数学5.6 应用一元一次方程——追赶小明精品达标测试

第五章 一元一次方程

5.6 应用一元一次方程--追赶小明

精选练习

一、单选题

1．（2022·全国·七年级专题练习）一辆货轮往返于上下两个码头，逆流而上需用38小时，顺流而下需用32小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离的方程正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据顺水速度－水流速度=静水速度，逆水速度+水流速度=静水速度，列出方程即可．

【详解】解：设两码头距离x，根据题意得出：

，故A正确．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握静水速度与逆水速度和顺水速度以及与水速之间的关系．

2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习）一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9，则原两位数是（    ）

A．45 B．27 C．72 D．54

【答案】D

【分析】此题应先设个位数字为，十位数字为，再由“将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9”得，即算出原来的两位数．

【详解】解：设个位数字为，十位数字为，

由题意得，，

解得：．

则原来的两位数为，

故选：D．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解决此类题的关键．

3．（2022·昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校七年级期中）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之?意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．

【详解】解：设快马x天可以追上慢马，

据题题意：240x=150x+12×150，

故选：A．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

4．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）我国古代的洛书中记载了最早的三阶幻方九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则的值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解．

【详解】解：设幻方正中间的数字为，

依题意得：，

解得：．

故选A．

【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．

5．（2020·四川广元·七年级期末）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇（    ）

A．208秒 B．204秒 C．200秒 D．196秒

【答案】D

【分析】设经过y秒，甲乙两人首次相遇，根据甲比乙多走(400-8)米，可以列出方程，解方程即可．

【详解】解：设经过y秒，甲乙两人首次相遇，

依据题意得：8y-6y=400-8，

解得：y=196，

故选D．

【点睛】本题考查一元一次方程应用题-环形跑道问题，解题的关键是掌握环形跑道问题的等量关系，同时注意审题，相遇问题要找路程和，追及问题要找路程差．

6．（2021·辽宁·抚顺市实验中学七年级期中）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设杆子为x尺，则绳索为（x+5）尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，即可得出关于x一元一次方程．

【详解】解：设杆子为x尺，则绳索为（x+5）尺，

根据题意得：，

故选：D．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．

二、填空题

7．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，且十位上的数与个位上的数之和为6，则这个两位数是__________．

【答案】24

【分析】设十位上的数字为x，则各位上的数字为（x+2），列出一元一次方程，即可求解．

【详解】解：设十位上的数字为x，则各位上的数字为（x+2），

由题意得：，

解得：，

十位上的数字为：，

∴这个两位数是：24．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是关键．

8．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习）两地相距450千米，甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行．甲车速度120千米/时，乙车速度为105千米/时，经过_____小时两车相遇．

【答案】2

【分析】根据两车相向而行的等量关系，列出方程得出两车相遇的时间即可．

【详解】解：设经过x小时两车相遇，可得：

，

解得： ．

故答案为：2

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键史以路程作为等量关系列方程求解．

9．（2022·福建·厦门双十中学七年级期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，3小时后甲船能比乙船多航行60千米，设水流速度是x千米/时，则可列方程__________．

【答案】

【分析】分别求出甲、乙两人3小时行驶的路程，再根据3小时后甲船能比乙船多航行60千米列出方程即可．

【详解】解：由题意得：，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键．

10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）甲、乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，并且先出发30分钟，乙每分钟登高15米，两人同时登上山顶，则这座山高_________米．

【答案】900

【分析】设这座山高x米，根据时间=路程÷速度结合两人同时到达列出方程求解即可．

【详解】解：设这座山高x米，

由题意，得，

解得，

∴这座山高900米．

故答案为：900．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确设出未知数找到等量关系列出方程求解是解题的关键．

三、解答题

11．（2022·河南·南阳市第四完全学校七年级阶段练习）一段河道治理任务由A，B两个工程队完成.A工程队单独治理该河道需16天完成，B工程队单独治理该河道需24天完成，现在A工程队单独做6天后，B工程队加入合作完成剩下的工程，问B工程队工作了多少天？

【答案】6天

【分析】首先设B工程队工作了x天，则A工程队工作了天，根据题意可得等量关系：A的工作效率×工作时间+B的工作效率×工作时间=1，根据等量关系列出方程，再解即可．

【详解】设B工程队工作了x天，由题意得：，

解这个方程得：

答：B工程队工作了6天．

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．

12．（2022·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）小明和小刚从学校出发，去敬老院送水果．小明带着东西先走2.5分钟后，小刚才出发．若小明每分钟行80米，小刚每分钟行120米，

(1)设小刚出发经过x分钟后，小刚走了__________米，小明走了__________米，（用含有x的代数式表示）

(2)则小刚用几分钟可以追上小明？

【答案】(1)，

(2)小刚用5分钟可以追上小明．

【分析】（1）根据路程速度时间可解决问题；

（2）设小刚x分钟可以追上小明，根据路程速度×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】（1）解：小刚出发经过x分钟后，小刚走了米，小明走了米，

故答案为：，；

（2）解：设小刚用x分钟可以追上小明，

根据题意得：，

解得：．

答：小刚用5分钟可以追上小明．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系路程速度时间列出关于x的一元一次方程是解题的关键．

一、填空题

1．（2022·重庆市江北巴川量子学校七年级期中）、B两地相距215千米，甲骑自行车从地去地，乙开汽车从地去地，若汽车的速度是自行车速度的4倍，若2小时后两车相距25千米，则自行车的速度为_________千米/时．

【答案】19或24

【分析】设自行车的速度为x千米/时，分两种情况：①相遇前，距离25千米②相遇后，距离25千米，再利用两车速度和×时间t=路程列出方程，再算出x的值即可．

【详解】解：设自行车的速度为x千米/时，

①相遇前，两车相距25千米，由题意得：

，

解得：，

②相遇后，两车相距25千米，由题意得：

，

解得：，

故答案为：19或24

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校阶段练习）甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，当甲走出42千米时，乙恰好走完了A、B两地之间距离的，此时两人相距12千米，则A、B两地之间距离为___________千米．

【答案】45或81

【分析】需要分类讨论：相遇前相距12千米和相遇后相距12千米．

【详解】解：设、两地之间距离为千米，依题意得：

当相遇后两人相距12千米时，则有，

解得．

当相遇前两人相距12千米时，则，

解得．

综上所述，、两地之间距离为45或81千米．

故答案是：45或81．

【点睛】考查了一元一次方程的应用．关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

3．（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）一列匀速行驶的火车，从它进入一条320米长的隧道到完全通过隧道用18秒钟．隧道顶部一盏固定的灯光在火车照了10秒钟，求火车长度多少？设火车长x米，可列方程 _____．

【答案】

【分析】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度：米/秒，或者是米/秒，根据速度的相等关系列出方程，解方程即可．

【详解】解：设这列火车的长为x米，根据题意得：

，

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是弄懂题意，表示出火车的速度．

4．（2022·全国·七年级课时练习）小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学．一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追赶小明，并且在途中追上了他．则爸爸追上小明用了___________min．

【答案】4

【分析】设小明爸爸追上小明用了x min，根据速度差×时间＝路程差，列出方程求解即可．

【详解】解：设爸爸追上小明用了x min，

依题意有（180−80）x＝80×5，

解得x＝4．

即：爸爸追上小明用了4min长时间．

故答案是：4．

【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

5．（2022·四川广元·七年级期末）已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．

【答案】200

【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【详解】解：设这列火车的长为x米，

根据题意得， ，

解得，

∴这列火车的长为200米．

故答案为：200

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

二、解答题

6．（2022·湖北·宜昌市东山中学七年级期中）两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是千米/时．

(1)4小时后两船相距多远？

(2)若甲船由B港到A港用了4小时36分钟，再立即由A港返回B港时，共花10小时，试求水流速度a．

【答案】(1)4小时后两船相距千米

(2)水流速度a为千米/时

【分析】（1）反向出发，两船相距的路程为：甲路程乙路程顺水速度逆水速度；

（2）根据来回的路程相等列出方程求解即可．

【详解】（1）解：4小时后两船的距离为：千米，

答：4小时后两船相距千米；

（2）∵B港到A港用了4小时36分钟小时，来回共花10小时，

∴港到港的时间为小时，

则根据题意得：，

解得：千米/时，

答：水流速度a为千米/时．

【点睛】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用，熟知：顺水速度船速水流速度，逆水速度船速水流速度，是解本题的关键．

7．（2022·江苏·锡中匡村实验学校七年级期中）已知数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，且．

(1)求a，b的值；

(2)点C在数轴上表示的数是c，且与A、B两点的距离和为11，求c值；

(3)小蜗牛甲以1个单位长/秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3秒后位于点A的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/秒的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？

【答案】(1)

(2)或5

(3)点D表示的有理数是，小蜗牛甲共用去4秒

【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性即可求出a和b的值；

（2）根据数轴上两点间的距离公式可求出说明点C不可能在点A和点B中间．即可故分类讨论：①当点C在点B的左边时和②当点C在点A的右边时，分别列出关于c的等式，再求解即可；

（3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，由题意可知食物所在点代表的数为，结合题意可列出关于t的方程，解出t，从而可求出结果．

【详解】（1）∵，

∴，

解得：；

（2）∵，

∴点C不可能在点A和点B中间．

故分类讨论：①当点C在点B的左边时，

，

解得：；

②当点C在点A的右边时，

，

解得：．

综上可知，c的值为或5；

（3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，

由题意可知食物所在点代表的数为，如图．

∴相遇时小蜗牛甲爬行个单位长度，小蜗牛乙爬行个单位长度，

根据题意得：，

解得：，

∴小蜗牛乙爬行个单位长度，小蜗牛甲共用去秒．

∴点D表示的有理数是．

【点睛】本题考查非负数的性质，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键．

8．（2022·浙江金华·七年级期中）数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为9，点表示的数为13，在点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”如图所示，我们称点和点在数轴上相距20个长度单位，动点从点出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的2倍，设运动的时间为秒，问：

(1)求动点从点运动至点需要时间

(2)求动点运动到点时，点所在位置表示的数．

(3)两点重合时，求运动时间秒．

【答案】(1)

(2)

(3)秒

【分析】（1）先求出（个单位），（个单位），（个单位），再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从到速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点从点运动至点需要的时间为三段所用时间和；

（2）先求出点Q运动到点O时，再根据点P用同样时间运动的路程，即可求解；

（3）根据动点Ｐ与动点Ｑ运动路程和为列方程求解即可．

【详解】（1）解：根据题意知：（个单位），（个单位），（个单位），

“水平路线”速度是2个单位/秒，从到速度变为“水平路线”速度的一半，

动点从点运动至点需要的时间为：(秒)，

答：动点从点运动至点需要的时间为多15秒；

（2）解：根据题意知：，，

“水平路线”速度是2个单位/秒，从D到O速度变为“水平路线”速度的2倍，

动点Q从点D运动至O点需要的时间为：(秒)，

∵动点从点运动至B点需要的时间为：(秒)，

∴动点从点B运动(秒)运动的路程为∶ ，

∴此点所在位置表示的数为：，

答：动点运动到点时，点所在位置表示的数为；

（3）解：根据题意，得，，，

当动点P运动3秒时，点Q运动路程为，

∴两点重合时，应在上，

∴，

解得：，

答：两点重合时，运动时间为秒．

【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含的代数式表示动点运动的路程．