（9）立体几何——2022-2023学年高二数学人教A版（2019）暑假作业

（9）立体几何

——2022-2023学年高二数学人教A版（2019）暑假作业

1.给出下列叙述：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；

③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.

其中叙述正确的序号是(   )

A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.③

2.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(   )

A. B. C. D.

3.已知平面，直线m，n满足，，则“”是“”的(   )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆的圆心，球O的表面积为，则的长度为(   )

A. B.2 C. D.3

5.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则(   )

A. B. C. D.

6.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是(   )

A. B. C. D.

7.已知m，n为异面直线，平面，平面.若直线l满足，，，，则(   ).

A.，  B.与相交，且交线平行于l

C.，  D.与相交，且交线垂直于l

8.如图，已知边长均为6的正方形和正方形所在的平面互相垂直，是的中点，，则线段的长为(   )

A. B. C. D.

9.如图，在长方体中，，点E，F分别在棱AD，AB上，且是线段EF的中点.过点M作线段AM的垂线交长方体的外接球于点Q，则点Q的轨迹围成的图形的面积为(   )
 

A. B. C. D.

10.在体积为32的棱锥中，底面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

11.（多选）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值近似为，侧棱长近似为米，则下列结论正确的是(   ).

A.正四棱锥的底面边长近似为3米

B.正四棱锥的高近似为米

C.正四棱锥的侧面积近似为平方米

D.正四棱锥的体积近似为立方米

12.（多选）在三棱锥中，，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，.则下列结论正确的是(   )

A.三棱锥的三条侧棱长均相等

B.的取值范围是

C.若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为

D.若，E是线段PC上一动点，则的最小值为

13.（多选）正方体的棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，则(   )

A.直线与直线垂直

B.直线与平面平行

C.平面截正方体所得的截面面积为

D.点C到平面的距离为

14.（多选）如图，在直三棱柱中，，，M是BC的中点，N是的中点，点P在线段上，点Q在线段AM上，且，S是与的交点.若平面，则(   )

A. B.点P为的中点

C. D.三棱锥的体积为

15.已知球O为正四面体ABCD的内切球，E为棱BD的中点，，则平面ACE截球O所得截面圆的面积为____________.

16.如图，正八面体 PABCDQ的棱长为2，点E，F，H分别是PA，PB，BC的中点，则过E，F，H三点的平面α截该正八面体所得截面的面积等于______.
 

17.如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰三角形，，，D是的中点，点E在棱上，要使平面，则________.

18.已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则___________；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为_________________.

19.如图，和都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直.平面，且.

（1）设P是的中点，求证：平面.

（2）求二面角的正弦值.

20.在如图所示的几何体中，底面是正方形，四边形是直角梯形，，且四边形底面分别为的中点，.

(I)求证:平面平面；

(Ⅱ)求多面体的体积.

答案以及解析

1.答案：D

解析：对于①，棱柱的侧面不一定全等，故错误；

对于②，由棱台的定义可知只有当该平面与底面平行时，底面与截面之间的部分才是棱台，故错误；

对于③，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；

对于④，棱台的侧棱延长后交于一点，但其侧面不一定是等腰梯形，故错误.故选D.

2.答案：C

解析：设正四棱锥的底面边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高为，则以h为边长的正方形的面积为，该四棱锥一个侧面三角形的面积为.故，且.故，化简整理得，解得或（舍），所以该四棱锥侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.故选C.

3.答案：A

解析：，，所以当时，成立，即充分性成立；当时，不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件，

故选：A.

4.答案：C

解析：本题考查球的球心距，截面性质的应用.设圆的半径为r，球O的半径为R，依题意得为等边三角形，则由正弦定理得，即又因为球O的表面积为，所以根据球的截面性质得平面ABC，所以，所以故选C.

5.答案：C

解析：解法一：因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合可知，甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2:1.不妨设两个圆锥的母线长为，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为，，高分别为，，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以，，得，.由勾股定理得，，，所以.故选C.

解法二：设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为，，高分别为，，侧面展开图的圆心角分别为，，则由，得.由题意知，所以，，所以，，得，.由勾股定理得，，，所以.故选C.

6.答案：C

解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，

则根据题意可得，，，，

所以，，

设异面直线AB与CM所成角为，

则.

故选：C.

7.答案：B

解析：若，则由平面，平面，可得，

这与m，n是异面直线矛盾，故与相交.

设，过空间内一点P，作，，与相交，与确定的平面为.

因为，所以，，

因为，，所以，，

所以，，所以，

又因为，，所以l与a不重合所.以.

8.答案：B

解析：由题意可建立以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系(图略)，则，

所以，即线段的长为，故选B.

9.答案：A

解析：由已知得，所以，由点M是线段EF的中点，得与过点M且与AM垂直的直线形成一个平面，过点E作，交于，过点F作交于，由，得平面，此平面与长方体的外接球的交点即为点Q的轨迹，为一圆面，球心O到此平面的距离为平面与平面的距离，为，所以截面圆的半径，所以点Q的轨迹围成的图形的面积为.

10.答案：D

解析：由已知条件，得是等腰直角三角形.又，所以，所以三棱锥的体积，解得.因为，所以.又底面，底面ABC，所以.又，所以平面PAC.因为平面PAC，所以，所以，故三棱锥外接球的球心O为PB的中点.连接OA.由底面，底面ABC，得.由，易得外接球的半径，所以该三棱锥外接球的表面积.故选D.

11.答案：BD

解析：如图，在正四棱锥中，O为正方形ABCD的中心，则平面ABCD，则为侧棱与底面所成的角，且.

设底面边长为2a，则，.

在中，，所以米，则正四棱雉的底面边长为6米，高为米，的高为(米)，所以侧面积(平方米)，体积(立方米)，故选BD.

12.答案：ABD

解析：如图，在三棱锥中，根据，知，根据勾股定理得，所以A正确；取AB的中点F，连接PF，DF，则，设，则，结合三角形的边长关系可得，则，结合余弦函数的单调性可知的取值范围是，所以B正确；根据A可知D到A，B，C，P的距离均为1，所以三棱锥的外接球是以D为球心，1为半径的球，其体积，所以C不正确；当时，是等腰直角三角形，，所以，所以三角形BPC为等边三角形，将三角形BPC与三角形PDC以PC边展开可以得到下图，连接BD，所以的最小值为图中BD的长度，，所以D正确.所以结论正确的是ABD.

13.答案：BCD

解析：因为，而与显然不垂直，

因此与不垂直，A错；

取中点H，连接，，，

由G，E，F分别是，，中点，得，

又，，是平行四边形，所以，，，平面，所以平面，平面，

而，，平面，所以平面平面，

又平面，所以平面.B正确；

由正方体性质，连接，，则截面即为四边形，它是等腰梯形，

，，，等腰梯形的高为，

截面面积为，C正确，

设，易知O是的中点，所以，D两点到平面的距离相等.D正确.

故选BCD.

14.答案：ACD

解析：因为点M为BC的中点，，所以点Q为重心.取AC的中点T，连接BT，则BT过点Q，连接NT，因为N为的中点，所以NT过点S.显然.由题意，得平面，平面，平面平面，所以，A项正确；

易证四边形为矩形，在上取点R，使得，则四边形为平行四边形，所以.又，所以，显然点S是TN的中点，所以点P是NR的中点，B项错误；

因为，所以.又三棱柱为直三棱柱，所以平面ABC，故，所以平面，平面，所以，C项正确；

因为点P是NR的中点，所以，即点P是的重心，连接PQ，则且，所以四边形是平行四边形，那么PB的中点必为的中点，即PB的中点在平面上，所以P，B两点到平面的距离相等，故，而，所以三棱锥的体积为，D项正确.

15.答案：

解析：因为球O为正四面体ABCD的内切球，，所以正四面体的体积为.设正四面体内切球的半径长为r，则，故内切球半径.因为平面ACE截球O所得截面经过球心，所以平面截球O所得截面圆半径与球的半径相等，故截面圆面积.

16.答案：

解析：本题考查多面体截面面积的计算.分别是PA，PB，BC的中点，，平面，平面，平面ABQ.同理得平面CDP.又平面平面，，平面平面平面CDP.设平面与CQ相交于点M，则，故M为CQ的中点.同理得平面也过DQ，AD的中点，结合正八面体的对称性，得截面是边长为1的正六边形，其面积.

17.答案：a或2a

解析：由已知得，又D是的中点，

所以，又侧棱底面ABC，

可得侧棱平面，又平面，

所以，因为，

所以平面，

又平面，所以，

故若平面，则必有.

设，则，

，又，

所以，

解得或2a.

故答案为：a或2a.

18.答案：；

解析：如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且，易知球O的半径，所以，，所以；设MN的中点为C，连接PC，DM，则，易知，，所以，所以.过O点作，垂足为E，易知，则，又，则.设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r，则，所以截面的面积为.

19.（1）答案：见解析

解析：证明：取BC的中点O，连接AO，DO，AD.

是正三角形，.

平面平面BCD，平面平面，

平面BCD.

平面BCD，.

在中，，

.

又，为等腰三角形.

P是DE的中点，.

平面BCD，

，，.

平面BCD，平面BCD，

平面BCD.

（2）答案：

解析：由(1)知，，

四边形APDO为平行四边形，

，

.

以点O为坐标原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，

则，，，

，，.

设平面ABE的法向量为，

则即

令，则，，

.

设平面ACE的法向量为，

则即

令，则，，

.

.

，

二面角的正弦值为.

20.答案：(I)见解析

(Ⅱ)

解析：(I)证明:分别为的中点，

.

又∵四边形是正方形，

，.

平面平面，

平面平面.

又平面，

∴平面平面.

(Ⅱ)∵四边形是直角梯形，，

.

又∵四边形底面，平面平面平面，

平面，

是四棱锥的高，

.

∵四边形是正方形，

.

平面平面，

.

又平面.

平面，即是三棱锥的高，

，

∴多面体的体积.