2023年新八年级数学北师大版暑假自学预习——第09讲 二次根式的加减

第09讲 二次根式的加减

学习目标

1.理解同类二次根式的定义；

1.掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法

2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算

3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算

知识点1： 同类二次根式

1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如

知识点2： 二次根式的加减

1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：

①化：将各个二次根式化成最简二次根式；

②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；

③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。

知识点3：二次根式的混合运算

  二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）

考点一：同类二次根式的判断

例1．（2023春•白云区期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【变式1-1】（2023春•海珠区校级期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【变式1-2】（2023春•潜江月考）下列二次根式中，不能与合并的是（　　）

A． B． C． D．

【变式1-3】（2023•嘉定区二模）下列根式中，与为同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

考点二：求同类二次根式中的参数

例2.（2023春•潮阳区校级期中）已知最简二次根式与可以合并，则a的值为（　　）

A．2 B．5 C．11 D．14

【变式2-1】（2023春•庐阳区校级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　）

A．0 B．8 C．2 D．2或8

【变式2-2】（2023春•淮北月考）已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式2-3】（2023春•伊犁州期中）如果最简二次根式与是同类根式，那么a的值是（　　）

A．a＝5 B．a＝3 C．a＝﹣5 D．a＝﹣3

考点三：二次根式加减运算

例3.计算下列各题：

（1）4+3﹣6﹣5；  （2）﹣++．

【变式3-1】（2023春•海淀区校级期中）计算：．

【变式3-2】（2023春•上海期中）计算：3﹣﹣（）．

【变式3-3】（2022春•贺州期中）计算：+2．

考点四：二次根式的混合运算

例4.（2023春•东丽区校级期中）计算：

（1）；        （2）；

（3）；       （4）．

【变式4-1】（2023春•海淀区校级期中）计算：

（1）|﹣|+﹣3；

（2）（2+）（2﹣）﹣÷．

【变式4-2】（2023春•东城区期中）计算下列各题：

（1）；   （2）．

考点五：已知字母的值化简求值

例5.（2023春•朝阳区校级期中）先化简，再求值：，其中：a＝3，b＝2．

【变式5-1】（2023春•上杭县校级月考）先化简，再求值：，其中a＝2，b＝3．

【变式5-2】（2023春•潜江月考）先化简，再求值：，其中x＝，y＝﹣8．

考点六：已知条件化简求值

例6.（2023春•南昌期中）已知，，求下列各式的值．

（1）a+b和ab；             （2）a2+ab+b2．

【变式6-1】（2023春•拱墅区期中）已知，，求下列各式的值：

（1）x2﹣2xy+y2；

（2）x2﹣y2．

【变式6-2】（2022秋•北塔区期末）已知，求的值．

【变式6-3】（2023春•中山市期中）已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：

（1）a2﹣2ab+b2；

（2）a2﹣b2．

考点七：二次根式的新定义运算

例7.（2021春•科左中旗期末）对于任意不相等的两个实数a，b，新定义一种运算“※”如下：a※b＝，则2※6＝　　．

【变式7-1】对于任意不相等的两个正实数a，b，新定义一种运算“*”如下：a*b＝，那么2*6＝　  　．

【变式7-2】对于实数a、b作新定义：a@b＝ab，a※b＝ab，在此定义下，计算：（﹣）@﹣（﹣4）※2＝　  　．

考点八：二次根式的应用

例8.（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．

（1）求原矩形木板的面积；

（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．

【变式8-1】（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．

（1）求长方体盒子的容积；

（2）求这个长方体盒子的侧面积．

【变式8-2】（2022秋•社旗县期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈9.8t/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．

【变式8-3】（2022春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．

（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）

（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

1．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）

A．与 B．与 C．与 D．与

2．（2022•宁夏）下列运算正确的是（　　）

A．﹣2﹣2＝0 B．﹣＝ C．x3+x3＝2x6 D．（﹣x3）2＝x6

3．（2020•绥化）化简|﹣3|的结果正确的是（　　）

A．﹣3 B．﹣﹣3 C．+3 D．3﹣

4．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（　　）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

5．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

6．（2021•包头）若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（　　）

A．7 B．4 C．3 D．3﹣2

7．（2022•德州）﹣＝　　．

8．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是 　 　．

9．（2022•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 　 　．

10．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y＝++，则的值是　 　．

11．（2022•陕西）计算：5×（﹣2）+×﹣（）﹣1．

12．（2022•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a＝﹣，b＝+．

13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．

1．（2023春•上思县月考）下列各式与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

2．（2022秋•渌口区期末）是经过化简的二次根式，且与是同类二次根式，则x为（　　）

A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．5

3．（2023春•仁化县期中）计算：

（1）计算：；   （2）计算：．

4．（2023春•北京期中）计算：．

5．（2022•长安区校级开学）计算：（）﹣3（）．

6．（2023春•拱墅区校级期中）计算：

（1）．    （2）．

7．（2023春•莱西市期中）已知，，试求代数式2x2﹣5xy+2y2的值．

8．（2023春•光泽县月考）先化简，再求值：，其中．

9．（2022秋•道县期末）已知，．

（1）求ab的值；

（2）求a2﹣b2的值．

10.方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．

（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）

（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）