2023新教材高中数学第6章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用教师用书新人教A版选择性必修第三册

第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用1．进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(重点)2．能根据具体问题的特征，选择两个计数原理解决一些实际问题．(重点、难点)3．会根据实际问题的特征，合理地分类或分步．(难点、易混点)1．借助两个计数原理解题，提升数学运算的素养．2．通过合理地分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养． 类型1　组数问题【例1】　有0，1，2，3，4五个数字．(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？[解]　(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．[母题探究]1．(变设问)由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？[解]　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字，先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理可知共有2×3×3×2＝36(个)．2．(变设问)在本例条件下，能组成多少个能被3整除的无重复数字的四位数？[解]　一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类．所以满足题设的四位数共有3×3×2×1＋3×3×2×1＝36(个)．解决组数问题的方法(1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．[跟进训练]1．由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？[解]　(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)． 类型2　抽取(分配)问题【例2】　高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)A．16种 B．18种C．37种 D．48种C　[高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲，则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C．]求解抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[跟进训练]2．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？[解]　法一：(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择．根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60．法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1，2，3，4，5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1，2)：选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1，3)：选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1，4)：选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10类，每一类都有6种方法．根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝＝60(种)． 类型3　种植与涂色问题角度1　涂色问题1．用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？[提示]　涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理知将A，B，C，D四个区域涂色，共有3×2×2×2＝24种不同方案．2．在问题1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？将四个区域进行涂色，共有多少种不同的涂色方案？[提示]　恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(种)不同的方案．【例3】　将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？[解]　法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)．②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法．法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：第一类，用4种颜色．此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48(种)不同涂法．第二类，用3种颜色．此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24(种)不同涂法．由分类加法计数原理知共有48＋24＝72种不同涂法．角度2　种植问题【例4】　在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共多少种？[解]　将并排的10垄田地从左到右编号为1到10号．由于A，B两种作物的间隔不小于6垄，依据题意知也不大于8垄，运用分类讨论的思想，根据两种作物的左右及间隔进行讨论．当A种在B左边时(括号内为田垄的序号)，①间隔6垄时，(1，8)，(2，9)，(3，10)；②间隔7垄时，(1，9)，(2，10)；③间隔8垄时，(1，10)．上述共有6种选垄方法．当B种在A左边时，同理也有6种选垄方法，综上所述，总的选垄方法数为6＋6＝12(种)．解决涂色(种植)问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析；(3)将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数．[跟进训练]3．(1)如图所示，有A，B，C，D四地，其中B与A，C，D相邻，且A，C，D互不相邻，要求相邻两地涂不同色，现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法有________种．(2)小张计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．(1)320　(2)48　[(1)由题意知本题是一个分步乘法计数问题，首先涂A，有5种结果，再涂B，有4种结果，然后涂C，有4种结果，再涂D有4种结果，即5×4×4×4＝320(种)不同的涂色方法．(2)当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24(种)不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24(种)不同的种法，故共有48种不同的种植方案．]1．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　)A．6种 B．7种C．8种 D．9种D　[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6(种)；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．]2．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　　)A．2 B．4C．6 D．8D　[第一类，公差大于0，有①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5，共4个等差数列；第二类，公差小于0，也有4个．根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8(个)不同的等差数列．]3．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)A．24种 B．30种C．36种 D．48种D　[由题意知本题是一个分步计数问题，需要先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，再给中间右边一块着色有2种结果，最后给下面一块着色，有2种结果，根据分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种)结果．]4．将3封不同的信件投到4个不同的邮箱中，则不同的投法种数为________．64　[第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4种投法，第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法，同理第三封也有4种投法，由分步乘法计数原理知不同的投法种数为4×4×4＝64．]5．将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种．42　[从左往右5块试验田分别有3，2，2，2，2种种植方法，共有3×2×2×2×2＝48(种)方法，其中5块试验田只种植2种作物共有3×2×1×1×1＝6(种)方法，所以有48－6＝42(种)不同的种植方法．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．选用分步乘法计数原理的依据是什么？[提示]　当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有所有步都完成后，这件事才完成，此时就采用分步乘法计数原理．2．解决较复杂的计数问题应注意什么？[提示]　解决较复杂的计数问题一般要用两个计数原理，需注意合理分类，准确分步．分类标准要明确，做到不重不漏，分步要步步独立，步骤完整．