2023新教材高中数学第4章数列4.4数学归纳法教师用书新人教A版选择性必修第二册

4.4*　数学归纳法1．了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)1．通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象核心素养．2．通过数学归纳法的应用，培养逻辑推理核心素养．一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第一张，而且后续的每一张倒下时，能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下．保证每张骨牌倒下的原因有哪些？由此如何理解数学归纳法的原理．知识点1　数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法称为数学归纳法．数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?[提示]　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3．知识点2　数学归纳法的框图表示思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可． (　　)(2)数学归纳法证明3n≥n2(n≥3，n∈N*)，第一步验证n＝3． (　　)(3)设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1＝＋＋＋…＋．               (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×[提示]　(1)数学归纳法两个步骤缺一不可，(3)中，Sk＋1＝＋＋…＋＋＋． 类型1　用数学归纳法证明等式【例1】　(1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．(2)用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*)．(1)2(2k＋1)　[令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1) (k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．](2)[证明]　 ①当n＝1时，＝成立．②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝，即当n＝k＋1时等式也成立．由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立．用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况．(2)弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项．(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．1．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1．[证明]　①当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1，那么，当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)＝(－1)k·，所以当n＝k＋1时，等式也成立，由①②知，对任意n∈N*，都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1． 类型2　归纳—猜想—证明【例2】　已知数列，，，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．[解]　S1＝ ＝；S2＝ ＋ ＝；S3＝ ＋ ＝；S4＝ ＋ ＝．可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1．于是可以猜想Sn＝．下面用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝ ＝ ＝，猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即 ＋ ＋ ＋… ＋ ＝，则当n＝k＋1时， ＋ ＋ ＋… ＋＋＝ ＋ ＝ ＝ ＝，所以，当n＝k＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N*都成立．1．“归纳—猜想—证明”的一般环节2．“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n≥2)．求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明．[解]　当n＝2时，S2＝a1＋22＋1，即3＋a2＝8，解得a2＝5；当n＝3时，S3＝a2＋32＋1，即3＋5＋a3＝15，解得a3＝7；当n＝4时，S4＝a3＋42＋1，即3＋5＋7＋a4＝24，解得a4＝9．猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明：当n＝1时，a1＝2×1＋1＝3，猜想成立；假设当n＝k(k∈N*)时， 猜想成立， 即ak＝2k＋1，Sk＝＝k2＋2k，则当n＝k＋1时，Sk＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，∴Sk＋ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，∴ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1－Sk，ak＋1＝2k＋1＋(k＋1)2＋1－(k2＋2k)＝2(k＋1)＋1，所以猜想成立．综上所述， 对于任意n∈N*，an＝2n＋1均成立． 类型3　用数学归纳法证明不等式【例3】　用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．[证明]　(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤  ＋k，则当n＝k＋1时，1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ ．又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．1．用数学归纳法证不等式的关键点用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．2．常用的几点放缩技巧(1)＜n＜(n∈N*，n＞1)；(2)＜＜(n∈N*，n＞1)；(3)＞＝2(－)(k∈N*，k＞1)；(4)＜＝2(－)(k∈N*，k＞1)．3．试用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N*)．[证明]　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－．则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立．由(1)，(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．1．用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须为(　　)A．n∈N* B．n∈N*，n≥2C．n∈N*，n≥3 D．n∈N*，n≥4D　[当n＝1，n＝2，n＝3时，显然不等式不成立，当n＝4时，64>61不等式成立，故用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须满足n≥4，n∈N*，故选D．]2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　)A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3C　[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．]3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是(　　)A．(2k＋1)＋(2k＋2)B．(2k－1)＋(2k＋1)C．(2k＋2)＋(2k＋3)D．(2k＋2)＋(2k＋4)C　[当n＝k时，左边是共有(2k＋1)个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C．]4．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________．＋＋…＋＞－　[从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为－，即不等式为＋＋…＋＞－．]5．用数学归纳法证明f(n)＝＋＋…＋的过程中，f(k＋1)－f(k)＝________．　[依题意f(k)＝＋＋…＋，f(k＋1)＝＋＋…＋＋，所以f(k＋1)－f(k)＝． 故答案为．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)数学归纳法步骤可概括为“三个成立，一个结论”是什么意思？[提示]　“三个成立”是①n＝n0时验证命题成立，②n＝k，k≥n0时假设命题成立；③n＝k＋1时，应用归纳假设证明命题成立．“一个结论”是断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．(2)你认为在应用数学归纳法时应注意哪几点？[提示]　①验证是基础．找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；②递推是关键．正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；③利用假设是核心．在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．(3)与自然数n有关的命题都必须用数学归纳法证明吗？数学归纳法一般用来证明哪几种类型？[提示]　数学归纳法证明的命题都是与自然数n有关的命题，但与自然数n有关的命题不一定都用数学归纳法来证明．数学归纳法证明的命题类型一般有：等式问题、不等式问题、整除问题，几何命题和“归纳—猜想—证明”等类型．