专题05 圆的证明与求值综合问题（原卷版）

2023年中考数学必考的解答题难题微专题精炼（全国通用）

专题05 圆的证明与求值综合问题

1. 如图，是的外接圆，AB是直径，，连接AD，，AC与OD相交于点E．

（1）求证：AD是的切线；

（2）若，，求的半径．

2. 如图，在中，，以AC为直径作交BC于点D，过点D作，垂足为E，延长BA交于点F．

（1）求证：DE是的切线

（2）若，求的半径．

3. 如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求sin∠FHG的值；

（3）若GH＝，HB＝2，求⊙O的直径．

4. 如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．

（1）求证：AC＝AF；

（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．

5. 已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．

（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；

（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．

6.  如图，是的直径，是的一条弦，连接

（1）求证：

（2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．

7. 如图，四边形内接于，为的直径，．

（1）试判断的形状，并给出证明；

（2）若，，求的长度．

8. 如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）若，求直径．

9. 如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．

（1）求证：AB=CB；

（2）若AB=18，sinA=，求EF的长．

10. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．

（1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．

（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．

11. 如图，四边形ABCD内接于，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．

（1）求证：；

（2）当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上）

（3）①记四边形ABCD，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．

②当，时，试用含m，n，p的式子表示．

12. 如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．

（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．