2023新教材高中数学第4章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和公式教师用书新人教A版选择性必修第二册

4.3.2　等比数列的前n项和公式第1课时　等比数列的前n项和公式1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2．会用错位相减法求数列的和．(重点)3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．1．通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模核心素养．2．借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算核心素养．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为最美的数列，斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)．若将数列的每一项按照如图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形围成的扇形面积为cn，请问你用什么方法能求出Sn和cn呢？知识点1　等比数列的前n项和公式　如何选择使用两个求和公式？[提示]　已知首项a1和公比q(q≠1)，项数n，可以使用Sn＝，已知首尾两项a1，an和q(q≠1)，可以使用Sn＝．1．若等比数列{an}中，a1＝1，S3＝3，求公比q．[解]　若q＝1时，S3＝3a1＝3符合．若q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3．解得q＝－2．故公比q的值为1或－2．知识点2　错位相减法推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．2．已知数列{an}的通项公式为an＝n·2n，则其前n项和Sn＝________．(n－1)·2n＋1＋2　[由an＝n·2n，得Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①2Sn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，②①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2．] 类型1　等比数列基本量的运算【例1】　在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q．[解]　(1)由题意知解得或从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝．(2)法一　由题意知解得从而S5＝＝．法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝．又因为a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝＝．(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而或又因为Sn＝＝126，所以q＝2或q＝．1．“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．“值得注意”：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．1．(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝，S6＝，则a2·a4＝(　　)A．4 B．8C．16 D．32(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　)A．11 B．5C．－8 D．－11(1)A　(2)D　[(1)因为S3＝，S6＝，即S6≠2S3，所以q≠1，所以两式相除可得＝，所以q3＝8，即q＝2，a1＝，则a2·a4＝aq4＝×24＝4．故选A．(2)在等比数列{an}中，设首项为a1，公比为q．由已知得q＝1不成立，因此q≠1．由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，即a1q·(8＋q3)＝0，由等比数列的性质知q＝－2，所以＝＝＝－11，故选D．] 类型2　错位相减法【例2】　设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn．(1)可用基本运算，解方程组的方法求an和bn．(2)尝试用错位相减法求和．[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则q>0．由题意，得解得 故an＝2＋2＝2n，bn＝2·2n－1＝2n．(2)令cn＝anbn＝n·2n，所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1，两式相减得－Sn＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2．[母题探究]1．(变条件)把本例(2)中的“”改为“”，求该数列前n项和Sn′．[解]　令cn＝＝＝，∴Sn′＝＋＋＋…＋，①∴Sn′＝＋＋…＋＋，②∴由①－②，得Sn′＝－＝－＝1－－，∴Sn′＝2－－．2．(变条件)把本例(2)中的“”改为“”，求该数列的前n项和Tn．[解]　∵bn＝2n，∴前n项和Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－1)×．∴Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，两式相减得Tn＝1×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝＋×－(2n－1)×＝－－，∴Tn＝3－－＝3－．错位相减法的适用条件及注意事项(1)适用条件：若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法．(2)注意事项：若公比为字母，则需对其进行分类讨论．2．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn－1．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．[解]　(1)∵an＝Sn＝n2＋n，∴an＝当n＝1时也满足an＝2n，∴数列{an}的通项公式为an＝2n．(2)由(1)及题意，得cn＝2nxn－1，∴Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋…＋2nxn－1，　①则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x4＋…＋2nxn．　②由①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋…＋2xn－1－2nxn．当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－2nxn，∴Tn＝；当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n． 类型3　等比数列前n项和公式的实际应用【例3】　小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款……购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少？列出第k个月末付款后的欠款本利或第k个月时的已付款及利息，尝试用等比数列前n项和解决．[解]　法一　设小华每期付款x元，第k(k取2,4,6,8,10,12)个月末付款后的欠款本利为Ak元，则A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，…A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，解得x＝＝≈880.8．故小华每期付款金额约为880.8元．法二　设小华每期付款x元，到第k(k取2,4,6,8,10,12)个月时已付款及利息为Ak元，则A2＝x，A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)，A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)，…A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．∵年底付清欠款，∴A12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，∴x＝≈880.8．故小华每期付款金额约为880.8元．分期付款问题的求解策略分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题，此类题目的特点是：每期付款数相同，且每期间距相同．解决这类问题通常有两种处理方法，一是按欠款数计算，由最后欠款为0列出方程求解；二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解．3．某人在年初用16万元购买了一辆车，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？[解]　余款10万元6年的本利和是105×(1＋0.1)6＝105×1.16．设每年年底应支付款为a元，支付6次的本利和应是a＋a(1＋0.1)＋a(1＋0.1)2＋…＋a(1＋0.1)5＝a·＝10a(1.16－1)．由105×1.16＝10a(1.16－1)得a＝≈22 961(元)．∴每年年底应支付22 961元．1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　)A．93 B．－93C．45 D．－45A　[S5＝＝＝93．]2．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，a1＝5，S5＝55，则公比q等于(　　)A．4 B．2C．－2 D．－2或4C　[∵a1＝5，S5＝55≠5×5，∴S5＝＝55，∴1－q5＝11(1－q)，解得q＝－2．]3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　)A．(2n－1)2 B．(2n－1)C．4n－1 D．(4n－1)D　[∵Sn＝2n－1，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝21－1＝21－1，故an＝2n－1，a＝4n－1．∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．]4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，a3＝5，则公比q的值为(　　)A．－ B．1C．－或1  　 D．或1C　[由题设知：S3＝a1＋a2＋a3＝15，又a3＝5，故a1＋a2＝10，∴a1(1＋q)＝10，而a1q2＝5，即1＋q＝2q2，解得q＝－或q＝1．]5．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%． 这个热气球上升的高度能超过125 m吗？________(填“能”或“不能”)不能　[用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125．故这个热气球上升的高度不可能超过125 m．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)如何使用等比数列前n项和公式求和？[提示]　①等比数列{an}前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．②q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn－1可以实现它们之间的相互转化．当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便．(2)等比数列前n项和公式是如何推导的？[提示]　一般地，等比数列{an}的前n项和可写为Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①用公比q乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得Sn＝(q≠1)．(3)错位相减法的适用情形及注意事项分别是什么？[提示]　①适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．②注意事项：(i)利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．(ii)利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．神奇的斐波那契数列与黄金分割“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨)．1202年，他撰写了《珠算原理》一书．他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人．他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学．他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学．一、斐波那契数列及其特点斐波那契数列通项公式：斐波那契数列指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…菲波纳契数列既谓神奇数字，上述数字自有神奇之处，其特点包括：1．从第三项起，任何一个数字均是其前两个数字的和数，例如1＋1＝2；1＋2＝3；2＋3＝5；3＋5＝8；5＋8＝13；8＋13＝21；13＋21＝34等．2．任何两个相隔的数字彼此顺序相除或倒转相除，所得数字分别接近0.382及2.618．接近0.382比率，例如：8÷21≈0.381；13÷34≈0.382；21÷55≈0.382等．接近2.618比率，例如：21÷8＝2.625；34÷13≈2.615；55÷21≈2.619等．3．除首四个数字(1,1,2,3)外，两个相邻数字彼此相除，所得数字分别接近0.618及1.618比率．接近0.618比率，例如：5÷8＝0.625；8÷13≈0.615；13÷21≈0.619等．接近1.618比率，例如：8÷5＝1.6；13÷8＝1.625；21÷13≈1.615等．二、斐波那契数列与黄金分割数值的密切联系以及在自然界的神奇应用随着数列项数的增加，斐波那契数列前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.618 033 988 7…(黄金分割是指把一线段分为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点．两个这样的点，约等于0.618∶1)黄金分割与人类的演化和人体正常发育密切相关．人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618，近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”(物体短段与长段之比值为0.618)，12个“黄金矩形”(宽与长比值为0.618的长方形)和2个“黄金指数”(两物体间的比例关系为0.618)．例如肚脐是头顶—足底之分割点；咽喉是头顶—肚脐之分割点；膝关节是肚脐—足底之分割点；肘关节是肩关节—中指尖之分割点等等．神奇的0.618黄金分割律，与我们的生活息息相关，也是中老年人养生长寿的密码．最佳睡眠时间：从子时到午时共12小时，乘0.618，约为7.5小时．黄金分割是我们在生活中接触得比较多的数学美学问题，有了它生活的色彩就更显多彩：建筑师们早就懂得使用黄金分割比了．在公元前3000年建成的埃及法老胡夫的金字塔和公元前432年建成的雅典帕特农神庙就采用了这个神奇之比，因此它的整个结构以及它与外界的配合是那样的和谐美观．我们现在的窗户大小，一般都按黄金分割比制成．在艺术领域里更是神奇．众所周知的维纳斯女神像，她优美的身段可说是完美无缺，而她上下身的比正是黄金分割比．芭蕾舞演员顶起脚尖，正是为了使人体的上下身之比更符合黄金比．在1483年左右完成的“圣久劳姆”画，作画的外框长方形也符合这个出色的黄金分割比．像二胡，提琴这样的弦乐器，当乐师们把它们的码子放在黄金分割比的分点上时，乐器发出的声音是最动人美丽的．