2022-2023学年陕西省西安市周至四中高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市周至四中高一（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共12小题，共60分）

1.  复数的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个袋子中装有大小和质地相同的个红球和个白球，若从中任取个球，则这个球中红球和白球各有个的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列命题正确的是(    )

A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面

5.  已知，且，则向量与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某奶制品工厂某天甲、乙、丙、丁四类奶制品的产量分别为盒、盒、盒、盒．若按产量比例用分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，则样本中乙类奶制品的数量为(    )

A. 盒 B. 盒 C. 盒 D. 盒

8.  若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知复数，，则(    )

A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限
C.  D.

10.  某品牌手机年月到月期间的月销量单位：百万台数据的折线图如图，根据该折线图，下列结论正确的是(    )

A. 上半年的月销售量逐月增加
B. 与前一个月相比，销售量增加最多的是月
C. 全年的平均月销售量为百万台
D. 四个季度中，第三季度的月销售量波动最小

11.  从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是(    )

A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”

12.  已知个数据的第百分位数是，则下列说法正确的是(    )

A. 这个数据中一定有个小于或等于
B. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据
C. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数
D. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数

二、填空题（本题共4小题，共20分）

13.  已知甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为和，且甲、乙两人射击的结果互不影响，若甲、乙两人各射击一次，则两人都中靶的概率为______．

14.  袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“中、华，民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下组机数：

由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为______．

15.  已知，是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为          ．

16.  若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是______．

三、简答题（本题共6小题，共70分）

17.  已知是虚数单位，．
Ⅰ求；
Ⅱ若复数的虚部为，且的虚部为，求．

18.  随着“互联网交通”模式的迅猛发展，“共享单车”在很多城市相继出现某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了名用户，得到用户的满意度评分分别为，，，，，，，，．
计算样本的平均数和方差；
在条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”试估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比．
参考数据：．

19.  已知向量，满足：，，
求向量与的夹角
求

20.  从某校高一年级学生中随机抽取了名学生，将他们的数学检测成绩分分成六段满分分，成绩均为不低于分的整数：，，，后，得到如图所示的频率分布直方图．

Ⅰ求图中实数的值；
Ⅱ若该校高一年级共有学生名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于分的人数．

21.  如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点是的中点．
求证：；  
求证：平面．

22.  在中，内角、、的对边分别为，，，．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，求：
(ⅰ)边长；
的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

利用复数的虚部的意义即可得出．
熟练掌握复数的虚部的意义是解题的关键．

【解答】

解：复数的虚部是．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：一个袋子中装有大小和质地相同的个红球和个白球，
从中任取个球，
基本事件总数，
这个球中红球和白球各有个包含的基本事件个数．
则这个球中红球和白球各有个的概率为．
故选：．
从中任取个球，基本事件总数，这个球中红球和白球各有个包含的基本事件个数由此能求出这个球中红球和白球各有个的概率．
本题考查概率的求法，考査古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：向量，且，
，
解得．
故选：．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于选项A：当三点共线时，不能确定一个平面，故错误．
对于选项B：当该点在直线上时，不能确定一个平面，故错误．
对于选项C：由于梯形由两条对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故正确．
对于选项D：当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故错误．
故选：．
直接利用平面的性质的应用，共面的条件的应用求出结果．
本题考查的知识要点：平面的性质的应用，共面的条件的应用，主要考查学生对定义的理解和应用，属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：，且，
，且，
．
故选：．
根据向量夹角的余弦公式可求出的值，然后根据向量夹角的范围即可求出的值．
本题考查了向量夹角的范围，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，根据余弦定理可得，
，
故选：．
直接根据余弦定理即可求出．
本小题主要考查余弦定理等基础知识；考查运算求解能力及应用意识；考查化归与转化等思想方法．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．
根据分层抽样原理计算所抽取样本量中乙类奶制品的数量即可．
【解答】
解：根据题意知，；
用分层抽样法抽取样本量为的样本时，乙类奶制品的数量为
盒．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．
正方体的体对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．

【解答】

解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径，
所以，
所以，．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
由已知分别利用复数代数形式的四则运算及复数模的求法逐一核对四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的四则运算，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
【解答】
解：，，
是纯虚数，故A正确；
，对应的点的坐标为，位于第四象限，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：对于选项A：月销售量为百万台，月销售量为百万台，显然是下降了，故选项A错误；
对于选项B：与前一个月相比，月销售量增加量为百万台，是最多的，故选项B正确；
对于选项C：全年的平均月销售量为百万台，故选项C错误；
对于选项D：从折线图观察可得四个季度中，第三季度的折线最平缓，所以第三季度的月销售量波动最小，故选项D正确，
故选：．
根据折线图，逐个分析，计算选项，即可判断出结果．
本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：”至少有一个黑球“中包含“都是黑球，A正确；
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，不正确；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，不正确．
故选：．
根据互斥事件的定义可得．
本题考查了互斥事件与对立事件，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：为整数，
把个数据从小到大排列后，第个数和第个数的平均数为第百分位数，
故选：．
先求出为整数，再根据百分位数的定义求解即可．
本题考查了百分位数的求法，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为和，且甲、乙两人射击的结果互不影响，
甲、乙两人各射击一次，
则由相互独立事件概率乘法公式得两人都中靶的概率为：
．
故答案为：．
利用相互独立事件概率乘法公式能求出两人都中靶的概率．
本题考查概率的求法，考査相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，随机数中只有，，，，共种情况，
则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为，
故答案为：，
根据题意可得出满足题意的随机数，利用古典概型定义可解．
本题考查古典概型定义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量共线定理的应用，属于基础题．
根据题意，设，可得，解可得的值，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，若与是共线向量，设，
即，
，是两个不共线的向量，
则有，
解可得：；
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：可以设该侧面的正方形边长为，
则
全面积
则圆柱的全面积与侧面积的比

故答案：
由圆柱的侧面展开图是正方形，我们易得圆柱的高与底面周长相等，设侧面的正方形边长为后，易分别计算出侧面积和全面积，代入计算后，易得结果．
本题考查的是圆柱的表面积与侧面积，利用已知分别求出全面积和侧面积是解答本题的关键，另外全面积侧面积底面积，中易解为全面积侧面积底面积．
 

17.【答案】解：Ⅰ，
；
Ⅱ设，
则，
的虚部为，，即．
． 

【解析】Ⅰ利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解；
Ⅱ设，代入，整理后由虚部为求解值．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

18.【答案】解：由题意知，
．
所以，；
由知，用户的满意度评分在之间时，满意度为“级”，
即用户的满意度评分在之间时，满意度为“级”，
因为调查的名用户评分数据中，在内共有名，
所以该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为． 

【解析】利用平均数和方差公式代入数据计算即可；
利用中的平均数和方差，找出满意度评分在之间的用户求解即可．
本题考查数据的数字特征，属于基础题．
 

19.【答案】解：设向量与的夹角为，
则，
，
得，
，；

． 

【解析】设向量与的夹角为，求出，展开，代入后求得值；
利用，展开后求得答案．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ因为图中所有小矩形的面积之和等于，
所以，
解得．
Ⅱ根据频率分布直方图，成绩不低于分的频率为．
由于该校高一年级共有学生名，
利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于分的人数为． 

【解析】本题考查统计中频率分布直方图，属于基础题．
Ⅰ因为图中所有小矩形的面积之和等于，即频率之和为，可解得；
Ⅱ根据频率分布直方图，成绩不低于分的频率为：分分的面积，频率乘以总的人数即可得该校高一年级数学检测成绩不低于分的人数．
 

21.【答案】证明：平面，面，．
，，，又，
平面，而平面，C.
连接交于点，连接，
，分别为，的中点，
，又平面，平面，
平面． 

【解析】证明，，可得平面，而平面，故ACC.
连接交于点，由三角形中位线的性质得，又平面，可得平面．
本题考查线面垂直、线面平行的方法，体现了数形结合的数学思想，连接交于点，证明，是解题的难点．
 

22.【答案】解：Ⅰ由已知及正弦定理得
，
，
，
，

Ⅱ因为，，
由余弦定理得，

(ⅱ)由，
因为为锐角，所以，
，，
． 

【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
Ⅰ利用正弦定理、和差公式化简，即可得出结果．
Ⅱ因为，，利用余弦定理，即可得出结果．
(ⅱ)由，可得再利用倍角公式、和差公式，即可得出结果．