人教版物理必修第二册同步讲练第8章 机械能守恒定律 3　动能和动能定理 (含解析)

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　动能和动能定理

核心素养目标
物理观念
理解动能的概念及动能定理。
科学思维
经历动能概念的建立过程，提高演绎推理能力，会用动能定理解决力学中的实际问题。
科学态度与责任
感知生活中动能定理的应用，提高理论与实践相结合的能力。

知识点一　动能的表达式
[观图助学]
如图甲所示，是古代战争中攻击城门的战车，战车上装有一根质量很大的圆木，有很多士兵推着以很大的速度撞击城门，轻而易举地将城门撞破。圆木的质量很大，速度很大时，是为了增加圆木的什么能？
　
甲　　　　　　　　　　乙
如图乙所示，人用铁锤打击石头时为什么要用质量较大的铁锤，还要高高抡起来？这样可以增大铁锤打击石头时的什么能？
1.定义：在物理学中用“mv2”这个量表示物体的动能。
2.表达式
Ek＝mv2。
3.单位
在国际单位制中是焦耳，符号为J。1 kg(m/s)2＝1 N·m＝1 J。
[思考判断]
(1)凡是运动的物体都具有动能。(√)
(2)一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化。(√)
(3)动能不变的物体，一定处于平衡状态。(×)
(4)做匀速圆周运动的物体的动能保持不变。(√)
初中学过动能
物体由于运动而具有的能，叫作动能。
质量相同的物体，运动的速度越大，动能越大；运动速度相同的物体，质量越大，动能越大。

动能的“三性”
(1)相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
(2)标量性：动能是标量，没有方向。
(3)瞬时性：动能是状态量。

知识点二　动能定理
1.推导：如图所示，物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生了一段位移l，速度由v1增加到v2，此过程力F做的功为W。

2.内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
3.表达式：W＝Ek2－Ek1。动能定理中的功“W”指合力做的功。
4.适用范围：既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
[思考判断]
(1)合力做正功，物体动能可能减小。(×)
(2)运动物体所受的合外力为零，则物体的动能肯定不变。(√)
(3)物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化。(×)
(4)若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零。(×)
(5)物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化。(√),

Ek2－Ek1是动能的变化，定理中“变化”一词，并不表示动能一定增大，它的确切含义为末态与初态的动能差，或称为“改变量”，数值可正、可负。


核心要点一　对动能和动能定理的理解
1.动能与速度的三种关系
(1)数值关系：Ek＝mv2，质量一定时，速度v越大，动能Ek越大。
(2)瞬时关系：动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系。
(3)变化关系：动能是标量，速度是矢量，质量一定的物体当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化；当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变。
2.对动能定理的理解
(1)对“力”的两点理解
①“力”可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，它们可以同时作用，也可以不同时作用。
②“力”既可以是恒力，也可以是变力。
(2)公式中“＝”体现的三个关系
数量关系
合力做的功与物体动能的变化相等
单位关系
国际单位都是焦耳
因果关系
合力做功是物体动能变化的原因
3.合力做功与动能变化的关系

[试题案例]
[例1] 关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是(　　)
A.合外力为零，则合外力做功一定为零
B.合外力做功为零，则合外力一定为零
C.合外力做功越多，则动能一定越大
D.动能不变，则物体合外力一定为零
解析　由W＝Flcos α可知，物体所受合外力为零，合外力做功一定为零，但合外力做功为零，可能是α＝90°，故选项A正确，B错误；由动能定理W＝ΔEk可知，合外力做功越多，动能变化量越大，但动能不一定越大。动能不变，合外力做功为零，但物体合外力不一定为零，选项C、D均错误。
答案　A
[针对训练1] (多选)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑水平地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则(　　)
A.第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量
B.第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍
C.第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功
D.第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍
解析　第一过程速度增量为Δv1＝v，动能增量为ΔEk1＝mv2，合外力做功W1＝ΔE1＝mv2；第二过程速度增量Δv2＝2v－v＝v，动能增量ΔEk2＝m·(2v)2－mv2＝mv2＝3ΔEk1，合外力做功W2＝ΔEk2＝mv2＝3W1，故选项A、B正确，C、D错误。
答案　AB
核心要点二　动能定理的应用
1.应用动能定理解题的注意事项
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
(2)动能定理的表达式是一个标量方程，但在应用动能定理时，需要明确各力做功的正、负。
2.对动能定理的几点说明
名词
释疑
正负关系
W＞0，ΔEk＞0(动力做功)；W＜0，ΔEk＜0(阻力做功)
研究对象
一般是一个物体，也可以是一个系统
过程要求
适用于全过程，也适用于某一阶段
对应关系
一个过程量(做功)对应着两个状态量(动能)
[试题案例]
[例2] 如图所示装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度s＝5 m，轨道CD足够长，且倾角θ＝37°，A、D两点离轨道BC的高度分别为h1＝4.30 m、h2＝
1.35 m。现让质量为m的小滑块自A点由静止释放，已知小滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：

(1)小滑块第一次到达D点时的速度大小；
(2)小滑块最终停止的位置距B点的距离。
【审题指导】
题干关键点
信息提取
圆弧平滑连接
速度方向变化时大小不变
AB、CD段是光滑的
滑块在斜面上运动时没有摩擦
轨道CD足够长
滑块在右端斜面上滑时直到速度为零
解析　(1)如图所示，小滑块从A→B→C→D过程中，由动能定理得

mg(h1－h2)－μmgs＝mv－0
将h1、h2、s、μ、g代入得vD＝3 m/s。
(2)对小滑块运动全过程应用动能定理，设小滑块在水平轨道上运动的总路程为s总。
有mgh1＝μmgs总
将h1、μ代入得s总＝8.6 m
故小滑块最终停止的位置距B点的距离为2s－s总＝1.4 m。
答案　(1)3 m/s　(2)1.4 m
[例3] 质量为4 t的卡车，由静止出发在水平公路上行驶100 m后速度增大到
54 km/h，若发动机的牵引力为5×103 N不变。则：
(1)牵引力做了多少功？
(2)卡车动能增加了多少？
(3)卡车克服阻力做了多少功？
解析　(1)W＝Fs＝5×103×100 J＝5×105 J。
(2)ΔEk＝mv2－0＝×4×103×152 J＝4.5×105 J。
(3)由动能定理知W合＝ΔEk，即W－W阻＝ΔEk
W阻＝W－ΔEk＝5×105 J－4.5×105 J＝5×104 J。
答案　(1)5×105 J　(2)4.5×105 J　(3)5×104 J
[拓展]　在[例3]中如果汽车速度从54 km/h继续行驶至速度为75.6 km/h，此过程中假设汽车所受牵引力与阻力数值不变，求汽车速度从54 km/h加速至75.6 km/h过程中，汽车前进的距离。
解析　设汽车前进过程中阻力为f，前进位移为s，
由题知W阻＝fs，
即f＝＝ N＝5×102 N。
由动能定理有Fs1－fs1＝mv－mv
将v2＝75.6 km/h＝21 m/s，v1＝54 km/h＝15 m/s代入上式得s1＝96 m。
答案　96 m
方法总结　应用动能定理解题的步骤

[针对训练2] 如图所示，物体从斜坡上A处由静止开始下滑，滑到B处后又沿水平面前进到C处停下。如果物体从A处以一定的初速度v0滑下，求物体停下处D距C多远？(设物体与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g)

解析　物体沿斜面下滑过程中，重力和摩擦力做功，物体沿水平面运动时只有摩擦力做功。
物体从A由静止运动到C处停止的过程中，设摩擦力在AB段、BC段做的功分别为W1、W2，由动能定理得
mghAB＋W1＋W2＝0①
物体从A处以初速度v0滑下到D停止的过程中，设CD段摩擦力做的功为W3
由动能定理得mghAB＋W1＋W2＋W3＝0－mv②
由①②式得W3＝－mv，即－μmgsCD＝－mv
sCD＝。
答案　
[针对训练3] 在[针对训练2]中如果AB的高度差为h，物体质量为m，使物体由C点沿原路返回A点，则外力做的功至少为多少？
解析　物体从A由静止到C处停止的过程中，设摩擦力做的功为Wf，由动能定理得mgh＋Wf＝0①
物体从C至A处速度恰为0时，外力做功最少，设为WF，
由动能定理得WF＋Wf－mgh＝0②
由①②式解得WF＝2mgh。
答案　2mgh

1.质量一定的物体(　　)
A.速度发生变化时其动能一定变化
B.速度发生变化时其动能不一定变化
C.速度变化时其动能一定不变
D.动能不变时其速度一定不变
解析　速度是矢量，速度变化时可能只有方向变化，而大小不变，动能是标量，所以速度只有方向变化时，动能可能不变；动能不变时，只能说明速度大小不变，但速度方向不一定不变，故只有B正确。
答案　B
2.一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在整段时间内，水平力所做的功为(　　)
A.mv2 B.－mv2
C.mv2 D.－mv2
解析　由动能定理得W＝m(－2v)2－mv2＝mv2，选项A正确。
答案　A
3.如图所示，在短道速滑运动中，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲，甲获得更大的速度向前冲出。不计冰面阻力，则在乙推甲的过程中(　　)

A.甲对乙做正功，甲的动能增大
B.甲对乙做正功，乙的动能增大
C.乙对甲做正功，甲的动能增大
D.乙对甲做正功，乙的动能增大
解析　甲对乙的作用力方向向后，与乙的速度方向相反，对乙做负功，乙的动能减小；乙对甲的作用力向前，与甲的速度方向相同，对甲做正功，甲的动能增大，故选项C正确，A、B、D错误。
答案　C
4.如图所示，某人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取

10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为(　　)
A.－4 000 J B.－3 800 J
C.－5 000 J D.－4 200 J
解析　由动能定理有mgh＋Wf＝m(v2－v)，解得
Wf＝－mgh＋m(v2－v)＝－3 800 J，故B正确。
答案　B
5.(2018·全国卷Ⅱ，14)如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定(　　)

A.小于拉力所做的功 B.等于拉力所做的功
C.等于克服摩擦力所做的功 D.大于克服摩擦力所做的功
解析　由动能定理WF－WFf＝Ek－0，可知木箱获得的动能一定小于拉力所做的功，A正确。
答案　A
6.半径R＝1 m 的圆弧轨道下端与一光滑水平轨道连接，水平轨道离地面高度h＝1 m，如图所示，有一质量m＝1.0 kg的小滑块自圆弧轨道最高点A由静止开始下滑，经过水平轨道末端B时速度为4 m/s，滑块最终落在地面上(g取10 m/s2)，试求：

(1)不计空气阻力，滑块落在地面时速度的大小；
(2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功。
解析　(1)从B点到地面这一过程，只有重力做功，根据动能定理有
mgh＝mv2－mv，
代入数据解得v＝6 m/s。
(2)设滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功为WFf，对滑块从A到B这一过程运用动能定理有
mgR－WFf＝mv－0，
解得WFf＝2 J。
答案　(1)6 m/s　(2)2 J

基础过关
1.改变汽车的质量和速率，都能使汽车的动能发生变化，在下面几种情况中，汽车的动能是原来的2倍的是(　　)
A.质量不变，速率变为原来的2倍
B.质量和速率都变为原来的2倍
C.质量变为原来的2倍，速率减半
D.质量减半，速率变为原来的2倍
解析　由Ek＝mv2知，m不变，v变为原来的2倍，Ek变为原来的4倍。同理，m和v都变为原来的2倍时，Ek变为原来的8倍；m变为原来的2倍，速率减半时，Ek变为原来的一半；m减半，v变为原来的2倍时，Ek变为原来的2倍，故选项D正确。
答案　D
2.关于动能定理，下列说法中正确的是(　　)
A.在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
B.只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
C.动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D.动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况
解析　外力做的总功等于各个力单独做功的代数和，选项A错误；根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，选项B错误；动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况，选项C错误，D正确。
答案　D
3.两个物体质量之比为1∶4，速度大小之比为4∶1，则这两个物体的动能之比为(　　)
A.1∶1 B.1∶4
C.4∶1 D.2∶1
解析　由动能表达式Ek＝mv2得＝·＝×＝4∶1，C正确。
答案　C
4.(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中速度的变化和动能的变化分别是(　　)
A.Δv＝10 m/s B.Δv＝0
C.ΔEk＝1 J D.ΔEk＝0
解析　弄清速度的变化是矢量而动能的变化是标量，是分析问题的关键。由于速度是矢量，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s。而动能是标量，初、末状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0，故选项A、D正确。
答案　AD
5.有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是(　　)

A.木块所受的合力为零
B.因木块所受的力对其都不做功，所以合力做的功为零
C.重力和摩擦力的合力做的功为零
D.重力和摩擦力的合力为零
解析　物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误。
答案　C
6.如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法或表达式正确的是(　　)

A.对物体，动能定理的表达式为WN＝mv，其中WN为支持力做的功
B.对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功
C.对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝mv－mv
D.对电梯，其所受合力做功为Mv－Mv－mgH
解析　物体受重力和支持力作用，根据动能定理得WN－mgH＝mv－mv，故选项C正确，A、B错误；对电梯，合力做功等于电梯动能的变化量，故选项D错误。
答案　C
7.一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行s1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s 的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离s2应为(　　)
A.6.4 m B.5.6 m
C.7.2 m D.10.8 m
解析　急刹车后，水平方向上汽车只受摩擦阻力的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零，由动能定理可得 －FFf s1＝0－mv①，－FFf　s2＝0－mv②，②式除以①式得＝。故汽车滑行距离s2＝s1＝×3.6 m＝6.4 m，选项A正确。
答案　A
8.如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R。一质量为m的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，重力加速度为g，当它由轨道顶端A从静止下滑时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力做功为(　　)

A.μmgR B.mgR
C.mgR D.(1－μ)mgR
解析　设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，物体从A到C的全过程，根据动能定理有mgR－WAB－μmgR＝0，所以有WAB＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR，选项D正确。
答案　D
9.如图所示，用与水平方向成θ角的恒力F，将质量为m的物体由静止开始从A点拉到B点后撤去力F，若物体和地面间的动摩擦因数为μ，A、B间的距离为x，重力加速度为g。求：

(1)从A到B的过程中力F做的功W；
(2)物体在运动过程中的最大动能；
(3)物体的最大滑行距离。
解析　(1)由功的公式可求得W＝Fxcos θ。
(2)由题意知：物体在AB段做加速运动，在B点有最大动能，在AB段Ff＝μFN＝μ(mg－Fsin θ)，
对物体从A点到B点的过程应用动能定理
Fxcos θ－μ(mg－Fsin θ)x＝Ek－0，
即物体在运动过程中的最大动能
Ek＝Fx(cos θ＋μsin θ)－μmgx。
(3)撤去力F后，物体所受摩擦力变为μmg，设物体从B点到停止运动的位移为l，则－μmgl＝0－Ek
物体的最大滑行距离
x总＝l＋x＝。
答案　(1)Fxcos θ　(2)Fx(cos θ＋μsin θ)－μmgx (3)
能力提升
10.一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示。则力F所做的功为(　　)

A.mglcos θ B.Flsin θ
C.mgl(1－cos θ) D.Fl(1－sin θ)
解析　小球的运动过程是缓慢的，因而小球任何时刻均可看作是平衡状态，力F的大小在不断变化，F做功是变力做功。小球上升过程只有重力mg和F这两个力做功，由动能定理得－mg(l－lcos θ)＋WF＝0，所以WF＝mgl(1－cos θ)。选项C正确。
答案　C
11.如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点。在从A到B的过程中，物块(　　)

A.加速度先增大后减小
B.经过O点时的速度最大
C.所受弹簧弹力始终做正功
D.所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
解析　当合外力为零时，弹簧处于压缩状态，弹力等于滑动摩擦力，这一位置在O点的左侧，此时加速度为0，速度最大，选项A、B错误；弹簧弹力先做正功后做负功，选项C错误；从A位置到B位置，动能变化量为零，外力所做的总功也应当为零，而整个过程只有弹簧弹力和摩擦力对物块做功，即弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功，故选项D正确。
答案　D
12.如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换为质量为3m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球B下降h时的速度为(重力加速度为g，不计空气阻力)(　　)

A. B.
C. D.
解析　小球A下降h过程，根据动能定理，有mgh－W1＝0；小球B下降过程，由动能定理有3mgh－W1＝×3mv2－0，解得v＝，故B正确。
答案　B
13.如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的小球(可视为质点)自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的压力为2mg，重力加速度大小为g。小球自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(　　)

A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
解析　在Q点，FN－mg＝，所以v＝；由P到Q根据动能定理得mgR－WFf＝mv2，解得WFf＝mgR，故C正确。
答案　C
14.如图所示，AB为固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道的B点与水平地面相切，其半径为R。质量为m的小球由A点静止释放，重力加速度为g。求：

(1)小球滑到最低点B时，小球速度v的大小；
(2)小球通过光滑的水平面BC滑上固定曲面，恰到达最高点D，D到地面的高度为h(已知h＜R)，则小球在曲面上克服摩擦力所做的功WFf。
解析　(1)小球从A滑到B的过程中，
由动能定理得：mgR＝mv－0
解得vB＝。
(2)从A到D的过程，由动能定理可得
mg(R－h)－WFf＝0－0，
解得克服摩擦力做的功WFf＝mg(R－h)。
答案　(1)　(2)mg(R－h)