（6）立体几何初步（B卷）——2022-2023学年高一数学人教A版（2019）暑假作业

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（6）立体几何初步（B卷）——2022-2023学年高一数学人教A版（2019）暑假作业1.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为(   )A. B. C. D.2.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为，则O到平面ABC的距离为(   )A. B. C.1 D.3.如图，在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱与底面垂直，且分别是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为(   )A. B. C. D.4.在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则(   )A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面5.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是(   )A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.如图，在三棱锥中，，平面ABC，，O为PB的中点，则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为(   )A. B. C. D.7.如图，点分别是正方体的棱的中点，则(   )A.平面B.平面C.直线与平面所成的角为45°D.平面平面8.如图，已知正三棱柱，，E，F分别是棱BC，上的点.记EF与所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角的平面角为，则(   )A. B. C. D.9.如图，在母线长为3，底面圆的半径为1的圆柱中，垂直于底面，分别是圆柱上、下底面的圆心，是底面圆O的直径，C是弧的中点，则下列结论中错误的是(   )A.平面平面B.异面直线与所成角的余弦值为C.和平面所成角的正弦值为D.三棱锥的体积是10.（多选）已知m，n是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是(   )A.若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则11.（多选）已知正方体，则(   )A.直线与所成的角为B.直线与所成的角为C.直线与平面所成的角为D.直线与平面ABCD所成的角为12.（多选）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，，分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是(   )A.B.平面平面PDFC.二面角的余弦值为D.点P在平面DEF内的射影是的外心13.（多选）如图，在四棱锥中，底面，四边形ABCD是直角梯形，，，，F是AB的中点，E是PB上一点，则下列说法正确的是(   )A.若，则平面B.若，则四棱锥的体积是三棱锥体积的6倍C.三棱锥中有且仅有3个面是直角三角形D.平面平面ACE14.如图所示，已知三棱柱的 所有棱长均为1，且底面ABC，则三棱锥的体积为________.15.如图，AB是半圆柱底面的直径，PA是半圆柱的高，C是上一点，且，D为PB的中点，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为________.16.已知圆柱的底面圆O的半径为4，矩形为圆柱的轴截面，C为圆O上一点，，圆柱的表面积为，则三棱锥的体积与其外接球的体积之比为____________.17.在正三棱锥中，为正三角形，于点M，，则正三棱锥的外接球的球心到平面PAC的距离为________.18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，是正三角形，，E是PA的中点.(1)证明：.(2)求三棱锥的体积.19.如图1，在梯形中，，点E在线段上， ，将沿翻折至的位置，连接，点F为中点，连接，如图2.(I)在线段上是否存在一点Q，使平面平面?若存在，请确定点Q的位置，若不存在，请说明理由;(Ⅱ)当平面平面时，求三棱锥的体积.20.在三棱锥中，点D在以AB为直径的半圆弧上，且平面平面ABC，，.（1）证明：平面BCD；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求三棱锥的表面积.
答案以及解析1.答案：C解析：设圆锥的内切球的半径为r，则，所以.又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为，则圆锥的体积.故选C.2.答案：C解析：设等边三角形ABC的边长为a，因为其面积为，所以，解得.故的外接圆半径.设球O的半径为R，因为球O的表面积为，所以，得.所以O到平面ABC的距离.故选C.3.答案：D解析：如图，取的中点G，连接，则，且为异面直线与所成的角.又F是的中点，.又三棱柱的侧棱与底面垂直，平面.在中，，故选D.4.答案：A解析：如图，对于选项A，在正方体中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，又，所以，又易知，，从而平面，又平面，所以平面平面，故选项A正确；对于选项B，因为平面平面，所以由选项A知，平面平面不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线与直线必相交，故平面与平面不平行，故选项C错误；对于选项D，连接，，易知平面平面，又平面与平面有公共点，所以平面与平面不平行，故选项D错误.故选A.5.答案：B解析：选项A，若，则或，故A错误；选项B，由，得，又，所以，故B正确；选项C，若，则当时，平面可能相交，故C错误；选项D，由，不能得出，故不能得到，故D错误.故选B.6.答案：B解析：如图，取PC的中点为E，连接EO，则.平面ABC，平面ABC，.又，，平面PAC.又，平面PAC，为直线CO与平面PAC所成的角.设，则，，，.故选B.7.答案：C解析：如图，连接.结合已知条件及正方体的性质可知，.因为平面，所以与平面不平行，因此A不正确.连接.易得.又，所以为直线与所成的角.因为，所以，所以与不垂直，所以与平面，不垂直，因此B不正确.由平面，得为直线与平面所成的角.易得，所以直线与平面所成的角为45°，因此C正确.因为， 与平面相交，所以直线与平面相交，则平面与平面相交，因此D不正确.故选C.8.答案：A解析：由题意设.当点E，F分别与点B，重合时（如图1），连接，EF与所成的角为，即，所以.因为平面ABC，所以EF与平面ABC所成角为，即，所以.取BC的中点G，连接FG，AG，则由为正三角形知.又由平面ABC，知.又，所以平面，所以，所以二面角的平面角为，即，易知，所以，所以，此时有.当点F与点重合且点E为BC中点时（如图2），连接AE，.易知EF与所成的角为，即；EF与平面ABC所成角为，即；二面角的平面角为，即.因为在中，，即，所以.综合上面E，F的两种特殊位置知，，故选A.9.答案：D解析：对于选项A，为圆O的直径，所以.又平面平面，所以.因为，所以平面.又平面，所以平面平面，故选项A正确;对于选项B，取弧的中点D(不与点C重合)，连接，易知四边形为平行四边形.所以，所以或其补角是异面直线与所成的角，易知平面.又平面，所以，所以为直角三角形.在中，，，所以，故选项B正确;对于选项C，连接，易知平面，则为和平面所成的角.在中，，.所以，故选项C正确;对于选项D，，故选项D错误，故选D.10.答案：ABD解析：A中，直线m和平面可能垂直，也可能平行或m在平面内，故A不正确；B中，直线m与n平行、异面或相交，故B不正确；C中，，则直线或，又，所以，故C正确；D中，缺少条件，故D不正确，故选ABD.11.答案：ABD解析：A项，如图，易证，显然，所以，故A项正确；B项，因为，，所以平面，从而，故B项正确；C项，如图，设，则，，所以平面，从而即为直线与平面所成的角，易证为正三角形，O为的中点，所以，故C项错误；D项，显然即为直线与平面ABCD所成的角，且，故D项正确.12.答案：ABC解析：A项，正方形ABCD中的、、折叠后形状没有发生变化，分别为、、，射影PD，PE，PF两两垂直，故平面PEF，所以，故A项正确；B项，平面PDF，所以平面平面PDF，故B项正确；项，如图，取EF中点G，连接PG，DG.设，因为E，F分别是AB，BC中点，所以，折叠后，而，所以，，故即为二面角的平面角，且由平面PEF知，折叠前，易求得，所以折叠后，故，所以，故C项正确；D项，因为PD，PE，PF不全相等，所以点P在平面DEF内的射影不是的外心，故D项错误.13.答案：AD解析：因为，所以E是PB的中点.又因为F是AB的中点，所以，所以平面，A项正确；因为，所以E是PB的中点，所以P点到平面ABCD的距离是点E到平面ABCD距离的2倍，因为，，所以，所以四棱锥的体积是三棱锥体积的3倍，B项错误；因为底面ABCD，所以，，.又由题意，得，所以平面PCD，故，即三棱锥四个面均为直角三角形，C项错误；连接CF，易证四边形AFCD为正方形，所以，，，故，即.又，所以平面BCP，即平面平面，D项正确.14.答案：解析：因为三棱柱的所有棱 长均为1，所以底面为正三角形，所以，又因为底面，所以三棱柱的体积为，因为三棱锥、三棱锥与三棱柱等底等高，所以，由此可得三棱锥的体积.15.答案：解析：设，如图，取PC的中点E，连接DE，AE，易得，所以异面直线AD与BC所成的角为.又，所以平面PAC.又 平面PAC，所以，所以.又，所以在中，.16.答案：解析：本题考查三棱锥及其外接球的体积、圆柱的表面积.如图所示，由题意知圆柱的表面积，故.在中，，所以，所以，所以，.由题意知平面，所以，结合，得平面，所以.取的中点，则由与为直角三角形知，为三棱锥外接球的球心，球的半径，所以外接球的体积，所以.17.答案：解析：依题意，为等腰三角形，且；而，因此，故，在中，.取正三角形ABC的中心Q，则平面ABC，且正三棱锥的外接球球心O在直线PQ上.由于，在中，根据勾股定理得.设正三棱锥的外接球半径为R，则由得，解得.在中，，故，所以，设的外接圆半径为r，则根据正弦定理得，解得，所以O到平面PAC的距离等于.18.答案：(1)见解析(2)解析：(1)因为，所以，因为，所以，由余弦定理得，所以，所以，因为，所以平面PCD，则.(2)由(1)知，平面平面ABCD，且平面平面，因为是正三角形，取CD中点O，连接PO，则平面ABCD，因为，所以，因为E是PA的中点，所以E到平面ABCD的距离.所以.19.答案：(I)存在(Ⅱ)解析：(I)当Q是的中点时，平面平面，证明如下:如图，连接.依题意得，且，所以，所以四边形是平行四边形，所以.因为平面平面，所以平面.因为分别为的中点，所以.因为平面平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.(Ⅱ)依题意由得为边长为2的等边三角形.取的中点M，连接，因为，所以由余弦定理得.在中，因为，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面.因为F为的中点，所以F到平面的距离，所以.20.答案：（1）见解析（2）解析：（1）证明：因为平面平面ABC，平面平面，，所以平面ABD.又平面ABD，所以.又点D在以AB为直径的半圆弧上，所以.因为，BD，平面BCD，所以平面BCD.（2）过点D作AB的垂线DO交AB于点O.因为平面平面ABC，平面平面，所以平面ABC，所以当点O为AB的中点时，三棱锥的体积取得最大值，则.因为平面ABD，平面ABD，所以.在中，.由（1）知平面BCD，平面BCD，所以.，，，，所以此时三棱锥的表面积为.