2023新教材高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合6.2.4组合数第1课时组合与组合数公式教师用书新人教A版选择性必修第三册

6.2.3　组合6.2.4　组合数第1课时　组合与组合数公式1．通过实例理解组合的概念．(重点)2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点)3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)1．通过学习组合与组合数的概念，提升数学抽象素养．2．借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算素养．“校园歌手大赛”是某校的特色文化活动之一，它为同学们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台，同时也给同学们出了一道数学题．比较下列两个问题并发现它们之间的关系．(1)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，且其中一名参加流行组，一名参加民歌组，共有几种不同的报名结果？(2)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，共有几种不同的报名结果？知识点1　组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．1．怎样理解组合，它与排列有何区别？[提示]　(1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．1．(多选题)下列选项是组合问题的是(　　)A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法D．3本相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法BD　[AC与顺序有关，是排列问题，BD与顺序无关，是组合问题．]知识点2　组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．2．如何理解组合与组合数这两个概念？[提示]　同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3．2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数为________．3　[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同．所以共有甲↔乙，甲↔丙，乙↔丙三种票价．]知识点3　组合数公式及其性质(1)公式：C＝＝．(2)性质：C＝C，C＋C＝C．(3)规定：C＝1．3．(1)C＝________；(2)C＝________．(1)15　(2)18　[(1)C＝＝15．(2)C＝C＝18．] 类型1　组合的概念【例1】　(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：①设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？③2022年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？(2)(对接教材P22例5)已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．[解]　(1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．判断一个问题是不是组合问题的方法技巧(1)区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题．(2)写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来．[跟进训练]1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．[解]　(1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．(2)可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd． 类型2　组合数公式的计算与应用【例2】　(1)式子可表示为(　　)A．A B．CC．101C D．101C(2)计算：C＋C．(3)求证：C＝C．(1)D　[分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，故＝101·＝101C．](2)[解]　由组合数定义知：所以4≤n≤5，又因为n∈N*，所以n＝4或5．当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5；当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16．(3)[证明]　∵右边＝C＝·＝＝C，左边＝C，∴左边＝右边，∴原式成立．[母题探究]1．(变条件，变设问)将例(2)改为若A＝6C，求m．[解]　因为A＝6C，所以m(m－1)(m－2)＝6·，所以m－3＝4，m＝7．2．(变设问)将例(3)改为证明C＝C．[证明]　右边＝C＝·＝＝C，左边＝C ，所以左边＝右边，所以原式成立．关于组合数计算公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算．[跟进训练]2．(1)计算：C＋C；(2)求等式＝中的n值． [解]　(1)由组合数的意义可得即∴≤n≤．∵n∈N*，∴n＝10，∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466．(2)原方程可变形为＋1＝，C＝C，即＝·，化简整理，得n2－3n－54＝0．解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求． 类型3　组合数的两个性质【例3】　C＋C＋C＋…＋C＝__________．(用数字作答)220　[C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＝220．][母题探究]1．将本例改为C＋C＋C＋C＝________．210　[C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210．]2．将本例改为“C＋C＋C＋…＋C”则结果如何？[解]　C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋…＋C－1＝…＝C＋C－1＝C－1．组合数公式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．组合数公式C的主要作用有：1计算m，n较大时的组合数．2对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．特别地，当m>时计算C，用性质C＝C转化，减少计算量．[跟进训练]3．(1)化简：C－C＋C＝________；(2)已知C－C＝C，求n的值．(1)0　[原式＝(C＋C)－C＝C－C＝0．](2)[解]　根据题意，C－C＝C，变形可得C＝C＋C，由组合数的性质，可得C＝C，故8＋7＝n＋1，解得n＝14．1．若C＝C，则x的值为(　　)A．4 B．3C．3或4 D．7C　[由组合数性质知x＝4或x＋4＝7，即x＝4或x＝3．]2．计算：C＋C＝(　　)A．8 B．10C．12 D．16B　[C＋C＝＋4＝6＋4＝10．]3．C＝10，则n的值为________．5　[由题意知＝10，解得n＝5或n＝－4(舍去)．]4．计算C＋C＋C＝________．120　[C＋C＋C＝C＋C＝C＝＝120．]5．C＋C＝________．31　[由题意及组合数公式知解得n＝6．所以原式＝C＋C＝C＋C＝12＋19＝31．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．写出本节课学习的公式．[提示]　①C＝＝；②C＝1；③C＝C；④C＋C＝C．2．区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？[提示]　关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．3．写组合时可采取什么方法？[提示]　可采用“顺序后移法”或“树形图法”．