2023年新八年级数学人教版暑假弯道超车自学预习——第04讲 角度计算中的常见模型

第04讲  角度计算中的常见模型

【人教版】

·模块一  A字型

·模块二  8字型

·模块三  燕尾角

·模块四  风筝型

·模块五  课后作业

A字型

【条件】△ADE与△ABC.

【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.

【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，

∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.

【例1】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）．

A． B． C． D．

【例2】如图，在中，，D是的中点，点E是边上一动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，则_____．

【例3】旧知新意：

我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

尝试探究：

（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？

初步应用：

（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝　50°　；

（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　∠P＝90°∠A　．

拓展提升：

（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）

【变式1】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________．

【变式2】如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．

【变式3】如图，已知中，，平分，E是线段（除去端点A、D）上一动点，于点F．若，求的度数．

8字型

【条件】AD、BC相交于点O.

【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)

【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，

∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD

∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.

【例1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ）

A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D

【例2】如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）．

A． B． C． D．

【例3】如图，和中，交于M．

(1)如图1，当时，的度数为 °；

(2)如图2，当时，求的度数为 °；

(3)如图3，当绕O点任意旋转时，与是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用表示，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．

【变式1】如图所示，求的度数.

【变式2】如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　）

A．240° B．280° C．360° D．540°

【变式3】如图，，，，，求和的度数．

【变式4】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．

（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．

（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是________；

（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________．

燕尾角

【条件】四边形ABDC如上左图所示.

【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)

【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：

∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.

【例1.1】如图所示，已知四边形，求证．

【例2】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）．

A． B． C． D．

【例3】如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　）

A．24° B．25° C．30° D．36°

【变式1】如图，已知分别交的边、于、，交的延长线于，，，，求的度数.

【变式2】如图，若，则____________．

【变式3】模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．

模型应用

（1）直接应用：

①如图2，，则__________；

②如图3，__________；

（2）拓展应用：

①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；

②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；

③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；

④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为__________．

风筝型

【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.

【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.

【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，

∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.

【例1.1】如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　　°．

【例2】如图，在四边形中，，E、F分别是、上的点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，交于点G，若有两个相等的角，则______．

【例3】（2022春•铜山区期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，请直接写出∠1+2与∠A的关系：　　．

（2）如图2，把△ABC分别沿DE、FG折叠，使点A落在点A′处，使点B落在点B′处，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠C＝　　°

（3）如图3，在锐角△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM、CN交于点H，把△ABC沿DE折叠使点A和点H重合，则∠BHC与∠1+∠2的关系是　　．

A．∠BHC＝180°（∠1+∠2）

B．∠BHC＝∠1+∠2

C．∠BHC＝90°（∠1+∠2）

D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2

（4）如图4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折叠，使点A与点H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度数．

【变式1】如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为____．

【变式2】已知△ABC是一张三角形的纸片．

（1）如图①，沿DE折叠，使点A落在边AC上点A′的位置，∠DA′E与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？

（2）如图②所示，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？

（3）如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？

【变式3】△ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将△ADE沿DE折叠，使A落在同一平面上的A′处，∠A的两边与BD、CE的夹角分别记为∠1，∠2

如图①，当A落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．

如图②，当A′落在BC下方时，请直接写出∠A与∠1+∠2之间的数量关系．

如图③，当A′落在AC右侧时，探索∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．

1．如图，在中，，平分，且，则的度数为（   ）

A． B． C． D．

2．如图，在中，为上一点，将沿折叠至处，'与交于点．若，，的度数为______．

3．如图，点，分别在等边的边，上，将沿直线翻折，使点落在点处，，分别交边于点，．若，则_________________．

4．如图，四边形中，点、分别在，上，将沿翻折，得，若，，，，则________．

5．如图，在中，，的角平分线与的角平分线交于点M，将以直线为对称轴翻折得到，延长与的延长线交于点E．求的度数．

6．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的度数．

7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．

8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．

9.已知，在中，点E在边上，点D是上一个动点，将沿E、D所在直线进行翻折得到．

(1)如图，若，则______；

(2)在图中细心的小明发现了，，之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．

10.在中，，点在直线上（不与重合），点在直线上（不与重合），且．

（1）如图①，若，则_____，此时，_____；

（2）若点在边上（点除外）运动（图①），试探究与数量关系并说明理由：

（3）若点在线段的延长线上，点在线段的延长线上（如图②），其余条件不变，请直接写出与的数量关系：___；

（4）若点在线段的延长线上（如图③），点在直线上，，其余条件不变，则_____．（友情提醒：可利用图③画图分析）