2022-2023学年山东省烟台市蓬莱区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市蓬莱区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列等式，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列二次根式中可以和相加合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列四个命题说法正确的是(    )

A. 一组对角相等的平行四边形是矩形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C. 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形
D. 对角线相等的四边形是矩形

6.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  距考试还有天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了份留言，该小组共有(    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

9.  若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，矩形的顶点与原点重合，点，分别在轴，轴上，点的坐标为，点为边上一动点，连接，若线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在边上的点处，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  已知方程的两个实数根分别为，，则的值为______ ．

12.  关于的方程的解是，，均为常数，，则方程的解是______．

13.  对于任意两个和为正数的实数、，定义运算如下：，例如那么 ______ ．

14.  按一定规律排列的一列数：，，，，其中第个数为______ ，第个数为______ ．

15.  已知关于方程的有两个实数根，则的取值范围是______．

16.  如图，在正方形中，，为边上一点，为对角线上一动点不与点、重合，过点分别作于点、于点，连接、，当运动到中点时，的长度为______ ；在运动过程中，的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  阅读下面解题过程，并回答问题．
化简：
解：由隐含条件，得

原式


按照上面的解法，试化简：．

四、解答题（本大题共6小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：
；
 

19.  本小题分
用指定的方法解方程：
用配方法；
用公式法；
用因式分解法；
用适当的方法．

20.  本小题分
已知关于的方程，
若方程有实数根，求的取值范围；
是否存在这样的实数，使方程的两根，满足，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
年月日至日，第届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家喜爱，某超市在今年月份销售“冰墩墩”个，“冰墩墩”十分畅销，、月份销量持续走高，在售价不变的基础上，月份销售量达到了个．
求“冰墩墩”、月这两个月销售量的月平均增长率；
若“冰墩墩”每个进价元；原售价每个元，该超市在今年月进行降价促销，经调查发现，在月的基础上，若“冰墩墩”每个降价元，销售量可增加个，求出当每个售价为多少元时，出售“冰墩墩”在月份利润可达到元？

22.  本小题分
阅读材料，解决问题．
材料：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式如，我们称与互为有理化因式．
材料：利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．
问题：
与是否是互为有理化因式？并说明理由；
分母有理化：；
化简．

23.  本小题分
在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随着点的位置变化而变化．

如图，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是______，与的位置关系是______；
当点在菱形外部时，中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由选择图，图中的一种情况予以证明或说理；
如图，当点在线段的延长线上时，连接，若，，求四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用二次根式的性质以及二次根式加减运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次的整式方程，叫一元二次方程．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不能化简，不合题意，故A错误；
B、，符合题意，故B正确；
C、，不合题意，故C错误；
D、不合题意，故D错误；
故选：．
先化简二次根式，再根据被开方数相同进行解答即可．
本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、一组对角相等的平行四边形不一定是矩形，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，是假命题，不符合题意；
C、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
如图所示，在菱形中，、、、分别是，，，的中点，
是的中位线，
，
同理得，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；

D、对角线相等的四边形不一定是矩形，也有可能是等腰梯形，是假命题，不符合题意；
故选C．
根据矩形的判定定理逐一判断即可．
本题主要考查了判断命题真假，矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：

，，
原式．
故选：．
把写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含的形式．
本题考查了二次根式的化简及积的算术平方根的性质．积的算术平方根的性质：
 

7.【答案】 

【解析】解：令菱形的对角线分别为：，，
一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，
，，
菱形的对角线互相垂直平分，
菱形的边长为：



，
则菱形的周长为：．
故选：．
令菱形的对角线分别为：，，由根与系数的关系可得，，再由菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求得菱形的边长，从而可求解．
本题主要考查根与系数的关系，菱形的性质，解答的关键是熟记根与系数的关系及菱形的性质：对角线互相垂直平分．
 

8.【答案】 

【解析】解：设该小组共有人，则每人需写份拼搏进取的留言，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
该小组共有人．
故选：．
设该小组共有人，则每人需写份拼搏进取的留言，根据小明所在的小组共写了份留言，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两个根分别是与，
，
解得，
方程的两根为、，
，
，
则，
故选：．
根据方程的特点知，据此得出的值，继而得出两根的具体数值，代入得出答案．
本题主要考查解一元二次方程直接开平方法，解题的关键是掌握利用直接开平方法求解的一元二次方程的特点．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的运用，解题时注意：全等三角形的对应边相等．先判定≌，可得，设，则，依据，可得，进而得到，据此可得．
【解答】
解：由题可得，，，

由旋转可得，，，
又，
，
，
≌，
，
设，则，
，
，
解得，
，
，
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：方程的两个实数根分别为，，
，，
，
原式

，
故答案为：．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

12.【答案】， 

【解析】解：关于的方程的解是，，均为常数，，
方程变形为，即此方程中或，
解得或．
故答案为：，．
把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解．
此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据题目所给的信息，找出规律，按题目中的运算法则求解即可．
本题考查了二次根式的除法，解答本题的关键是找出题目给出的运算法则．
 

14.【答案】  

【解析】解：，，，，
第六个数为：，

第个数为：．
故答案为：，．
给这列数编号，找规律，观察分子分母与编号之间的关系，然后代入即可．
本题主要考查二次根式的化简及找规律解决问题，熟练掌握找规律的方法并用代数式总结规律以及二次根式的化简是解决本题的关键．
 

15.【答案】且 

【解析】解：关于方程的有两个实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为和被开方数．
本题考查了二次根式有意义的条件，根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：如图，连接、，

，，，
四边形为矩形，
，
四边形是正方形，为中点，
，，
点，，三点共线，
，
，，
，
；
四边形是正方形，
由正方形的对称性可得，
，
，
当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，如图：

，，
，
，
的最小值为，
故答案为：；．
连接、，证明四边形为矩形，得，根据正方形的性质，可得点，，三点共线，从而得到；连接、，由四边形为矩形，得，由正方形的对称性得，即知，故当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，由，，根据勾股定理可得，即可求解．
本题考查正方形的性质，掌握正方形中的动点问题，把求的最小值问题转化成求的长是解题的关键．
 

17.【答案】解：由隐含条件，得，
则，
所以原式


． 

【解析】根据二次根式存在的条件得到，解得，得到，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义得到原式，去括号合并即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：；．
 

18.【答案】解：


；


． 

【解析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
先计算二次根式的乘法，零指数幂和绝对值，再算加减，即可解答；
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
所以，；
，
，
，，，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，；
，
方程化为一般式为，
，
或，
所以，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
先把方程化为一般式得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
 

20.【答案】解：当时，方程为，方程有实数根；
当时，方程为一元二次方程，
，
解得：．
所以的取值范围是：．
根据题意得：
，，
因为，
所以，
解这个方程得：．
经检验：是方程的解，
又因为，
所以存在实数，使方程的两根、满足，此时． 

【解析】根据方程有实数根，分为两种情况：和，利用，即可得到答案；
根据题意分别得到和的值，进而代入中建立关于的方程，求得的值并检验即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
 

21.【答案】解：设“冰墩墩”、这两个月销售量的月平均增长率为，则：，
，
，
舍，，
答：“冰墩墩”、这两个月销售量的月平均增长率为．
设当“冰墩墩”每个降价元，则：，
整理得：，
解得：舍，，
答：当“冰墩墩”每个降价元时，出售“冰墩墩”在月份可获利元． 

【解析】由月份的销售量月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可；
设“冰墩墩”每个降价元，则每个“冰墩墩”的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润每包的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
与不是互为有理化因式；



；
原式
． 

【解析】求出两个式子的积即可得到答案；
根据阅读材料分母有理化即可；
分母有理化，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
 

23.【答案】；；
 结论仍然成立．

理由：选图，连接交于，设交于．
四边形是菱形，，
，都是等边三角形，，
，，
是等边三角形，
，，
．
，
≌，
，，
，
，
，即．
选图，连接交于，设交于．
四边形是菱形，，
，都是等边三角形，，
，，
是等边三角形，
，，
．
，
≌，
，，
，
，
，即；

≌，

由可知，，
在菱形中，，
，
，，
在中，，
，
与是菱形的对角线，
，，
，
，，
，
在中，，
． 

【解析】解：如图中，结论：，．
理由：连接．

四边形是菱形，，
，都是等边三角形，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
延长交于，
，
，
，即．
故答案为，．
见答案；
见答案．

如图中，结论：，连接，想办法证明≌即可解决问题；
结论仍然成立．证明方法类似；
首先证明≌，解直角三角形求出，，即可解决问题；
本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．