拓展课　变力做功和机车的启动

拓展点一　变力做功的计算

W＝Flcos α，此公式中F为恒力，如果物体受到变力作用，变力做的功可按下列方法进行计算：

1.化变力为恒力

(1)分段法：力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功。

(2)平均值法：当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，即F是位移l的线性函数，则平均力＝，由W＝lcos α求功。

例如：弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝·(x2－x1)。

(3)微元法：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。例如，滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小段都是恒力做功，整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和，即力与路程的乘积。

例如：质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功WFf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。

2.图像法

(1)若作用在物体上的力只是大小变化，而方向始终与位移在同一直线上，外力做功就不能用矩形表示。不过可以将位移划分为等距的小段，当每一小段足够小时，力的变化很小，就可以认为是恒定的，该段内所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积，整个过程外力做功的大小就等于所有小矩形面积之和，如图甲所示。

(2)如图乙所示，l轴上方的“面积”表示力对物体做正功的多少，用正数表示，l轴下方的“面积”表示力对物体做负功的多少，用负数表示。总功为上、下两“面积”的代数和。

[试题案例]

[例1] 如图所示，摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球运动过程中空气阻力Ff的大小不变，求摆球从A运动到竖直位置B时，重力mg、绳的拉力FT、空气阻力Ff各做了多少功？

【思路点拨】

解析　因为拉力FT在运动过程中，始终与运动方向垂直，故不做功，即WFT＝0。

重力在整个运动过程中大小、方向始终不变，重力的方向竖直向下，小球的位移在竖直方向上的投影OB＝l，所以WG＝mgl。

空气阻力虽然大小不变，但方向不断改变，且任何时刻都与运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，因此属于变力做功问题。如果将AB分成许多小弧段，使每一小弧段小到可以看成直线，在每一小弧段上Ff的大小、方向可以认为不变(即为恒力)，这样就把变力做功的问题转化为恒力做功的问题。因此Ff所做的总功等于每一小弧段上Ff所做功的代数和。即WFf＝－(FfΔl1＋FfΔl2＋…)＝－Ffπl。

答案　mgl　0　－Ffπl

[例2] 一物体所受的力F随位移l变化的图像如图所示，在这一过程中，力F对物体做的功为(　　)

A.3 J  　　 B.6 J 

C.7 J  　　 D.8 J

解析　力F对物体做的功等于l轴上方梯形“面积”所表示的正功与l轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和。

W1＝×(3＋4)×2 J＝7 J

W2＝－×(5－4)×2 J＝－1 J

所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J，

故选项B正确。

答案　B

[针对训练1] 如图所示，是一个物体受到的力F与位移l的关系图像，由图像求力F在6 m内对物体所做的功。

解析　F－l图线与横轴所围图形的“面积”表示F做的功。

0～2 m：W1＝20 J。

2～5 m：W2＝－60 J。

5～6 m：W3＝20 J。

故整个过程

W＝W1＋W2＋W3＝－20 J。

答案　－20 J

拓展点二　机车的两种启动方式

1.机车以恒定功率启动

这一启动过程的v－t关系图像如图所示：

(1)当机车的牵引力与所受阻力的大小相等时，即F＝Ff，a＝0，机车达到最大速度，此时

vmax＝＝。

(2)在加速过程中，加速度是逐渐减小的，如果知道某时刻的速度，就可求得此时刻的加速度。

2.机车以恒定加速度启动

这一启动过程的v－t关系图像如图所示：

(1)由牛顿第二定律得F－Ff＝ma，所以牵引力F＝Ff＋ma定，当P＝P额时，匀加速运动的最大速度vmax′＝＝。

(2)由vmax′＝a定t′得，匀加速运动持续的时间

t′＝＝。

[试题案例]

[例3] 在平直路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N。

(1)求汽车所能达到的最大速度；

最大速度的条件是牵引力的大小等于阻力的大小。

 (2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？

(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s时其加速度为多大？

解析　(1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff，

则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度

vmax＝＝ m/s＝12 m/s。①

(2)汽车以恒定的加速度a做匀加速运动，能够达到的最大速度为v，则有－Ff＝ma②

得v＝＝ m/s＝8 m/s③

由v＝at得这一过程维持的时间

t＝＝ s＝16 s。

(3)当汽车以额定功率启动达到2 m/s的速度时，牵引力

F′＝＝ N＝3×104 N，

由牛顿第二定律得汽车的加速度

a′＝＝ m/s2＝5 m/s2。

答案　(1)12 m/s　(2)16 s　(3)5 m/s2

方法总结　机车启动问题的求解方法

(1)机车的最大速度vmax的求法：机车做匀速运动时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vmax＝＝。

(2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间t的求法：牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的最大速度vmax′＝，时间t＝。

(3)瞬时加速度a的求法：根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。

[针对训练2] 某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究，他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v－t图像，如图所示(除2～10 s内的图像为曲线外，其余时间段内图像均为直线)。已知小车运动的过程中，2～14 s 内小车的功率保持不变，在14 s末停止遥控而让小车自由滑行。小车的质量为1 kg，可认为在整个过程中小车所受到的阻力大小不变。求：

(1)小车所受到的阻力大小及0～2 s内小车电动机提供的牵引力大小；

(2)小车匀速行驶阶段的功率。

解析　(1)由图像可得，在14～18 s内，

a3＝＝ m/s2＝－0.75 m/s2，

小车受到的阻力大小F1＝m|a3|＝0.75 N，

在0～2 s内，a1＝＝0.5 m/s2，

由F－F1＝ma1，得电动机提供的牵引力大小

F＝ma1＋F1＝1.25 N。

(2)在10～14 s内小车做匀速运动，F′＝F1，故小车匀速行驶阶段的功率P＝F′v＝0.75×3 W＝2.25 W。

答案　(1)1.25 N　(2)2.25 W

1.如图所示，某个力F＝10 N作用在半径为R＝1 m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为(　　)

A.0  　 B.20π J

C.10 J    　 D.10π J

解析　利用微元法求解力F所做的功，可将圆周分成无限多小段，对每一小段，可以认为F与位移方向相同，而位移大小与对应弧长相同，则力F的总功为力F在各小段所做功的代数和，即WF＝F·2πR＝20π J，故B正确。

答案　B

2.一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升，重物上升的高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力，则整个过程中，下列说法正确的是(　　)

A.钢绳的最大拉力为 

B.钢绳的最大拉力为mg

C.重物匀加速的末速度为 

D.重物匀加速运动的加速度为－g

解析　加速过程重物处于超重状态，钢绳拉力大于重物的重力，钢绳的最大拉力为，故选项A、B错误；重物匀加速运动的末速度不是运动的最大速度，此时钢绳对重物的拉力大于其重力，故其速度小于，故选项C错误；重物匀加速运动的末速度为v1，此时的拉力为F＝，由牛顿第二定律得a＝＝－g，故选项D正确。

答案　D

3.用质量为5 kg的均匀铁索，从10 m深的井中吊起一质量为20 kg的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人要做多少功？(g取10 m/s2)

解析　法一　提升物体过程中拉力对位移的平均值

＝ N＝225 N

故该过程中拉力做功

W＝h＝2 250 J。

法二　由F－h图线与h轴所围“面积”的物理意义，得拉力做功W＝×10 J＝2 250 J。

答案　2 250 J

4.如图所示，一地铁列车从甲站由静止启动后做直线运动，先匀加速运动t1＝10 s达到速度大小v＝54 km/h，再匀速运动t2＝100 s，接着匀减速运动t3＝12 s到达乙站停车。列车在运行过程中所受的阻力大小恒为Ff＝1×105 N，列车在减速过程中发动机停止工作，求：

(1)列车匀速运动过程中克服阻力所做的功W；

(2)列车的质量m；

(3)列车在匀加速阶段牵引力的平均功率。

解析　(1)已知v＝54 km/h＝15 m/s

列车在匀速阶段的位移为

x＝vt2＝1 500 m

列车匀速运动过程中克服阻力所做的功为

W＝Ffx＝1.5×108 J。

(2)设列车匀减速阶段的加速度大小为a′，

由牛顿第二定律有Ff＝ma′

又a′＝

解得m＝8×104 kg。

(3)设列车在匀加速阶段的加速度大小为a，由牛顿第二定律有F－Ff＝ma

又a＝

该阶段牵引力的平均功率为＝F

解得＝1.65×106 W。

答案　(1)1.5×108 J　(2)8×104 kg　(3)1.65×106 W

基础过关

1.(多选)如图所示，重物P放在一长木板OA上，将长木板绕O端缓慢转过一个小角度的过程中，重物P相对于木板始终保持静止。关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况正确的是(　　)

A.摩擦力对重物不做功 B.摩擦力对重物做负功

C.支持力对重物做正功 D.支持力对重物做负功

解析　重物受到重力、支持力和摩擦力的作用，处于平衡状态，在缓慢上升的过程中，位移方向斜向左上方，重力对物块做了负功，物块在上升的过程中，摩擦力与运动方向始终垂直，所以物块受到的摩擦力对物块做的功为零，支持力方向与运动方向始终相同，支持力对重物做正功，选项A、C正确。

答案　AC

2.用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第1次相同，那么第二次钉子进入木板的深度是(　　)

A.(－1)d   B.(－1)d

C.   D.d

解析　在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理。根据题意可得第一次做功W＝F1d＝d。第二次做功W＝F2d′＝kd′，联立解得d′＝(－1)d，选项B正确。

答案　B

3.一辆汽车以功率P1在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然减小油门，使汽车的功率减小为P2并继续行驶。若整个过程中阻力恒定不变，汽车发动机的牵引力将(　　)

A.保持不变

B.不断减小

C.突然减小，再增大，后保持不变

D.突然增大，再减小，后保持不变

解析　由P1＝Fv知，当汽车以功率P1匀速行驶时，F＝Ff，加速度a＝0，若突然减小油门，汽车的功率由P1减小到P2，则F突然减小。整个过程中阻力Ff恒定不变，即减小油门后F＜Ff，此时加速度a<0，所以汽车将减速。由P2＝Fv知，此后保持功率P2不变继续行驶，v减小，F增大。当F＝Ff时，汽车不再减速，而以一较小速度匀速行驶，牵引力不再增大。选项C正确。

答案　C

4.机车以下列两种方式启动，且沿直线运动(设阻力不变)。方式①：机车以不变的额定功率启动；方式②：机车的启动功率先随速度均匀增加，后保持额定功率不变。如图给出的四个图像中，能够正确反映机车的速度v随时间t变化的是(　　)

A.甲对应方式①，乙对应方式②

B.乙对应方式①，丙对应方式②

C.甲对应方式①，丙对应方式②

D.丙对应方式①，丁对应方式②

解析　对于方式①：机车以不变的额定功率启动，据P＝Fv可知，随着v的增大，F减小，又由a＝可知加速度减小，在v－t图像上斜率减小，故①对应乙图；对于方式②：机车的启动功率先随速度均匀增加，即先保持牵引力不变，可知加速度不变，当达到额定功率后，牵引力减小，直至牵引力和阻力相等，最后匀速，故方式②对应丙图，故选项B正确。

答案　B

5.(多选)如图所示，是汽车牵引力F和车速倒数的关系图像，若汽车质量为2×103 kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻力恒定，最大车速为30 m/s，则以下说法正确的是(　　)

A.汽车的额定功率为6×104 W

B.汽车运动过程中受到的阻力为6×103 N

C.汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动

D.汽车做匀加速运动的时间是5 s

解析　由图像可知，汽车先做牵引力恒定的匀加速运动，再做功率恒定的变加速运动，P额＝F·v＝2×103×30 W＝6×104 W，A正确，C错误；当汽车速度最大时牵引力F＝f＝2×103 N，B错误；汽车匀加速运动的加速度a＝＝2 m/s2，汽车刚达到额定功率时的速度v′＝＝10 m/s，所以汽车做匀加速运动的时间t＝＝5 s，选项D正确。

答案　AD

能力提升

6.高速连续曝光照相机可在底片上重叠形成多个图像。现利用一架照相机对某家用汽车的加速性能进行研究，如图为汽车做匀加速直线运动时三次曝光的照片，图中汽车的实际长度为2 m，照相机每两次曝光的时间间隔为2.0 s。已知该汽车的质量为1 000 kg，额定功率为90 kW，汽车运动过程中所受的阻力始终为

1 500 N。

(1)试利用图示，求该汽车的加速度大小；

(2)若汽车由静止开始以此加速度做匀加速运动，匀加速运动状态最多能保持多长时间？

(3)汽车所能达到的最大速度是多大？

解析　(1)由题图可得汽车在第1个2.0 s时间内的位移x1＝9 m，第2个2.0 s时间内的位移x2＝15 m

汽车的加速度a＝＝1.5 m/s2。

(2)由F－Ff＝ma得，汽车牵引力

F＝Ff＋ma＝(1 500＋1 000×1.5)N＝3 000 N

汽车做匀加速运动的末速度

v＝＝ m/s＝30 m/s

匀加速运动保持的时间t＝＝ s＝20 s。

(3)汽车所能达到的最大速度

vm＝＝ m/s＝60 m/s。

答案　(1)1.5 m/s2　(2)20 s　(3)60 m/s

7.若汽车的质量为2×103 kg(可视为质点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动(如图甲所示)，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v－t图像如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。求：

(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力Ff1的大小；

(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小。

解析　(1)汽车在AB路段做匀速直线运动，根据平衡条件，有F1＝Ff1

P＝F1v1

解得Ff1＝＝ N＝2 000 N。

(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，有F2＝Ff2，P＝F2v2

解得Ff2＝＝ N＝4 000 N

刚好开过B点时汽车的牵引力仍为F1，根据牛顿第二定律，有Ff2－F1＝ma

解得a＝1 m/s2。

答案　(1)2 000 N　(2)1 m/s2