2024届新高三数学开学摸底试卷三（新高考专用）（Word版附解析）

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2024届新高三开学摸底试卷三（新高考专用）
数学
(时间：120分钟　满分：150分)
注意事项：
1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·保定模拟)设集合A＝{x|x2－2x－80，显然不符合题意)，
或2×＝－1，则a＝2b，又c2＝a2＋b2＝a2，所以e2＝＝，e＝.
7.(2023·大同模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥D1M，则动点P的轨迹的长度为(　　)

A. B. C. D.
答案　A
解析　如图，分别取BC，BB1的中点E，F，连接AE，AF，EF，A1M，DM，A1F，

因为M为AB的中点，E为BC的中点，四边形ABCD为正方形，所以DM⊥AE，
又D1D⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以D1D⊥AE，而DM∩D1D＝D，DM，D1D⊂平面D1DM，所以AE⊥平面D1DM，又因为D1M⊂平面D1DM，
所以D1M⊥AE，
同理可得D1M⊥AF，又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以D1M⊥平面AEF，
因为AP⊂平面AEF，所以AP⊥D1M，
因为动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，所以动点P的轨迹是线段EF，
而EF＝，所以动点P的轨迹的长度为.
8．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形(如图1所示，图中共有2个正三角形)．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形(图中共有11个正三角形)，这个过程称之为迭代．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接形成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形(图中共有10个正三角形)，其中最小的正三角形面积为(　　)

图1　　　　　图2　　　　　图3
A. B．1
C. D.
答案　A
解析　设第n个正三角形的边长为an，则第n＋1个正三角形的边长为an＋1，
由条件可知，a1＝243，
又由图形可知，a＝2＋2－2×an×an×cos 60°，所以a＝a，an>0，
所以＝，所以{an}是首项为243，公比为的等比数列，
所以an＝243×n－1，所以an＝n－11，所以a10＝，
所以最小的正三角形的面积为×××＝.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示(按得分分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]这五组)，则下列结论正确的是(　　)

A．频率分布直方图中a＝0.005
B．此次比赛得分及格的共有55人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50,80)的概率为0.75
D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75分
答案　AD
解析　由图可知，10a＋0.035×10＋0.030×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，
解得a＝0.005，故A正确；
比赛得分及格的人数为(0.030＋0.020＋0.010)×10×100＝60，故B错误；
成绩在[50,80)内的频率为(0.035＋0.030＋0.020)×10＝0.85，即概率为0.85，故C错误；
设第80百分位数为(70＋x)分，则有×10＝0.8，解得x＝5，所以第80百分位数为75分，故D正确．
10．下列说法正确的是(　　)
A．通过经验回归直线＝x＋及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势
B．已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|2)＝
C．若样本数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1,2x3－1，…，2x10－1的方差为8
D．若n的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中x2项的系数为－80
答案　BC
解析　对于A，通过经验回归直线＝x＋及回归系数，可估计和预测变量的取值和变化趋势，故A错误；
对于B，因为随机变量X～N(0，σ2)，P(|X|0，a≠1)(答案不唯一)
解析　若满足①对任意的x1x2≥0，有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，
则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；
若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，
所以同时满足①②两个条件的函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)．
15．已知母线长为6的圆锥的顶点为S，点A，B为圆锥的底面圆周上两动点，当SA与SB所夹的角最大时，锐角△SAB的面积为8，则此时圆锥的体积为________．
答案　
解析　设底面圆的半径为r，
当SA与SB所夹的角最大时，AB为底面圆的直径，
此时S△SAB＝×6×6×sin∠ASB＝8，解得sin∠ASB＝，
∵△SAB为锐角三角形，∴cos∠ASB＝＝，
则(2r)2＝|AB|2＝62＋62－2×6×6×＝16，解得r＝2，
则圆锥的体积为×π×22×＝.
16．(2023·益阳模拟)已知函数f(x)＝，g(x)＝，当x1，x2∈(0，＋∞)时，≤恒成立，则正数k的取值范围是____________．
答案　
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
令h(x)＝1－x－2ln x(x>0)，h′(x)＝－1－0，f(x)单调递增；在区间(1，＋∞)上，f′(x)0时，g(x)＝>0，
又k>0，所以≤⇒≤，
即≥max，
由于g(x2)>0，故f(x1)>0，
所以max＝＝.
所以≥，又k>0，则ke≥k＋1，故k≥，
所以k的取值范围是.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)(2023·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin 2B＝sin B.
(1)求B；
(2)若a＝8，cos A＝，求BC边上的中线AD的长．
解　(1)由题意可得2sin Bcos B＝sin B，
因为00.
又因为函数f(x)有三个不同的零点，所以g(x)(x>0)有两个均不等于1的不同零点．
令g′(x)＝3x2－a＝0，解得x＝(舍去负值)．
所以当x∈时，g′(x)0，g(x)单调递增．
因为g(0)＝1>0，g()＝1>0，
所以当g时，g(x)(x>0)有两个不同的零点．
又因为当g(1)＝0时，a＝2>，
所以若函数f(x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是∪(2，＋∞)．
(2)因为x1