2023年福建省福州八中中考数学三模试卷（含解析）

2023年福建省福州八中中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数，，，中，最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是米．将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列几何体中，俯视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知关于的方程的两个根为，，则二次三项式可分解为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列为某班级研究性学习小组学员出勤次数如表所示，则小组学员出勤次数的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用元购买的套数只比第有批少套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，图中圆内接正六边形的周长，则再利用图圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  已知直线与双曲线交于、两点，则的值(    )

A. 与有关，与无关 B. 与无关，与有关
C. 与、都无关 D. 与、都有关

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  某班从甲、乙、丙三位选手中随机选取两人参加校体能测试，恰好选中甲、乙两位手的概率是______ ．

13.  若反比例函数的图象在每一个象限内从左到右上升，则实数的值可以是______ 只需写出一个符合条件的实数．

14.  在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为______ ．

 

15.  如图，为半圆的直径，为半圆上一点，以，为边作平行四边形若与半圆相切于点，，则图中阴影部分的面积为______．

16.  如图，点在边长为正方形的边上且点不与点，重合，线段是线段绕着点顺时针旋转得到，连接，有下列结论：；；；的面积的最大值为其中正确结论的序号是______ 把正确结论的序号都填上

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，四边形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，四边形是正方形，且求证：四边形是菱形．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
某公司共有、、三个部门，根据每个部门的员工人数和相应每人所创的年利润绘制成如下的统计表和扇形图
            各部门人数及每人所创年利润统计表

在扇形图中，部门所对应的圆心角的度数为______；
在统计表中，______，______；
求这个公司平均每人所创年利润．

21.  本小题分
如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点，．
求作点要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
若，求的值．

22.  本小题分
某工厂投资组建了日废水处理量为吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理已知该车间处理废水时每天需固定成本元，并且每处理一吨废水还需费用元，若该车间在无法完成当天工业废水的处理任务时，需将超出吨的部分交给第三方企业处理如图所示为该厂日废水处理总费用元与该厂日产生的工业废水吨之间的函数关系图象．
求关于的函数关系式；
为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得该厂日废水处理的平均费用不超过元吨，求该厂日产生的工业废水量的范围．

23.  本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，与过点的切线互相垂直，垂足为．
求证：平分；
若，求的值．

 

24.  本小题分
为等边三角形，，于点，为线段上一点，以为边在直线右侧构造等边三角形，连接，为的中点．
如图，与交于点，连接，求线段的长；
如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，为线段的中点，连接，当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论；
连接，在绕点逆时针旋转过程中，当线段最大时，请直接写出的面积．
 

25.  本小题分
综合与探究：如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点连接，，点是该二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为．

求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
如图，若点只在第三象限运动，过点作直线交轴于点当线段长度最大时，求的值；
在轴左侧抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
在实数，，，中，最小的实数是，
故选：．
根据正数大于，大于负数进行比较、求解．
此题考查了实数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
 

2.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了利用轴对称设计图案和利用旋转设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
B.俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C.俯视图是矩形，故本选项不合题意；
D.俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：．
根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故A选项符合题意；
B.，故B选项不符合题意；
C.，故C选项不符合题意；
D.，故选项D不符合题意．
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，负整数指数幂的性质分别计算可判定求解．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，负整数指数幂，掌握相关性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程的两个根为，，
二次三项式，
，，
则．
故选A
由方程的两个根为，，将多项式分解因式，求出与的值，确定出所求多项式，利用十字相乘法分解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．弄清题意是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组数据出现次数最多的是，
所以众数为，
这组数据共个，其中第、个数据分别为、，
所以这组数据的中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题考查众数、中位数的定义，解题的关键是记住众数、中位数的定义，属于基础题，中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，
依题意得：．
故选：．
设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，利用数量总价单价，结合第二批购买的套数比第一批少套，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：十二边形是圆内接正十二边形，
，
，，
，，
在中，，
，
，
圆内接正十二边形的周长，
故选：．
先求出圆内接正十二边形的中心角，然后利用等腰三角形的性质可得，，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出，进而求出，最后进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的应用，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：，即，由于两根为，，根据根与系数的关系可得，
与、都无关．
故选：．
根据与双曲线有交点，列出一元二次方程，利用根与系数的关系即可求解．
本题应先整理成一元二次方程的形式，然后根据根与系数的关系求解．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
先提公因式，分解成，而可利用平方差公式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
【解答】
解：．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位手的结果有种，
恰好选中甲、乙两位手的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位手的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
所以符合．
故答案为：答案不唯一．
根据“图象在其每一个象限内从左到右上升，即的值随值的增大而增大”得，即可得答案．
本题考查反比例函数的性质：当时，图象在每个象限内，的值随的值的增大而增大．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图可得，
甲烷分子结构式中“”的个数是；
乙烷分子结构式中“”的个数是；
丙烷分子结构式中“”的个数是；
，
第个壬烷分子结构式中“”的个数是：；
故答案为：．
根据题目中的图形，可以发现“”的个数的变化特点，然后即可写出第个壬烷分子结构式中“”的个数．
本题考查图形类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现“”的个数的变化特点．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

与半圆相切于点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，
．
故答案为：．
作辅助线，构建直角三角形，先由勾股定理可得：，根据面积差可得阴影部分的面积．
此题考查了切线的性质、圆周角定理、平行四边形的性质、扇形面积公式等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，过点作交于，
线段是线段绕着点顺时针旋转得到，
，，
四边形是正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，，
又，，
≌，
，，
，
，故正确；
，，
，
，
，故正确；
≌，
，
，
的面积的最大值为，故错误；
，
当时，，故错误；
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可证，可得，故正确；由角的数量关系可证，故正确；由三角形的面积公式可得，可得的面积的最大值为，故错误；当时，，故错误；即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用负整数指数幂的运算、绝对值的运算法则、特殊角的三角函数值求值即可．
本题考查了实数的运算，做题关键是掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值．
 

18.【答案】证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】先根据正方形的性质得出，，，继而得出，于是根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．
本题考查了正方形的性质，菱形的判定，熟知：正方形的对角线互相垂直且平分；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
 

19.【答案】解：原式


；
把代入上式，
原式． 

【解析】根据分式的加减运算法则进行化简，在把代入计算即可得出答案．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值的方法进行求解是解决本题的关键．
 

20.【答案】；，；
这个公司平均每人所创年利润为：万元． 

【解析】

解：在扇形图中，部门所对应的圆心角的度数为：；
部门的员工人数所占的百分比为：，
各部门的员工总人数为：人，
，，
故答案为：，，；
见答案．
【分析】
根据扇形圆心角的度数部分占总体的百分比进行计算即可；先求得部门的员工人数所占的百分比，进而得到各部门的员工总人数，据此可得，部门的人数；
根据总利润除以总人数，即可得到这个公司平均每人所创年利润．
本题主要考查了扇形统计图以及平均数的计算，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，用整个圆的面积表示总数单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．  

21.【答案】解：如图，点即为所作．

四边形是矩形，
，，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
又，
，
，
，
．
． 

【解析】以点为圆心，为半径画弧，以为圆心、为半径画弧，两弧的交点即为点；
先根据矩形的性质得出，根据折叠的性质可得，从而可得，再根据含度的直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得．
本题考查了矩形与折叠问题、折叠的性质、含度的直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．
 

22.【答案】解：根据题意得：当时，；
在中，令得，
设当时，关于的函数关系式为，
把，代入得：，
解得，
当时，关于的函数关系式为；
综上所述，；
当时，，
解得；
此时；
当时，，
解得，
此时，
综上所述，该厂日产生的工业废水量的范围是． 

【解析】根据题意当时，；令得，设当时，关于的函数关系式为，再用待定系数法可得答案；
分两种情况列出不等式可解得答案．
本题考查一次函数的应用和不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式及分类讨论思想的应用．
 

23.【答案】解：证明：连接，如图，

为切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
连接，如图，
为直径，
，
，，
，
，，
而，
，
设，，
，，
∽，
：：，即：：，
整理得，解得或舍去，
，
即的值为． 

【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和锐角三角函数的定义．
连接，如图，根据切线的性质得到，则可判断，从而得到，然后利用得到；
连接，如图，利用圆周角定理得到，再证明，利用三角函数的定义得到，，则，设，，证明∽，利用相似比得到：：，然后求出、的关系可得到的值．
 

24.【答案】解：如图中，连接，．

是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
，是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
，，
．
结论：是定值．

理由：连接，同法可证≌，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
如图中，取的中点，连接，、．

，，
，
，
，
，
当点在的延长线上时，的值最大，如图中，过点作于，设交于，连接．

，，
，
在中，，，
，
． 

【解析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
如图中，连接，解直角三角形求出，再利用全等三角形的性质证明，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
结论：是定值．利用全等三角形的性质证明，再利用三角形的中位线定理，三角形的外角的性质证明即可．
如图中，取的中点，连接、、首先证明当点在的延长线上时，的值最大，如图中，过点作于，设交于，连接解直角三角形求出即可解决问题．
 

25.【答案】解：令，
解得：，，
，，
令，则，
．
设直线的解析式为，
，解得：，
为：；
，为：；
设为，
，
，
，
为，
，
，
当时，最大，最大值为．
如图，作，则，

过作于，与轴的交点为，
，
，，，，
由勾股定理可得：，
设直线为，
当时，则，解得：，
，
，，
由，
，
，
解得：，经检验符合题意；
直线为，
，
解得：舍去或，
． 

【解析】令，解得：，，令，则，再利用待定系数法求解的解析式，从而可得答案；
先求解为，可得，则，再利用二次函数的性质解答即可；
如图，作，则，过作于，与轴的交点为，证明，，，，由勾股定理可得：，设直线为，当时，则，解得：，由，则，再利用方程求解即可．
本题考查的是求解二次函数与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，求解一次函数与二次函数的交点坐标，灵活的应用以上知识解题的关键．