2023年新八年级数学人教版暑假弯道超车自学预习——第09讲 与全等三角形有关的计算和角的证明与计算

第09讲  与全等三角形有关的计算和角的证明与计算

【人教版】

·模块一  求角度和线段的长度

·模块二  角度和线段之间关系的证明

·模块三  线段位置关系

·模块四  课后作业

【例1】如图，，，，求的长.

【例2】如图，C为上一点．点A，D分别在两侧．，，．

(1)证明：；

(2)若，求的度数．

【例3】如图，在中，平分，，延长到点E，使得，连结，．

(1)求证：．

(2)若，求的度数．

【变式1】如图，点A，C，D，E在同一条直线上，，，，且．

(1)求证：；

(2)若，，求的长．

【变式2】如图1是李明制作的燕子风筝，燕子风等的骨架图如图2所示，已知，，，求的大小．

【变式3】已知：如图，在中，E是的中点，点F在上，，交的延长线于点D．

(1)求证：；

(2)若，求的长．

【例1】如图，在四边形中，于，交的延长线于点，，．试探究线段，，之间的数量关系，并证明．

【例2】在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（点D不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)求证：△ABD≌△ACE；

(2)∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？说明理由．

【例3】在中，，点D是线段上的一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．

(1)如图1，当点D在线段上，且时，那么的度数为多少度．

(2)设．如图2，当点D在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是 ___________．（直接写出结果）

【变式1】如图，中，，平分，过点作于点，在上取．

(1)求证：；

(2)猜想，与之间的数量关系，并说明理由．

【变式2】如图，已知．写出之间的数量关系，并予以证明．

【变式3】已知，如图，和，，，，．

(1)求证：；

(2)试求、之间的数量关系和位置关系．

【例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F，E分别是AD及其延长线上的点．

(1)如果CFBE，说明：△BDE≌△CDF；

(2)若CF，BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F，请猜想BF与CE的位置关系？并说明理由．

【例2】如图，已知在中，于点，，是上的一点，且，连接并延长交于点．

(1)求证:；

(2)猜想与的位置关系，并证明．

【例3】如图，在和中，，，，连接，，当点，，在同一条直线上时，请判断线段和的数量及位置关系，并说明理由．

【变式1】如图，点、、、在一条直线上，，，，请写出与之间的位置关系，并证明你的结论．

【变式2】如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE．

(1)求证AE=DF；

(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．

【变式3】如图，C是线段上一点，与均为等腰直角三角形，连接，，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由．

1．如图，，交于点，，，，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

2．如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是（　　）

A． B． C． D．

3．如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点F，若，则线段的长度为________．

4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，这两个滑梯与地面夹角中，则_______．

5．如图，点、、、在同一条直线上，，，．

(1)求证：；

(2)若，，求的度数．

6．如图，已知与相交于点E，，点E为中点，若，求的长度．

7．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AE＝AD，AE⊥AD，B、C、E三点在同一条直线上．

（1）求证：△ABE≌△ACD．

（2）探究DC与BE之间的位置关系，并说明理由．

8．如图，，，，，直线与相交于点，与相交于点．

（1）与全等吗？请说明理由；

（2）试判断与的位置关系，并说明理由．

9．按要求画图，并解答问题

（1）如图，取BC边的中点D，画射线AD；

（2）分别过点B、C画BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F；

（3）BE和CF的位置关系是　 　；通过度量猜想BE和CF的数量关系是　 　．

10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=60°，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为一边的等边三角形．

（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：△AEB≌△ADC；

（2）如图①，探究BE和AC的位置关系，并说明理由．

（3）如图②，当点D在BC的延长线上时，（2）中结论还成立吗？说明理由．

11．已知、是的高，点P在的延长线上，，点Q在上，．判断线段和的关系，并证明．

12．在四边形中，，点在直线上，且．

(1)如图①，已知，

①求证：；

②若，，则______；

(2)如图②，若交于点，，猜想、、之间具有怎样的数量关系？并加以证明．

13．如图，点C，A，O，B四点在同一条直线上，点D在线段OE上，且OA=OD，AC=DE，连接CD，AE

(1)求证△AOE≌△DOC；

(2)写出∠1，∠2和三者间的数量关系，并说明理由．

14．如图，有两个长度相等的滑梯与（即），滑梯的高与滑梯的水平方向EF的长度相等（即），且，问两个滑梯的倾斜角与的大小有什么关系？请说明理由．

15．如图，四边形中，，平分，，．

(1)根据给出的条件，找出图中一对全等三角形并证明；

(2)探求和的大小关系，并加以证明．