头数”与“零头数”相加减，最后把两个部分数合起来；

（2）这四个数都分别接近于整万、整千、整百、整十数，我们可以把9999看作10000，999看作1000，99看作100，9看作10，这样每个数都多了1，最后再从它们的和中减去4个1，即可得出结果。

【典例分析03】计算：

（1）487＋321＋113＋479    （2）723－251＋177

（3）872＋284―272         （4）537―142―58

思路导航：（1）487和113，321和479，分别可以凑成整百数，我们可以通过交换位置的方法，487＋113得到600，321＋479得到800，然后600＋800=1400。

（2）723与177可凑成整百数，因而用723＋177得到900，900再减251，得数是649。

（3）可以先用872减272得到整百数是600，再用600加上284得数是884。

（4）537连续减142和58，而142和58正好可以凑成整百数200，再用537减去200，得到337

【典例分析04】计算下面各题：

（1）321＋（279―155）

（2）372―（54＋72）

（3）432―（154―68）

思路导航：（1）321加上279与155的差，可去括号转化为321＋279－155，这里321和279可凑成整百数600，再用600－155得到445。

（2）372减54与72的和，利用减法的性质可以转化为372连续减54和72，即372－54－72，而372减72可得到整百数，因而先用372－72得到300，再减54得到246。

（3）中432减154与68的差，可去括号转化为432－154＋68，因为432与68可凑成整百数，因而先用432＋68=500，再用500－154=346。

【典例分析05】计算：1000―81―19―82―18―83―17―84―16―85―15―86―14―87―13―88―12―89―11

思路导航：这道题看似复杂，但仔细观察便可发现，用凑整的方法进行计算就比较方便，这里18个减数可两两凑成100，合起来为9个100，然后再用1000减去900得100。

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）计算20+19﹣18﹣17+16+15﹣14﹣13+12+11﹣10﹣9+8+7﹣6﹣5+4+3﹣2﹣1的结果是（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21

【思路点拨】根据加法结合律可得20+19﹣18﹣17＝4，16+15﹣14﹣13＝4，12+11﹣10﹣9＝4，8+7﹣6﹣5＝4，4+3﹣2﹣1＝4，共有5个4相加，即4×5＝20，据此解答．20+19﹣18﹣17+16+15﹣14﹣13+12+11﹣10﹣9+8+7﹣6﹣5+4+3﹣2﹣1

【规范解答】解：20+19﹣18﹣17+16+15﹣14﹣13+12+11﹣10﹣9+8+7﹣6﹣5+4+3﹣2﹣1

＝（20+19﹣18﹣17）+（16+15﹣14﹣13）+（12+11﹣10﹣9）+（8+7﹣6﹣5）+（4+3﹣2﹣1）

＝4+4+4+4+4

＝4×5

＝20．

故选：C。

【考点评析】考查了运算定律与简便运算，灵活运用所学的运算定律进行简便计算．

2．（2分）33+34+35+36+37+38+39+40+41＝（　　）

A．38×9 B．36×9 C．37×9 D．35×9

【思路点拨】33+34+35+36+37+38+39+40+41是连续的9个自然数的和，应该是等于这9个数字中最中间的数乘9，由此求解。

【规范解答】解：33+34+35+36+37+38+39+40+41，这9个加数中最中间的数是37，所以：

33+34+35+36+37+38+39+40+41＝37×9。

故选：C。

【考点评析】解决本题关键是明确几个（单数个）连续的自然数的和，就是这几个数中最中间的数乘加数的个数。

3．（2分）下列与1+3+5+7+9+11+7+5+3+1结果相等的算式是（　　）

A．62+42 B．52 C．102 D．62﹣42

【思路点拨】1+3+5+7+9+11+7+5+3+1根据加法结合律分段计算，（1+3+5+7+9+11）+（7+5+3+1）＝36+16，36＝62，16＝42，这样这个算式就等于62+42。

【规范解答】解：1+3+5+7+9+11+7+5+3+1

＝（1+3+5+7+9+11）+（7+5+3+1）

＝36+16

＝62+42

故选：A。

【考点评析】一眼即可看出这个算式的和不可能等于52，更不可能是62﹣42，根据排除法，有可能是62+42，看能不能把这个加法算式分段计算，一段是62＝36，一段是42＝16。

4．（2分）119+120+121+122+123+124+125＝122×（　　）

A．7 B．4 C．3

【思路点拨】根据题意，算式119+120+121+122+123+124+125中，加数依次加1，可以应用高斯求和的公式解答。

【规范解答】解：119+120+121+122+123+124+125

＝（119+125）×7÷2

＝122×7

＝854

故选：A。

【考点评析】本题考查了“式”的规律，本题的关键是认真观察找出规律再进行解答。

5．（2分）两个数的积，比它们的和（　　）

A．大 B．小 C．无法确定

【思路点拨】根据乘法的意义，加法的意义和整数的大小比较方法进行解答．

【规范解答】解：例如3×0＜3+0；

2×2＝2+2；

2×3＞2+3．

故无法确定两个数的积与它们的和之间的大小关系．

故选：C．

【考点评析】此题的解答关键是通过举例得到结论．

二．填空题（共9小题，满分20分）

6．（2分）10﹣9+8﹣7+6﹣5+4﹣3+2﹣1＝　5　．

【思路点拨】根据加减法的运算性质，将原式转化为：10+8+6+4+2﹣（9+7+5+3+1），据此解答即可．

【规范解答】解：10﹣9+8﹣7+6﹣5+4﹣3+2﹣1

＝10+8+6+4+2﹣（9+7+5+3+1）

＝30﹣25

＝5．

故答案为：5．

【考点评析】此题考查的目的是理解掌握加减法的运算性质及应用．

7．（2分）计算：7999999+799999+79999+7999+799+79＝　8888874　．

【思路点拨】首先分别把7999999、799999、79999、7999、799、79化成8000000﹣1，800000﹣1，80000﹣1，8000﹣1，800﹣1，80﹣1，然后再计算即可．

【规范解答】解：7999999+799999+79999+7999+799+79

＝（8000000﹣1）+（800000﹣1）+（80000﹣1）+（8000﹣1）+（800﹣1）+（80﹣1）

＝8000000+800000+80000+8000+800+80﹣6

＝8888880﹣6

＝8888874

故答案为：8888874．

【考点评析】此题主要考查了加减法中的巧算，解答此题的关键是把每个加数化成整十数、整百数、整千数、…减去1的形式．

8．（2分）计算：200﹣198+196﹣194+192﹣190+…+4﹣2＝　100　．

【思路点拨】根据200﹣198＝196﹣194＝192﹣190＝…＝4﹣2＝2，求出算式的结果是多少即可．

【规范解答】解：因为200﹣198＝196﹣194＝192﹣190＝…＝4﹣2＝2，

所以200﹣198+196﹣194+192﹣190+…+4﹣2

＝2×（100÷2）

＝2×50

＝100

故答案为：100．

【考点评析】此题主要考查了加减法中的巧算，解答此题的关键是判断出：200﹣198＝196﹣194＝192﹣190＝…＝4﹣2＝2．

9．（2分）12+13+14+15+16＝　14　×5．

【思路点拨】由于这几个数是连续的自然数，所以可以用中间的数即中位数乘自然数的个数进行巧算．

【规范解答】解：12、13、14、15、16的中位数是14，

所以12+13+14+15+16＝14×5．

故答案为：14．

【考点评析】此题考查加法的巧算，连续自然数的和可以用中位数乘数的个数进行巧算即可．

10．（3分）103+105+107+109+111+113+115＝　109　×　7　＝　763　．

【思路点拨】103＝109﹣6，115＝109+6，105＝109﹣4，113＝109+4，107＝109﹣2，111＝109+2，这样结合，共有7个109相加，即109×7．

【规范解答】解：103+105+107+109+111+113+115

＝（109﹣6）+（109﹣4）+（109﹣2）+109+（109+2）+（109+4）+（109+6）

＝（109﹣6+109+6）+（109﹣4+109+4）+（109﹣2+109+2）+109

＝109+109+109+109+109+109+109

＝109×7

＝763．

故答案为：109，7，763．

【考点评析】奇数个连续的自然数相加，等于最中间的那个自然数乘上相加的个数．

11．（2分）118+119+120+121+122+123+124＝　847　．

【思路点拨】运用加法的交换律、交换律进行简算即可．

【规范解答】解：118+119+120+121+122+123+124

＝（118+124）+（119+123）+（120+122）+121

＝242+242+242+121

＝242×3+121

＝726+121

＝847；

故答案为：847．

【考点评析】完成本题要注意分析式中数据，运用合适的简便方法计算．

12．（3分）在得数小的算式后面打“√”，得数大的后面打×，简要说明理由。

1+3+5+7+9+11+13 　×　。

0×3×5×7×9×11 　√　。

理由是 　0＜49　。

【思路点拨】分别算出两个算式的值，再比较大小即可。

【规范解答】解：1+3+5+7+9+11+13

＝14×3+7

＝42+7

＝49

0×3×5×7×9×11＝0

所以1+3+5+7+9+11+13（×）。

0×3×5×7×9×11（√）。

理由是0＜49。

故答案为：×；√；0＜49。

【考点评析】分别算出两个算式的值，是解答此题的关键。

13．（2分）在横线里填上正确的数。

983+984+985+986+987+988+989+990+991

＝9×　987　

＝　8883　

【思路点拨】根据算式可得，983比987少4，而991比987多4，所以983+991＝987×2，同理984+990＝987×2、985+989＝987×2……以此类推，进一步解答即可。

【规范解答】983+984+985+986+987+988+989+990+991

＝（983+991）+（984+990）+（985+989）+（986+988）+987

＝987×2+987×2+987×2+987×2+987

＝987×（2+2+2+2+1）

＝987×9

＝8883

故答案为：987；8883。

【考点评析】连续奇数几个自然数相加，可以用中间的那一个数乘加数的个数即可。

14．（2分）计算。

40+41+42+……+61＝　1111　。

13575﹣12625＝　950　。

【思路点拨】①40+41+42+……+61，运用高斯求和公式：和＝（首项+末项）×项数÷2，项数＝末项﹣首项+1，据此简算；

②13575﹣12625，根据整数减法的计算法则直接计算即可。

【规范解答】解：①40+41+42+……+61

＝（40+61）×（61﹣40+1）÷2

＝101×22÷2

＝2222÷2

＝1111

②13575﹣12625＝950

故答案为：1111，950。

【考点评析】此题考查的目的是理解整数加法、减法的计算法则，并且能够灵活选择简算方法进行计算。

三．判断题（共3小题，满分6分，每小题2分）

15．（2分）0+1+2+3+4+5+6＝0×1×2×3×4×5。 　×　（判断对错）

【思路点拨】分别算出两个算式的值，再比较即可。

【规范解答】解：0+1+2+3+4+5+6＝21

0×1×2×3×4×5＝0

所以0+1+2+3+4+5+6≠0×1×2×3×4×5

所以题干说法是错误的。

故答案为：×。

【考点评析】分别算出两个算式的值，是解答此题的关键。

16．（2分）0+1+2+3+4+5+6+7+8+9＝0　×　．（判断对错）

【思路点拨】根据高斯公式计算即可求解，即（首数+尾数）×位数÷2，把数据代入计算公式进行计算．

【规范解答】解：0+1+2+3+4+5+6+7+8+9

＝（0+9）×5

＝9×5

＝45．

故答案为：×．

【考点评析】考查了整数的加法，注意灵活运用运算定律简便计算．

17．（2分）0+1+2+3+4+5+6+7+8+9＝0　×　（判断对错）

【思路点拨】根据高斯公式计算即可求解．

【规范解答】解：0+1+2+3+4+5+6+7+8+9

＝（0+9）×5

＝9×5

＝45．

故答案为：×．

【考点评析】考查了整数的加法，注意灵活运用运算定律简便计算．

四．计算题（共6小题，满分38分）

18．（8分）用简便方法计算

①1625﹣345﹣455

②398+47

③835﹣399

④1+2+3+4+5+6+7+8+9+10．

【思路点拨】①利用减法的性质简算；

②把398看作400，这样多加了2，再减去2即可；

③把399看作400，这样就多减了1，再加上1即可；

④根据加法交换与结合律，把（1+9），（2+8），（3+7），（4+6），进行交换结合都得到10，再加上5与10进行计算即可．

【规范解答】解：①1625﹣345﹣455

＝1625﹣（345+455）

＝1625﹣800

＝825

②398+47

＝400+47﹣2

＝447﹣2

＝445

③835﹣399

＝835﹣400+1

＝435+1

＝436

④1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

＝（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+5+10

＝10+10+10+10+5+10

＝55．

【考点评析】整数加减法的简便计算，一般是看作与它接近的整十数或整百数，多加要减，多减要加，能利用运算定律的要运用运算定律进行简算．

19．（10分）计算

（1）199999+19999+1999+199+19＝

（2）1991+8119+8009+1881＝

（3）125×34+125×66＝

（4）21×73+26×21+21＝

（5）9+99+999+9999+99999+999999+9999999+99999999+999999999＝

【思路点拨】（1）根据整数加法凑整法进行计算；

（2）根据加法交换律和结合律进行计算即可；

（3）根据乘法分配律进行计算即可；

（4）根据乘法分配律进行计算即可；

（5）可把原式变为：（10﹣1）+（100﹣1）+（1000﹣1）+（10000﹣1）+（100000﹣1）+（1000000﹣1）+（10000000﹣1）+（100000000﹣1）+（1000000000﹣1），再根据加法交换律和结合律进行计算即可．

【规范解答】解：（1）199999+19999+1999+199+19

＝（199999+1）+（19999+1）+（1999+1）+（199+1）+（19+1）﹣5

＝200000+20000+2000+200+20﹣5

＝222220﹣5

＝222215；

（2）1991+8119+8009+1881

＝（1991+8009）+（8119+1881）

＝10000+10000

＝20000；

（3）125×34+125×66

＝125×（34+66）

＝125×100

＝12500；

（4）21×73+26×21+21

＝21×（73+26+1）

＝21×100

＝2100；

（5）9+99+999+9999+99999+999999+9999999+99999999+999999999

＝（10﹣1）+（100﹣1）+（1000﹣1）+（10000﹣1）+（100000﹣1）+（1000000﹣1）+（10000000﹣1）+（100000000﹣1）+（1000000000﹣1）

＝10﹣1+100﹣1+1000﹣1+10000﹣1+100000﹣1+1000000﹣1+10000000﹣1+100000000﹣1+1000000000﹣1

＝（10+100+1000+10000+100000+1000000+10000000+100000000+1000000000）﹣9

＝1111111110﹣9

＝1111111101．

【考点评析】考查了加减法中的巧算，根据数据特点，选择合适的方法进行计算即可．

20．（8分）速算与巧算．

19999+1999+199+19  

565﹣（627﹣235）﹣73．

【思路点拨】（1）把19看作1+1+1+16，再根据加法交换律和结合律进行简算；

（2）根据减法的性质以及加法交换律和结合律进行简算．

【规范解答】解：（1）19999+1999+199+19

＝19999+1999+199+（1+1+1+16）

＝（19999+1）+（1999+1）+（199+1）+16

＝20000+2000+200+16

＝22216；

（2）565﹣（627﹣235）﹣73

＝565﹣627+235﹣73

＝（565+235）﹣（627+73）

＝800﹣700

＝100．

【考点评析】此题考查了简便运算，灵活运用运算技巧或运算定律进行简便计算．

21．（4分）计算：

（1）454+999×999+545

（2）999+998+997+996+1000+1004+1003+1002+1001．

【思路点拨】（1）根据加法交换律和结合律以及乘法分配律进行简算；

（2）根据加法交换律和结合律进行简算．

【规范解答】解：（1）454+999×999+545

＝（454+545）+999×999

＝999+999×999

＝999×（1+999）

＝999×1000

＝999000；

（2）999+998+997+996+1000+1004+1003+1002+1001

＝（999+1001）+（998+1002）+（997+1003）+（996+1004）+1000

＝2000+2000+2000+2000+1000

＝2000×4+1000

＝8000+1000

＝9000．

【考点评析】此题考查了简便运算，灵活运用运算技巧或运算定律进行简便计算．

22．（4分）用简便方法计算下列各题

702+799﹣298﹣99

400﹣99﹣1﹣98﹣2﹣97﹣3﹣96﹣4．

【思路点拨】（1）先算702﹣298，把减298看作减300，多减去2要再加上2，所以就是702﹣298＝702﹣300+2＝404，再算799﹣99＝700，最后算404+700．

（2）用减法的性质计算，a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）．

【规范解答】解：（1）702+799﹣298﹣99

＝702﹣300+2+（799﹣99）

＝404+700

＝1104

（2）400﹣99﹣1﹣98﹣2﹣97﹣3﹣96﹣4

＝400﹣（99+1）﹣（98+2）﹣（97+3）﹣（96+4）

＝400﹣100﹣100﹣100﹣100

＝0

【考点评析】本题考查了加减法的简便运算，灵活运用所学的运算律简便计算．

23．（4分）计算：1+11+21+31+…..+101+111．

【思路点拨】根据高斯求和公式进行计算即可．

【规范解答】解：1+11+21+31+…..+101+111

＝（1+111）×12÷2

＝112×12÷2

＝672．

【考点评析】考查了高斯求和公式，即（首项+末项）×项数÷2．

五．解答题（共6小题，满分26分）

24．（4分）计算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20．

【思路点拨】这是求2到20共10个双数之和，根据加法交换和结合律，用凑整法可以进行巧算．

【规范解答】解：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20，

＝（2+18）+（4+16）+（6+14）+（8+12）+20+10，

＝20+20+20+20+20+10，

＝20×5+10，

＝100+10，

＝110．

【考点评析】通过分析题目给出的数据，用凑整法能较快的算出结果．

25．（5分）在横线里填上正确的数。

983+984+985+986+987+988+989+990+991＝9×　987　＝　8883　

【思路点拨】以987为基准 向两侧看会发现986+988＝987﹣1+987+1＝2×987，同理985+989＝987﹣2+987+2＝2×987，984+990＝987﹣3+987+3＝2×987，983+991＝987﹣4+987+4＝2×987，加上原本的987，就是9倍的987，根据乘法的意义即可解答。

【规范解答】解：983+984+985+986+987+988+989+990+991

＝9×987

＝8883

故答案为：987；8883。

【考点评析】本题考查加、减法的巧算。注意计算的准确性。

26．（4分）请迅速计算下列算式，并写清主要步骤：

2+4+6+8+…+50＝

【思路点拨】通过观察，此算式是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是50．项数是50÷2＝25，代入高斯求和公式，计算即可．

【规范解答】解：2+4+6+8+…+50，

＝（2+50）×25÷2，

＝52×25÷2，

＝650．

【考点评析】此题考查了学生的观察能力，以及对高斯求和公式的掌握与运用．

27．（6分）巧算下列各题．

（1）43+40+39+41+37+42

＝　41　×　5　+　37　

＝　242　；

（2）9+98+998+9998+99998

＝　2+98　+　2+998　+　2+9998　+　2+99998　+　1　

＝　111101　．

【思路点拨】（1）原式变为（39+40+41+42+43）+37，括号内是一个公差为1的等差数列，有5个数，它们的平均数就是中间数41，因此和为41×5，然后再加上37即可；

（2）此题认真观察不难发现，运用加法结合律进行简便，只要把9改写成2×4+1相加的形式即可．

【规范解答】解：（1）43+40+39+41+37+42

＝（39+40+41+42+43）+37

＝41×5+37

＝205+37

＝242

（2）9+98+998+9998+99998

＝2+2+2+2+1+98+998+9998+99998

＝（2+98）+（2+998）+（2+9998）+（2+99998）+1

＝100+1000+10000+100000+1

＝111101

故答案为：41，5，37，242；2+98，2+998，2+9998，2+99998，1，111101．

【考点评析】此类题只要观察，找出规律，运用合适的简便方法，问题即可解决．

28．（4分）14+15+16+17+18+19+20

9999+9998+9997+9996．

【思路点拨】（1）因为这是一个公差为1的等差数列，共7个数，所以平均数是中间数17，因此，结果为17×7，计算即可；

（2）通过观察，这几个数都与10000非常接近，于是把原式变为（10000﹣1）+（10000﹣2）+（10000﹣3）+（10000﹣4），计算即可．

【规范解答】解：（1）14+15+16+17+18+19+20，

＝17×7，

＝119；

（2）9999+9998+9997+9996，

＝（10000﹣1）+（10000﹣2）+（10000﹣3）+（10000﹣4），

＝40000﹣（1+2+3+4），

＝40000﹣10，

＝39990．

【考点评析】此题考查了简便运算，灵活运用运算技巧或运算定律进行简便计算．

29．（3分）计算：1+2+3+…+20＝　210　．

【思路点拨】此题是一个公差为1的等差数列，运用高斯求和公式即可解答．首相是1，末项是20，项数是20，代入公式即可求出．

【规范解答】解：1+2+3+…+20，

＝（1+20）×20÷2，

＝21×10，

＝210；

故答案为：210．

【考点评析】掌握高斯求和公式是解答此题的关键：（首相+末项）×项数÷2