2023新教材高中数学第4章数列4.1数列的概念第2课时数列的递推公式和Sn与an的关系教师用书新人教A版选择性必修第二册

第2课时　数列的递推公式和Sn与an的关系1．理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)3．会用an与Sn的关系求通项公式．(重点、易错点)1．借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养逻辑推理核心素养．2．借助利用an与Sn的关系确定an的求法，培养逻辑推理及数学运算核心素养．斐波那契，意大利著名数学家．保存至今的斐波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》．《算盘全书》中有一个著名的兔子繁殖问题：如果一对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄)，而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子．试问一对兔子50个月后会有多少对兔子？从第1个月开始，以后每个月的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，这就是著名的斐波那契数列．这个数列的规律是递推关系：Fn＝Fn－1＋Fn－2(n>2)，其中Fn表示第n个月的兔子的总对数．那么什么是递推关系呢？知识点1　数列的递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．1．数列1,2,4,8，…的第n项an与第n＋1项an＋1有什么关系？[提示]　an＋1＝2an．知识点2　数列递推公式与通项公式的关系关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式2．仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？[提示]　不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．1．数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 020＝________．2　[由an＋1＝1－及a1＝2可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…，所以{an}是周期为3的周期数列．又因2 020＝673×3＋1，∴a2 020＝a1＝2．]知识点3　数列{an}的前n项和(1)数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝2．数列{an}的前n项和Sn＝3n2，则an＝________．6n－3　[当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，Sn－1＝3(n－1)2＝3n2－6n＋3，an＝Sn－Sn－1＝6n－3，当n＝1时上式也符合．所以an＝6n－3．] 类型1　由递推公式求数列中的项【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．[解]　(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8．故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8．(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝．故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝．根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．1．已知数列{an}，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N*，且n＞1)，写出数列{an}的前5项．[解]　∵an＝3an－1＋且a1＝1，∴a2＝3×1＋＝，a3＝3×－＝10，a4＝3×10＋＝，a5＝3×－＝91． 类型2　数列的单调性及应用【例2】　已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断数列{an}的单调性．[解]　法一　an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2＞0，即an＋1＞an(n∈N*)，故数列{an}是递增数列．法二　an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则＝＝·＞1．又an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列．法三　令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝，＜1，则函数y＝3x2－x在上单调递增，故数列{an}是递增数列．(1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an＋1和an的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法．(2)利用数列的单调性确定变量的取值范围，解决此类问题常利用以下等价关系：数列{an}递增⇔an＋1>an(n∈N*)；数列{an}递减⇔an＋1<an(n∈N*)．2．已知数列{an}满足an＝n2＋λn(n∈N*)，且对任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，则实数λ的取值范围为(　　)A．λ＞0 B．λ＜0C．λ≥－2 D．λ＞－3D　[法一　因为对任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是递增数列．由an＝n2＋λn知(n，an)(n∈N*)是函数f(x)＝x2＋λx图象上的点，而函数f(x)图象的对称轴为x＝－，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an＜…即可．欲满足上述不等关系，需－＜，解得λ＞－3．法二　由题意得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ＞0恒成立，即λ＞－(2n＋1)恒成立．而n∈N*，所以λ＞－3．] 类型3　由Sn求通项an【例3】　根据下列数列的前n项和Sn求通项an．(1)Sn＝2n2－n＋1；(2)Sn＝2·3n－2．[解]　(1)由Sn＝2n2－n＋1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]＝4n－3．当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3，∴an＝(2)由Sn＝2·3n－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－2－(2·3n－1－2)＝4·3n－1．当n＝1时，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4×31－1，∴an＝4·3n－1(n∈N*)．由Sn的关系式求an的步骤(1)先确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式；(2)再利用Sn求出a1(a1＝S1)；(3)验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式；(4)写出数列的通项公式．3．已知数列{an}的前n项和Sn满足n＝log2(Sn－1)，求其通项公式an．[解]　根据条件可得Sn＝2n＋1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n－1－1＝2n－1(2－1)＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3≠21－1，∴an＝ 类型4　根据递推公式求通项【例4】　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N*且n≥2，求通项公式an；(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an．(1)将关系式变成an－an－1＝－，可以用什么方法求an呢？(2)将关系式变成＝(n≥2)，可以用什么方法求an呢？[解]　(1)由an－an－1＝(n≥2)，得a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…an－an－1＝．以上各式累加，得an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－．∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－(n∈N*)．(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝．又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．[母题探究]1．(变条件)将本例条件变成“a1＝1，an＋1＝”，求数列{an}的通项公式．[解]　由an＋1＝，得＝＋，即－＝．又∵a1＝1，∴＝＋＋…＋＋＝＋1＝．又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝．2．(变条件)将本例(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)”，写出数列的前5项，猜想an并加以证明．[解]　由a1＝2，an＋1＝3an，得a2＝3a1＝3×2，a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，…，猜想：an＝2×3n－1，证明如下：由an＋1＝3an得＝3．因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3．将上面的n－1个式子相乘可得···…·＝3n－1．即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，故an＝2·3n－1．1．由递推公式求通项公式常用的两种方法(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．2．本题在累加或累积时，常因忘记“n≥2”这个条件，而错把缺项的式子看成完整式子而失分．1．数列2,4,6,8,10，…的递推公式是(　　)A．an＝an－1＋2(n≥2)B．an＝2an－1(n≥2)C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)C　[A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．故选C．]2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2，n∈N*)，则a5＝(　　)A． B．C． D．D　[由条件可求得，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝，故选D．]3．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，则an＝________．　[∵a1a2a3…an＝n2，∴n≥2时，a1a2a3…an－1＝(n－1)2，∴两式相除得an＝，又∵a1＝12＝1，不适合an＝，∴an＝]4．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a7＝________．1　[由an＋1＝an＋an＋2知an＋2＝an＋1－an，又∵a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－2，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝1．]5．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．n　[由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－an－1＝1(n≥2)，以上各式相加，得an－a1＝＝n－1，∵a1＝1，则an＝n(n≥2)，a1＝1也满足an＝n，∴数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*)．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)数列的递推公式有什么特点？它与通项公式的区别是什么？[提示]　数列的递推公式是反映数列的相邻两项或多项之间的关系式，而通项公式是数列中的项与序号之间满足的函数关系式，它们的优缺点如下：项目优点缺点通项公式法便于求出数列中任意指定的一项，也有利于对数列性质的研究一些数列的通项公式表述困难递推公式法可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系不容易了解数列的全貌，计算也不方便(2)数列通项an与前n项和Sn有什么关系？[提示]　若数列{an}的前n项和为Sn，则a1＝S1．当n≥2(n∈N*)时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，　①Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1．　②由①－②得Sn－Sn－1＝an．因此an与Sn的关系式为an＝(3)数列的递推关系满足什么特点时，可以用累加法和累积法求通项an?[提示]　①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累积法或迭代法．(4)你一般用什么方法求数列{an}的最大项和最小项？[提示]　①利用数列的单调性确定数列的最大(小)项．②通过解不等式组来确定，即设第k(k∈N*，k＞1)项是数列的最大(小)项，则求出k的正整数值后代入通项公式即得最大项(最小项)．