2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题教师用书新人教A版选择性必修第二册

5.1　导数的概念及其意义5.1.1　变化率问题1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念．(易混点)1．通过对函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念的学习，培养数学抽象核心素养．2．通过求平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度，培养逻辑推理及数学运算核心素养．1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10．那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？2．很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球半径增加越来越慢，那么如何描述这种现象呢？知识点1　平均变化率对于函数y＝f(x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝x2－x1．(2)函数值的改变量：Δy＝f(x2)－f(x1)．(3)平均变化率＝＝．1．Δx，Δy以及平均变化率一定为正值吗？[提示]　Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率可正可负可为零．知识点2　瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝ ．1．火箭发射t s后，其高度(单位：m)为h(t)＝0.9t2．那么t＝________ s时火箭的瞬时速度为3.6 m/s．2　[＝＝＝0.9Δt＋1.8t0．当Δt→0时→1.8 t0．即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0，由1.8t0＝3.6得t0＝2．]知识点3　割线斜率与切线斜率(1)割线与切线的关系如图所示，当点Pn(xn，f(xn))沿着曲线无限接近点P(x0，f(x0))时，割线PPn无限趋近于一个确定的位置．这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线．(1)　　　 　　　　　(2)(3)　　　　 　　　　(4)(2)割线与切线的斜率①设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率．②当点P逐渐靠近点P0，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率 就是y＝f(x)在x0处的切线的斜率，即k＝ ．2．曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？[提示]　不一定．二次曲线与其切线有且只有一个公共点，其他曲线与其切线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线．如图．2．过曲线y＝f(x)＝x2图象上一点(2,4)及邻近一点(2＋Δx,4＋Δy)作割线，则当Δx＝时割线的斜率为________，在点(2,4)处的切线斜率为________．　4　[Δx＝时，割线的斜率k1＝＝，在(2,4)处切线斜率k2＝ ＝ (4＋Δx)＝4．] 类型1　求平均变化率【例1】　(1)如图，函数y＝f(x)在[1,5]上的平均变化率为(　　)A． B．－C．2 D．－2(2)函数y＝－2x2＋1在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率为________．(1)B　(2)－4－2Δx　[(1)＝＝＝－．故选B．(2)Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx(2＋Δx)，所以平均变化率为＝＝－4－2Δx．]1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变化率＝．2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式．1．质点的运动规律为s＝t2＋3(t表示时间，s表示位移)，则在时间[3,3＋Δt]中，质点的平均速度等于(　　)A．6＋Δt B．6＋Δt＋C．3＋Δt D．9＋ΔtA　[Δs＝(3＋Δt)2＋3－(32＋3)＝6Δt＋(Δt)2，∴平均速度＝＝6＋Δt．故选A．] 类型2　求瞬时速度【例2】　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．[解]　∵＝＝＝3＋Δt，∴ ＝ (3＋Δt)＝3．∴物体在t＝1 s处的瞬时变化率为3，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s．[母题探究]1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．[解]　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵＝＝＝1＋Δt，∴ (1＋Δt)＝1，即物体的初速度为1 m/s．2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s．[解]　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s．又＝＝2t0＋1＋Δt． ＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1．则2t0＋1＝9，∴t0＝4．则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s．求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))．(2)求平均速度：＝．(3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)．2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．[解]　(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∵Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，∴＝＝3－Δt， ＝ (3－Δt)＝3．∴物体的初速度为3．(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，∴＝＝－1－Δt， ＝ (－1－Δt)＝－1．∴此物体在t＝2时的瞬时速度为－1． 类型3　求函数在某点的切线斜率或方程【例3】　(1)已知函数y＝x－，则该函数在点x＝1处的切线斜率为________．(2)求曲线f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的切线的斜率，并求出切线方程．求切线斜率及方程可按下列顺序进行：求平均变化率→求瞬时变化率即斜率→求出切线方程．(1)2　[∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋1－＝Δx＋，∴＝＝1＋，∴斜率k＝ ＝ ＝1＋1＝2．](2)[解]　显然点P(1,2)在曲线上，所以切线的斜率为k＝ ＝ ＝ ＝ (Δx＋2)＝2．故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x．求函数y＝f(x)在点x0处的切线斜率的三个步骤3．求曲线y＝x2－2x＋2在点(2,2)处的切线方程．[解]　∵Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，∴＝2＋Δx，k＝ (2＋Δx)＝2．即曲线在点(2,2)处的切线斜率为2．∴切线方程为y－2＝2(x－2)，即2x－y－2＝0．1．函数f(x)＝x在区间[0,1]上的平均变化率为(　　)A．－1 B．1C．2 D．－2B　[＝＝1．故选B．]2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　)A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率C　[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]3．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为   (　　)A．6 B．18C．54 D．81B　[由题可得 ＝ ＝ (18＋3Δt)＝18．故选B．]4．设函数f(x)在x＝1处切线斜率为2，则 ＝________．　[根据条件知k＝ ＝2，∴ ＝ ＝．]5．过曲线y＝f(x)＝图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________，在点(2，－2)处的切线斜率为________．　1　[割线的斜率k＝＝＝＝2＝． ＝ ＝ ＝ ＝1，故切线斜率为1．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)你理解的平均速度和瞬时速度有什么区别和联系？[提示]　区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数什么样的实质？[提示]　函数y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．(3)求函数y＝f(x)在x＝x0处的切线方程的步骤是什么？[提示]　①求斜率：k＝ ；②写方程：用点斜式y－f(x0)＝k(x－x0)写出切线方程；③变形式：将点斜式变为一般式．