2023年新八年级数学北师大版暑假自学预习——第08讲 二次根式的乘除

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第08讲 二次根式的乘除学习目标 掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简 掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简。3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。 知识点1： 二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广（1）（2），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。3.二次根式的乘法法则的逆用（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）4.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点2：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2.二次根式的除法法则的推广注意：    知识点3：最简二次根式 最简二次根式的概念（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方     化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数若被开方数中含有小数，先将小数化成分数若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a＞0，b＞0，c＞0）被开方数时多项式的要先因式分解（x≥0，y≥0） 3.分母有理化（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 考点一：求字母的取值范围例1．（2022秋•永兴县期末）若则（　　）A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数【变式1-1】（2023春•西城区校级期中）若＝成立，则x的取值范围为（　　）A．x≥0 B．x≥0或x＜1 C．x＜1 D．0≤x＜1【变式1-2】（2023春•城区校级期中）化简+|x﹣2|结果为（　　）A．0 B．2x﹣4 C．4﹣2x D．4【变式1-3】（2022春•尧都区期中）若•＝，则a的取值范围是（　　）A．a≥2 B．a≥﹣2 C．a≥24 D．2≥a≥﹣2考点二：二次根式乘除的运算例2.（2021秋•浦东新区校级月考）计算：．【变式2-1】（2023春•鹿城区校级期中）计算：＝（　　）A． B． C． D．【变式2-2】（2021秋•古冶区期末）计算：（1）；           （2）．  例3.（2021春•铁西区期末）计算：×÷2．    【变式3-1】（2022春•周至县期末）计算：×4÷．    【变式3-2】（2021春•静安区校级期中）计算：．    【变式3-3】（2021春•西吉县期末）计算：÷（3）×（﹣5）．    考点三：二次根式符号的化简例3.（2021春•闵行区校级期中）计算：•（﹣）÷3．   【变式3-1】（2020秋•浦东新区校级期中）计算：．      【变式3-2】（2020秋•宝山区校级月考）计算：．   考点四：最简二次根式的判断例4.（2023春•南昌县期中）下列根式中属于最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．【变式4-1】（2023春•北京期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）A． B． C． D．【变式4-2】（2023春•朝阳区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）A． B． C． D．考点五：化简最简二次根式例5.（2022秋•南关区期末）将化为最简二次根式的结果是 　   　． 【变式5-1】（2023春•东湖区校级期中）将化为最简根式是 　   　．【变式5-2】（2023春•雄县月考）化成最简二次根式：＝　   　．【变式5-3】（2022秋•长宁区校级期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 　    　．考点六：已知最简二次根式求参数例6.（2023•商丘二模）写出一个实数x，使是最简二次根式，则x可以是 　   　． 【变式6-1】（2023春•金乡县月考）若最简二次根式与最简二次根式相等，则m+n＝　 　．【变式6-2】（2022秋•南关区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　  ．考点七：分母有理化例7.（2022秋•南安市期末）化简：＝　  　． 【变式7-1】（2022秋•徐汇区期末）计算：＝　   　．【变式7-2】（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝　     ．【变式7-3】（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：＝　  　．考点八：比较二次根式的大小例8.（2021秋•曲阳县期末）比较大小：　　【变式8-1】（2021春•金坛区期末）比较大小：　 　（填写“＞”或“＝”或“＜”）．【变式8-2】（2020•昆山市一模）设a＝，b＝2+，c＝，则a、b、c从小到大的顺序是　  　．考点九：分母有理化的应用例9.（2022春•青秀区校级期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，解：原式＝＝（+）．运用以上方法解决问题：（1）将分母有理化；（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“＝”）①　 　；②　 　（n≥2，且n为整数）；（3）化简：+++……+．        【变式9-1】（2022秋•济南期末）阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，∴．模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）；模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．        【变式9-2】（2022秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：＝；（一）＝＝；（二）＝＝＝；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：＝＝＝；（四）（1）化简＝　　 ＝　　（2）请用不同的方法化简．①参照（三）式得＝　      　②步骤（四）式得＝　    　（3）化简：+++…+．        1．（2022•桂林）化简的结果是（　　）A．2 B．3 C．2 D．22．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（　　）A． B．1 C． D．33．（2022•武汉）计算的结果是 　　．4．（2022•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 　 　．5．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（　　）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间6．（2021•兰州）计算：．    7．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．    8．（2021•西宁）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．    1．（2022秋•海口期末）化简（﹣）2的结果是（　　）A．9 B．±3 C．﹣3 D．32．（2022秋•卧龙区校级期末）计算的结果是（　　）A．1 B． C． D．3．（2022春•桓台县期中）当a＜0时，化简•的结果是（　　）A．﹣4a B．4a C．﹣4a2 D．4a24．（2022秋•济南期末）二次根式化成最简二次根式是 　   　．5．（2022春•宿城区期末）若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是　  　．6．（2022秋•安乡县期末）若等式•＝成立，则x的取值范围是　   ．7．（2022秋•浦东新区校级月考）分母有理化＝　   ．8．（2020秋•成华区期中）比较大小：2+　  　．（用＞，＝或＜填空）9．（2021春•延吉市校级期中）计算：3×÷．     10．（2021秋•杨浦区期中）计算：2×÷3      11．（2020秋•青浦区期中）计算：3．    12．（2023春•浏阳市期中）像•＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．（1）＝＝；（2）＝＝＝3+2．勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．（3）化简：﹣．解：设x＝﹣，易知＞，∴x＞0．由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝．即﹣＝．请你解决下列问题：（1）2﹣3的有理化因式是 　2+3　；（2）化简：++；（3）化简：﹣．