2023新教材高中数学第4章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式教师用书新人教A版选择性必修第二册

4.3.1　等比数列的概念第1课时　等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念．(重点)2．掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用．(重点、难点)3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)1．通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算核心素养．2．借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理核心素养．传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出奖些什么．发明者指着国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格内放上1粒麦子，在第二格内放2粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8粒……按这样的规律放满64格棋盘格．国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了．结果弄得国王倾尽国家财力还不够支付．同学们，这几粒麦子，怎能让国王赔上整个国家的财力？知识点1　等比数列的概念文字语言一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符号语言＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．               (　　)(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　)(3)常数列一定为等比数列．  (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×[提示]　(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．知识点2　等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫做a，b的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝ab．当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？[提示]　不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．2．2＋和2－的等比中项是(　　)A．1 B．－1C．±1 D．2C　[设2＋和2－的等比中项为a，则a2＝(2＋)(2－)＝1．即a＝±1．]知识点3　等比数列的通项公式(1)通项公式首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1．(2)等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________．8　[由an＋1＝2an知{an}为等比数列，q＝2．又∵a1＝2，∴a3＝2×22＝8．] 类型1　等比数列通项公式的基本运算【例1】　在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．[解]　设首项为a1，公比为q．(1)因为所以由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2．(2)法一　因为由得q＝，从而a1＝32，又因为an＝1，所以32×＝1．即26－n＝20，所以n＝6．法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝．由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32．由an＝a1qn－1＝1，知n＝6．1．“知三求一”型，等比数列通项公式涉及四个量a1，n，q，an，已知其中的三个可以求出第4个，其中a1与q是基本量．2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)通性通法，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)整体代换法，充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．1．在等比数列{an}中，(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．[解]　(1)∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2，∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6．(2)∵an＝a1·qn－1＝625，n＝4，q＝5，∴a1＝＝＝5．(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2．当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{an}的公比q为2或－2，对应的通项公式为an＝2n或an＝(－1)n－12n． 类型2　等比中项及应用【例2】　(1)设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则＋的最小值为(　　)A．8　　　　B．4　　　　C．1　　　　D．(2)已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42．求a5，a7的等比中项．(1)利用等比中项建立等式，再寻找求＋最小值的方法．(2)按等比数列基本量的运算确定a5，a7后，这两项的等比中项也就确定了．(1)B　[因为是5a与5b的等比中项，则()＝5a·5b，所以a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4．](2)[解]　设该等比数列的公比为q，∵∴1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，②÷①得q(1－q)＝⇒q＝，∴a1＝＝＝96．设G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×＝9，∴a5，a7的等比中项是±3．等比中项的三个功能(1)求等比中项，任何两个同号的实数a，b的等比中项为±；异号两数没有等比中项．(2)建立等量关系式，a，b，c成等比数列⇒b2＝ac．(3)证明数列为等比数列，若在数列{an}(an≠0)中，anan＋2＝a⇔{an}为等比数列．2．(1)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{an}前10项的和为(　　)A．10 B．8C．6 D．－8(2)已知等比数列的前3项依次为x,2x＋2,3x＋3，则实数x的值为________．(1)A　(2)－4　[(1)由题意可得a＝a1a4，即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解之可得a1＝－8，故S10＝－8×10＋×2＝10．－4　根据条件可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1或x＝－4，而当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0，不符合题意，故x＝－4．] 类型3　等比数列的判断与证明【例3】　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．利用an与Sn的关系确定通项an，再用定义加以证明．[解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时，＝＝2；当n＝1时，＝＝．故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．[母题探究]1．(变条件，变结论)将本例中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，(n∈N*)”．(1)证明：数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解]　(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*．因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．(2)由(1)，可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n．2．(变条件)将本例中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．[证明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝an．又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0．又∵由an＋1＝an知an≠0，∴＝，∴{an}是首项为1，公比为的等比数列．1．判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下：(1)定义法：若当n≥1，n∈N*时，＝q(q≠0，q为常数)，则数列{an}为等比数列．(2)等比中项法：若a＝anan＋2(an≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列．(3)通项公式法：若数列{an}的通项an＝cqn(c，q≠0)，则数列{an}为等比数列．2．一般地，若数列{an}满足递推关系式an＝kan－1＋b(k，b∈R，k≠1)，则可构造等比数列，通过该等比数列的通项公式即可求得{an}的通项公式．3．一般地，若数列{an}满足Sn＝kan＋b(k，b∈R，k≠0，且k≠1)，则根据Sn与an的关系可推得{an}是首项为，公比为的等比数列．3．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．求证：数列是等比数列．[证明]　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，所以Sn＋1－Sn＝Sn，所以n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn，所以nSn＋1＝2(n＋1)Sn，所以＝2．因为＝a1＝1≠0，所以≠0(n∈N*)，所以＝2(常数)，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列．1．根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是(　　)A．an＝n B．an＝C．an＝2－n D．an＝log2nC　[只有C具备an＝cqn的形式，故应选C．]2．在等比数列{an}中，已知a5＋a1＝34，a5－a1＝30，则a3＝(　　)A．8 B．－8C．±8 D．16A　[两式相加得a5＝32，两式相减得a1＝2．∴q4＝＝16．∴q2＝4．∴a3＝a1q2＝2×4＝8．故选A．]3．在等比数列{an}中，若a2＋4a3＋4a4＝0，则{an}的公比为(　　)A．－ B．C．－2 D．2A　[设等比数列{an}的公比为q，因为a2＋4a3＋4a4＝0，可得a1q＋4a1q2＋4a1q3＝0，即1＋4q＋4q2＝0，解得q＝－．]4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．4n－1　[由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n－1．]5．在等差数列{an}中，a3＝0，如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________．9　[∵a3＝0，∴ak＝(k－3)d，a6＝3d，ak＋6＝(k＋3)d．由条件知3d×(k＋3)d＝(k－3)2d2解得k＝9，故应填9．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)等比数列的概念中，应从哪几个方面理解？[提示]　①从第2项起，②后项与前项的比，③同一个常数．(2)任何两个实数都有等比中项吗？[提示]　不是，只有同号的两个实数才有等比中项且它们互为相反数．(3)如何判断一个数列为等比数列？[提示]　定义法＝q(q为常数且不为零，n∈N*)⇔{an}为等比数列中项公式法a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列通项公式法an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列(4)等比数列的单调性如何判定？[提示]　①当a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1时，等比数列{an}为递增数列；②当a1＞0,0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}为递减数列；③当q＝1时，数列{an}是常数列；④当q＜0时，数列{an}是摆动数列．