2022-2023学年广东省佛山市南海区桂江一中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市南海区桂江一中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式，，，，，，，其中分式有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，在平行四边形中，下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

7.  如图，已知直线与轴交于点，和直线交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下列命题是假命题的是(    )

A. 到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
B. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
C. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形
D. 三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等

9.  如图，已知中，，，，将绕直角顶点顺时针旋转得到若点是的中点，连接，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平行四边形中，为上一点，且，，，，则下列结论：；平行四边形周长是；；，正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  正五边形每个外角的度数是______．

13.  已知，则的值为______ ．

14.  如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长等于______ ．

15.  某电器商场促销，海尔某型号冰箱的售价是元，进价是元，商场为保证利润率不低于，则海尔该型号冰箱最多降价______元．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组，并写出它的整数解．

17.  本小题分
解方程：．

18.  本小题分
先化简，然后从中取一个合适的整数作为的值代入求值．

19.  本小题分
如图，已知三个顶点的坐标分别是，，．
画出向下平移个单位长度后得到的，并写出点，的坐标；
画出绕点逆时针旋转所得到的，并求出的面积．

20.  本小题分
如图，▱中，对角线、交于，点、分别是、的中点．
求证：；
若，，时，求的长．

21.  本小题分
某单位需购买甲、乙两种消毒剂，经了解，这两种消毒剂的价格都有零售价和批发价若按批发价，则每种消毒剂购买的数量不少于桶，零售时甲种消毒剂每桶比乙种消毒剂多元，已知购买两种消毒剂各桶所需费用分别是元、元．
求甲、乙两种消毒剂的零售价；
该单位预计批发这两种消毒剂桶，且甲种消毒剂的数量不少于乙种消毒剂数量的，甲、乙两种消毒剂的批发价分别为元桶、元桶．设甲种消毒剂批发数量为桶，购买资金总额为元，请写出与的函数关系式，并求出的最小值和此时的购买方案．

22.  本小题分
阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例：“两两分组”：．
解：原式

．
例：“三一分组”：．
解：原式

．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
分解因式：
；
；
已知的三边，，满足，试判断的形状．

23.  本小题分
如图，在四边形中，，，延长到，使，连接，由直角三角形的性质可知动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．
当时，______；
当______时，点运动到的角平分线上；
请用含的代数式表示的面积；
当时，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：
判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；
判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：分式有：，，，共个．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
 

3.【答案】 

【解析】解：，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B.，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意；
C.，是因式分解，故此选项符合题意；
D.，故此选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错．
 

4.【答案】 

【解析】解：平行四边形的对角线互相垂直则是菱形；
故AC是错误的，
故选：．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故D错误．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的相关知识点是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
解得：，
故选：．
分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得关于的不等式，解之可得．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题可得，且，
解得，
故选：．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
本题主要考查了分式的值为的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图形可知，当，，
所以，关于的不等式的解集是．
故选：．
根据图形，找出在轴上方且直线直线方部分的的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，是真命题；
B、一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
C、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，是真命题；
D、三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，是真命题；
故选：．
根据线段垂直平分线的的判定定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定定理和角平分线的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示：取的中点，连接．

由旋转的性质可知：，，
，．
．
点为的中，点为的中点，
，．
又，
．
在中，依据勾股定理可知．
故选：．
取的中点，连接依据旋转的性质知，，则，由是的中点可求得，然后利用三角形的中位线定理可得到，最后在中依据勾股定理求解即可．
本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、三角形中位线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，故正确；
，
，
平行四边形周长，故正确；
，，
，故正确；
在中，
，，
，
，
，故正确．
综上所述：正确的结论有，共个．
故选：．
根据平行四边形的性质进行逐一判断即可．
此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定，含度角的直角三角形，关键是根据等腰三角形的性质得出解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
找到公因式，用提公因式法分解即可．
本题考查了因式分解的提公因式法，确定公因式是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用正五边形的外角和等于度，除以边数即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
两边同乘得：，
即，
则

，
故答案为：．
将已知条件整理可得，然后代入中计算即可．
本题考查求分式的值，结合已知条件求得是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作于，
是的角平分线，，，
，
，
．
故答案为：．
作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设海尔该型号冰箱降价元，根据题意可得：
，
解得：，
答：海尔该型号冰箱最多降价元．
故答案为：．
直接利用利润率利润进价，进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
 

16.【答案】解：，
由得到：，
由得到：，
解集为，它的整数解为，，，． 

【解析】分别解出两个不等式的解，进而求出不等式组的解集，再写出整数解即可．
本题考查了不等式组的解法，特殊解，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
 

17.【答案】解：原方程即：．
方程两边同时乘以，
得．
化简，得  ．
解得：．
检验：时，，即不是原分式方程的解，
则原分式方程无解． 

【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
 

18.【答案】解：原式


，
，，
，；
当时，． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则进行计算．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求，点，．

如图所示，即为所求，其中的面积为． 

【解析】将三个顶点分别向下平移个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可得；
将点、分别绕点逆时针旋转得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可得．
本题主要考查作图旋转变换与平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得到其变换后对应点．
 

20.【答案】证明：如图，连接、．
四边形是平行四边形，
，，
，为，的中点，
，
与互相平分，
四边形为平行四边形．
；

解：，点是的中点，
是斜边上的中线，
．
在直角中，由勾股定理得到：．
又，
． 

【解析】在平行四边形中，与互相平分，，，又，为，的中点，所以，所以与互相平分，所以四边形为平行四边形；
根据直角三角形斜边上中线的性质得到，然后在直角中，利用勾股定理求得的长度，则．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质和勾股定理，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
 

21.【答案】解：设甲种消毒剂的零售价是元桶，则乙种消毒剂的零售价是元桶，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：甲、乙两种消毒剂的零售价分别为元桶，元桶；
由题意可得，
，
甲种消毒剂的数量不少于乙种消毒剂数量的，
，
解得，，
当时，取得最小值，此时，，
答：与的函数关系式是，的最小值是，此时的购买方案是购买甲种消毒剂瓶，乙种消毒剂瓶． 

【解析】根据购买两种消毒剂各桶所需费用分别是元、元，可以得到相应的分式方程，从而可以得到甲、乙两种消毒剂的零售价，注意分式方程要检验；
根据题意可以得到与的函数关系式，然后根据该单位预计批发这两种消毒剂桶，且甲种消毒剂的数量不少于乙种消毒剂数量的，可以得到的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到的最小值和此时的购买方案．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
 

22.【答案】解：


；



；
，
，
，
，
，，是的三边，
，
，
，
即是等腰三角形． 

【解析】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：，平方差公式是解题关键．
将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；
将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
 

23.【答案】   

【解析】解：，
故答案为：；
作的角平分线交于，

，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，解得．
当时，点运动到的角平分线上；
故答案为：；
根据题意分种情况讨论：
当点在上运动时，
；；
当点在上运动时，
；；
当点在上运动时，
；；
当时，点在、边上运动，
根据题意分情况讨论：
当点在上，点到四边形相邻两边距离相等，
点到边的距离为，
点到边的距离也为，
即，
，解得；
当点在上，点到边的距离为，
点到边的距离也为，

，
，
，解得；
当点在上，如图，过点作于点，
点到、边的距离相等，
即，
，
，
，
解得．

综上所述：或或时，点到四边形相邻两边距离相等．
根据题意可得，进而可得结果；
根据，可得四边形是矩形，根据角平分线定义可得，得，进而可得的值；
根据题意分种情况讨论：当点在上运动时，当点在上运动时，当点在上运动时，分别用含的代数式表示的面积即可；
当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论：当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，当点在上，点到边的距离为，但点到、边的距离都小于，进而可得当或时，点到四边形相邻两边距离相等．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．