2023年新七年级数学人教版暑假弯道超车自学预习——第06讲 巧用运算规律简化有理数的计算

第06讲  巧用运算规律简化有理数的计算

【人教版】

·模块一  归类——同号相加，同分母相加

·模块二  凑整——将易通分或能“凑0”、“凑整”的数相结合

·模块三  变序——逆向思维，方便约分和计算

·模块四  组合——找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目

·模块五  拆分——相互抵消，化繁为简

·模块六  课后作业

【例1】计算：．

【答案】

【分析】按照有理数的加减法运算法则和运算律进行计算．

【详解】原式＝

．

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减法运算法则和运算律．

【例2】计算：．

【答案】0

【分析】利用有理数的加减运算的法则进行求解即可；

【详解】解：原式

【点睛】本题主要考查有理数的加减运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

【例3】计算

(1)

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先去括号，然后把同分母分数相加减，再根据有理数的加减运算法则求解即可；

（2）首先去括号，然后把同分母分数相加减，再根据有理数的加减运算法则求解即可．

【详解】（1）解：原式

；

（2）解：原式

；

【点睛】本题考查了有理数的加减法，熟知相关运算法则是解题的关键．

【变式1】计算：

【答案】

【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解；

【详解】解：

【变式2】计算：．

【答案】

【分析】根据有理数的加减运算法则，正确解题即可.

【详解】解：

．

【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，掌握“有理数的加减运算的运算法则以及利用运算律进行简便运算”是解本题的关键．

【变式3】计算：．

【答案】

【分析】先把减法转化成加法，进行加法运算即可．

【详解】解：

【点睛】此题考查了加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

【变式4】计算

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合相反数的定义，根据整数的加减运算法则直接求解即可得到答案；

（2）结合相反数的定义，根据有整数的加减运算法则直接计算即可得到答案．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【例1】；

【答案】

【分析】用乘法交换律和乘法结合律进行就算即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握加法运算律在有理数范围依旧适用．

【例2】

【答案】

【分析】根据有理数加减计算法则进行求解即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，属于基本题型，熟练掌握运算法则是解题的关键．

【例3】计算：．

【答案】2

【分析】利用有理数的加减运算法则与运算律进行计算即可得．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键．

【变式1】计算：.

【答案】

【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减的运算法则是解题的关键．

【变式2】计算：

【答案】8

【分析】运用有理数加法结合律计算即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查有理数加减运算，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键．

【变式3】计算：

【答案】

【分析】先分组，将放在一起计算得到整数，再将结果相加即可；

【详解】解：

；

【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，掌握正确的计算顺序是解题的关键．

【例1】计算：；

【答案】

【分析】（1）根据逆用乘法分配律进行计算即可求解；

【详解】解：原式

；

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则以及运算律是解题的关键．

【例2】计算：

【答案】

【分析】根据有理数乘除混合计算法则求解即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

【例3】计算：

【答案】

【分析】先化除法为乘法，然后根据乘法交换律，即可．

【详解】

．

【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数乘除混合运算．

【变式1】计算：．

【答案】5

【分析】利用有理数的乘除混合运算解答即可

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了有理数乘除的混合运算，对于含有分数的乘除混合运算，一般是统一为乘法运算，然后约分．

【变式2】简便计算

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）

（2）

【变式3】用简便算法计算：

【答案】

【分析】将改写为，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可．

【详解】（1）解：原式

．

【例1】计算的值等于（    ）

A． B． C．1010 D．1009

【答案】A

【分析】先根据算式找出规律，第1，2两个相加为，第3，4两个数相加为1，第5，6两个数相加为1，依次类推，直到第2017与2018两个数相加，最后还剩，再相加得出结果即可．

【详解】解：

．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是找出规律，准确计算．

【例2】计算：．

【答案】

【分析】先去括号写成乘法的形式，再约分计算即可.

【详解】

．

【点睛】本题考查有历史的乘法，根据式子特点，去括号后约分是解题的关键.

【变式1】计算：

【答案】50

【分析】把原式写成，一共有25个，据此计算即可．

【详解】解：

．

【点睛】题目主要考查有理数的加减运算，找出规律，准确计算是解题关键．

【变式2】计算:．

【答案】

【分析】先计算括号里的值，然后求解计算即可；

【详解】解：

【变式3】_____．

【答案】

【分析】先去括号，再根据加法交换律和加法结合律进行简算即可；

【详解】解：

，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律和加法结合律的灵活运用是解题的关键．

【例1】简便计算

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）

（2）

【例2】用简便算法计算：

【答案】

【分析】将改写为，再用乘法分配律进行计算即可；

【详解】解：原式

【例3】观察下面的变形规律：

，，，……，

解答下面的问题：

（1） ， ．

（2）若n为正整数，猜想 ．

（3）求值．

【答案】（1），；（2）；（3）．

【分析】（1）根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差得出答案；

（2）利用以上所得规律即可得出答案；

（3）利用把 原式裂项，再进一步求和即可得．

【详解】解：（1），．

故答案为：，；

（2）．

故答案为：；

（3）

=

=

=．

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差的规律．

【变式1】用简便方法计算

(1)

(2).

【答案】(1)；(2)99900.

【分析】（1）将写成，再根据乘法分配律进行计算即可；（2）将写成，再利用乘法分配律的逆运算进行计算即可求得结果.

【详解】解：(1)

；

(2)原式

.

【点睛】此题考查有理数的乘法分配律及其逆运算，（1）中将带分数拆分成与其相近的整数加减其它分数表示的方法，再根据乘法分配律计算很简便；（2）中要将每组乘法中的一个因式写成同一个数的形式，再利用乘法分配律的逆运算进行运算，以达到简便的目的.

【变式2】我们知道：，…，

(1)__________；

(2)试根据上面规律，计算：．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据有理数的乘法法则进行计算即可求解；

（2）先计算括号，再根据（1）中规律计算即可求解．

【详解】（1）解：，

故答案为：；

（2）解：

．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，熟知有理数的乘法法则是解题关键，注意多个非0的有理数相乘，要根据负因数的个数先确定好积的符号．

【变式3】观察下列等式：

第1个等式：a1＝＝×（﹣）；

第2个等式：a2＝＝×（﹣）；

第3个等式：a3＝＝×（﹣）；

第4个等式：a4＝＝×（﹣）；

…

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　 　＝　 　；

第n（n为正整数）个等式：an＝　 　＝　 　；

（2）求a1+a2+a3+a4+…+a2019的值；

（3）数学符号＝f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），试求的值．

【答案】（1），×（），，×（）；（2）；（3）.

【分析】（1）根据已知的四个等式可得答案；

（2）a1+a2+a3+a4+…+a2019＝++…+，再利用以上所得规律展开求解可得；

（3）＝＝+…+＝3×（+++…+），利用所得规律求解可得．

【详解】解：（1）按以上规律知第5个等式为a5＝＝×（），

第n个等式an＝＝×（），

故答案为，×（），，×（）．

（2）a1+a2+a3+a4+…+a2019

＝++…+

＝×（1﹣）+×（）+×（）+…+×（）

＝×（1﹣+﹣ +…+﹣）

＝×（1﹣）

＝×

＝；

（3）

＝

＝ ++…+

＝3×（+…+）

＝3×[×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）]

＝1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣﹣+…+﹣ ﹣+﹣+﹣

＝1++﹣﹣﹣

＝．

【点睛】考核知识点：有理数运算规律.掌握运算法则，观察总结规律是关键.

1．计算：．

【答案】

【分析】根据有理数加减运算法则进行计算即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．

2．计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用加法结合律并结合有理数加减法则进行计算即可；

（2）运用加法交换律、结合律并结合有理数加减法则进行计算即可．

【详解】（1）解：

．

（2）

．

【点睛】本题考查有理数加减混合运算．解题的关键是能准确理解并运用运算法则和运算定律．

3．计算：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）根据有理数加减计算法则求解即可；

（2）根据有理数加减计算法则求解即可．

【详解】（1）解：原式

；

（2）解：原式

．

【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

4．计算：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解；

（2）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算的运算法则是解题的关键．

5．计算

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)-30

【分析】（1）先利用乘法交换律进行变形，再根据乘法法则计算即可；

（2）先把减法转化为加法，然后将尾数相同的利用加法结合律结合在一起，最后根据加法法则计算即可．

（1）

解：

；

（2）

解：

．

【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

6．计算题

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．（用简便计算）

【答案】(1)；

(2)0；

(3)；

(4)4；

(5)；

(6)．

【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；

（2）根据有理数的加减法可以解答本题；

（3）根据乘法分配律简便计算；

（4）先去掉绝对值，然后根据有理数的乘除法即可解答本题；

（5）根据乘法分配律简便计算；

（6）把写成，再用乘法分配律简便计算．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

=0；

（3）解：

；

（4）解：

=4；

（5）解：

；

（6）解：

．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．

7．计算题．

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）逆用乘法公式进行简算；

（2）先去括号，再从左到右依次进行运算即可．

【详解】（1）解：原式

；

（2）原式

．

【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键．

8．计算：

(1)；

(2)；

(3)

(4)．

【答案】(1)

(2)

(3)5

(4)2398

【分析】（1）根据有理数的加减运算法则，结合加法运算律进行计算即可得到答案；

（2）根据有理数的四则混合运算法则进行计算即可得到答案；

（3）根据有理数的四则混合运算法则，结合乘法运算律进行计算即可得到答案；

（4）将变为，再利用乘法分配律进行计算即可得到答案．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

；

（3）解：

；

（4）解：

．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律，乘法运算律，熟练掌握相关运算法则是解题关键．

9．用简便算法计算：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将改写为，再用乘法分配律进行计算即可；

（2）将改写为，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可．

【详解】（1）解：原式

；

（2）解：原式

．

【点睛】本题主要考查了有理数的简便运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，加法运算律和乘法运算律在有理数范围依然适用．

10．（1）________

________

________

猜想：________

（2）根据上面的规律，解答下列问题：

①计算：

②将2020减去它的，再减去余下的，再减去余下的……，依次类推，最后减去余下的，则剩余的结果是多少?

【答案】（1）；；；；（2）①，②1

【分析】（1）约分计算即可求解；

（2）①先算括号里面的减法，再约分计算即可求解；②根据题意列出算式，再先算括号里面的减法，再约分计算即可求解．

【详解】解：（1），

，

，

故答案为：；；；；

（2）①

；

②依题意有：

．

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，第（2）问根据题意列出算式是解本题的关键．

11．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：；；；；

(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：

①________；②________；③________；④________；

(2)用合理的方法计算：；

(3)用简便的方法计算：．

【答案】(1)①21-7；②；③；④；

(2)

(3)

【分析】（1）利用绝对值的代数意义化简即可；

（2）利用绝对值的代数意义化简，再计算加减法；

（3）利用绝对值的代数意义化简，再计算加减法．

（1）

解：①21-7；② ；③ ；④ ；

故答案为：①21-7；②；③；④；

（2）

=

=；

（3）

=

=

=．

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，绝对值的化简，正确掌握运算法则和绝对值的性质是解题的关键．

12．用简便方法计算

(1)

(2)（－99）×999

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）变为，利用分配律计算即可．

（2）变为，利用分配律计算即可．

【详解】（1）

=

=

=．

（2）

=

=999-99900

=．

【点睛】本题考查了有理数的简便计算，分配律的应用，准确进行数的等值变形是解题的关键．

13．阅读解题：，，，…

计算：理解以上方法的真正含义，计算：

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）（2）根据例题中所给出的式子列式计算即可；

（3）先将分母变形，再根据例题中的规律列式计算即可．

【详解】解：（1）

=

=

=；

（2）

=

=

=；

（3）

=

=

=

=

【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．