2023新教材高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合6.2.4组合数第2课时组合的综合应用教师用书新人教A版选择性必修第三册

第2课时　组合的综合应用1．学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)2．能解决无限制条件的组合问题．(难点)通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养． 类型1　简单的组合问题【例1】　(1)某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有________种．(2)从4名男生，3名女生中选出3名代表．①不同的选法共有多少种？②至少有一名女生的不同的选法共有多少种？③代表中男、女都要有的不同的选法共有多少种？(1)100　[需分两步：第一步，根据经纪人的推荐在6种股票中选3种，共有C种选法；第二步，根据经纪人的推荐在5种债券中选4种，共有C种选法．根据分步乘法计数原理，此人有C·C＝100种不同的投资方式．](2)[解]　①即从7名学生中选出三名代表，共有选法C＝35(种)．②至少有一名女生的不同选法共有CC＋CC＋C＝31(种)[或C－C＝31(种)]．③男、女生都要有的不同的选法共有C－C－C＝30(种)(或CC＋CC＝30(种))．[母题探究](变设问)将本例(2)改为“从4名男生，3名女生中选出3名代表，其中男生甲必须被选入，共有多少种选法？”[解]　男生甲被选入，再从剩余的6名中任意选取两名即可，所以不同的选法共有C＝15种．解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关，只要元素相同即可．(2)要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用．提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．[跟进训练]1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？[解]　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45(种)．(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2 名是女教师有C种方法，即C＋C＝21(种)． 类型2　有限制条件的组合问题【例2】　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．[解]　(1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825(种)(或采用排除法有C－C＝825种)．(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966(种)．(3)分两种情况：第一类：女队长当选，有C种；第二类：女队长不当选，则男队长当选，有C·C＋C·C＋C·C＋C种．故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种)．[母题探究](变设问)在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？[解]　分两类情况：第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人，有C＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C＋C＝660种选法．所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122(种)．有限制条件的组合问题主要有两类(1)“含”与“不含”问题，常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．(2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路．一是直接分类法，但注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．[跟进训练]2．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．按下列要求各有多少种不同的选法？(1)选出男、女教师各2名去参加会议；(2)选出2名教师去参加会议，恰有1名男教师；(3)选出2名教师参加会议，至少有1名男教师；(4)选出2名教师参加会议，至多有1名男教师．[解]　(1)可把问题分两步：第一步，从6名男教师中选2名有C种选法；第二步，从4名女教师中选2名有C种选法．根据分步乘法计数原理，共有CC＝15×6＝90(种)不同选法．(2)2名教师中恰有1名男教师，则选出1男1女，有CC＝6×4＝24(种)不同选法．(3)(直接法)至少有1名男教师可分两类：1男1女有CC种选法，2男0女有C种选法．根据分类加法计数原理，共有CC＋C＝39(种)不同选法．(间接法)选出2名教师参加会议，至少有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师参加会议的选法种数减去2名都是女教师的选法种数，即C－C＝39(种)．(4)(直接法)至多有1名男教师包括两类：1男1女有CC种选法，0男2女有C种选法．由分类加法计数原理，有CC＋C＝30(种)选法．(间接法)选出2名教师参加会议，至多有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师参加会议的选法种数减去2名都是男教师的选法种数，即C－C＝30(种)． 类型3　几何中的组合问题【例3】　(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有(　　)A．30种 B．33种C．36种 D．39种(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有(　　)A．150种 B．147种C．144种 D．141种(1)B　(2)D　[(1)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法；含顶点A的三条棱上都各有3个点，它们与对棱的中点共面，此时共有3种取法．故与顶点A共面的3个点的取法共有3C＋3＝33(种)．(2)从10个点中取出4个点的取法有C种，除去四点共面的取法种数可以得到结果．①从四面体同一个面上的6个点取4个点必定共面，有4C＝60(种)；②四面体的每一条棱上的3个点与对棱的中点共面，共有6种共面情况；③从6条棱的中点中取4个点时，有3种共面情况．故4点不共面的取法有C－(60＋6＋3)＝141(种)．]解答几何组合问题的策略(1)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．(2)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．[跟进训练]3．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？[解]　法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准．第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48(个)不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112(个)不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56(个)不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．法二：从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4(种)．故这12个点能构成三角形的个数为C－C＝216(个)． 类型4　分组(分配)问题1．把3个相同的苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？[提示]　共1种分法．因为三堆无差异．2．若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？[提示]　共有A＝3×2×1＝6(种)分法．【例4】　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．[思路点拨]　(1)是“平均分组”问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取．(2)是“均匀分组”问题．(3)是“不均匀分组”问题，分三步进行．(4)分组后再分配．(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．[解]　(1)根据分步乘法计数原理得到：CCC＝90(种)．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种分法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种分法．根据分步乘法计数原理可得：CCC＝xA，所以x＝＝15．因此分为三份，每份两本一共有15种分法．(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60(种)分法．(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种分法．(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”，即(1)中的分配情况，有CCC＝90种分法；②“1、2、3型”，即(4)中的分配情况，有CC5CA＝360种分法；③“1、1、4型”，有CA＝90种分法．所以一共有90＋360＋90＝540种分法．分组与分配问题的求解策略(1)分清是分组问题还是分配问题很必要，而判断是分组问题还是分配问题的关键是看是否有分配对象．若没有分配对象，则为分组问题；若有分配对象，则为分配问题；若有确定的分配对象，即为定向分配问题．反之，则为不定向分配问题．(2)分组问题属于“组合”问题，常见的三种分组问题①完全均匀分组，每组的元素个数均相等．②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！．③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．[跟进训练]4．8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？(用式子表示)(1)平均分成四份；(2)平均分给甲、乙、丙、丁四人；(3)分成三份，一份4张，一份2张，一份2张；(4)分给甲、乙、丙三人，甲4张，乙2张，丙2张；(5)分给三人，一人4张，一人2张，一人2张；(6)分成三份，一份1张，一份2张，一份5张；(7)分给甲、乙、丙三人，甲得1张，乙得2张，丙得5张；(8)分给甲、乙、丙三人，一人1张，一人2张，一人5张．[解]　(1)本题属平均分组问题，是组合问题，与顺序无关，有种不同分法．(2)法一：本题为平均分组，并且有分配对象，先分组，与顺序无关，有种分法，再分配给四个人，与顺序有关，有A种排列方法，共有A种不同的分配方法，所以有CCCC种分法．法二：①甲从8张邮票中取2张有C种取法；②乙从余下的6张中取2张有C种取法；③丙从余下的4张中取2张有C种取法；④丁从余下的2张中取2张有C种取法．所以根据分步乘法计数原理知不同分法数为CCCC．(3)属部分平均分组问题，与顺序无关，有C种不同分法．(4)属部分平均定向分配问题，先分组，再分配，与顺序有关，有CA＝CCC(种)不同分法．(5)属部分平均不定向分配问题，先分组，再分配，与顺序有关，有A种不同分法．(6)属非平均分组问题，仅仅分组，与顺序无关，是组合问题，共有CCC种不同的分法．(7)属非平均定向分配问题，先分组，再分配，但是定向分配不涉及排序，所以共有CCC种不同的分法．(8)属非平均不定向分配问题，先分组，再分配，与顺序有关，需排列，共有CCCA种不同的分法．1．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　　)A．A种 B．45种C．54种 D．C种D　[由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有C种．]2．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为(　　)A．720 B．360C．240 D．120D　[确定三角形的个数为C＝120．]3．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有(　　)A．27种 B．24种C．21种 D．18种C　[分两类：一类是2个白球，有C＝15种取法，另一类是2个黑球，有C＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．]4．编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有______种．10　[四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C＝10．]5．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是________．2 100　[按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC＝2 100(种)抽法．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．解决有限制条件的组合问题常用方法有哪些？[提示]　直接法、间接法．2．解决有限制条件的组合问题的原则是什么？[提示]　先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．3．“分组”问题与“分配”问题是一回事吗？[提示]　不是一回事，分组属于组合问题，分配属于排列问题．