2023新教材高中数学第6章计数原理6.3二项式定理6.3.1二项式定理教师用书新人教A版选择性必修第三册

6.3　二项式定理6.3.1　二项式定理1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．2．掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点)3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(重点、难点)1．通过二项式定理的学习，提升逻辑推理素养．2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算素养．观察以下各式：(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，…它们的系数之间有何规律？各项系数与我们学过的组合数有何联系？那么(a＋b)n的展开式又是什么？知识点1　二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．  (　　)(2)在二项式定理公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　)(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　)(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C等于(　　)A．2n B．2n－1C．3n D．1C　[原式＝(2＋1)n＝3n．]知识点2　二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk．1．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？[提示]　二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？[提示]　不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak．3．(1)(1－x)10展开式中x3项的系数为(　　)A．－720 B．720C．120 D．－120(2)(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为______，第3项的二项式系数为________．(1)D　(2)40　10　[(1)C(－x)3＝－120x3．(2)∵T3＝C(2x)2＝C22x2＝40x2，∴第3项的系数为40，第3项的二项式系数为C＝10．] 类型1　二项式的展开式【例1】　(1)求4的展开式；(2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋5(x－2)．[解]　(1)法一：＝C(3)4＋C·(3)3＋C(3)2＋C(3)＋C＝81x2＋108x＋54＋＋．法二：＝＝(1＋3x)4＝[1＋C(3x)＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2．(2)原式＝C(x－2)5＋C(x－2)4＋C(x－2)3＋C(x－2)2＋C(x－2)1＋C(x－2)0－1＝[(x－2)＋1]5－1＝(x－1)5－1．[母题探究]将本例(1)改为求的展开式．[解]　原式＝C(3)4＋C(3)3＋C(3)2＋C(3)＋C·(3)0·＝81x2－108x＋54－＋．求二项展开式的常见思路(1)简单的二项式问题，直接运用二项式定理展开．(2)较复杂的二项式问题，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．提醒：如(a－b)n含负号的二项展开式中会出现正、负间隔的情况．[跟进训练]1．(1)用二项式定理展开；(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC．[解]　(1)法一：＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)3＋C(2x)2·＋C(2x)·＋C＝32x5－120x2＋－＋－．法二：＝＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2·(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5]＝·(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243)＝32x5－120x2＋－＋－．(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C·(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn． 类型2　求展开式中的特定项【例2】　已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162．(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．[解]　(1)因为T3＝C()n－2＝4Cx，T2＝C()n－1＝－2Cx，依题意，得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，所以n2＝81，n＝9．(2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝C()9－k＝(－2)kCx，所以＝3，k＝1，所以第二项为含x3的项，T2＝－2Cx3＝－18x3．二项式系数为C＝9．[母题探究]1．(变设问)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的常数项．[解]　通项公式为Tk＋1＝(－2)kCx．由＝0得k＝3．∴展开式中的常数项为(－2)3C＝－672．2．(变设问)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的所有有理项．[解]　由题意可得故k可取1，3，5，7，9．故二项展开式的所有有理项为T2＝(－2)Cx3＝－18x3；T4＝(－2)3Cx0＝－672；T6＝(－2)5Cx－3＝－4 032x－3；T8＝(－2)7Cx－6＝－4 608x－6；T10＝(－2)9Cx－9＝－512x－9．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[跟进训练]2．在的展开式中，含x－2的项的二项式系数为________．1　[由题意可知：Tr＋1＝Cx(3x－)r＝3rCx，r∈{0，1，2，3，4，5，6}，令3－r＝－2，解得r＝6，所以含x－2的项的二项式系数为C＝1．]3．在二项式(n≥2，n∈N*)的展开式中，前3项的系数和为49．(1)求正整数n的值；(2)求出展开式中常数项．[解]　(1)依题意，的通项公式为Tk＋1＝C()n－k·＝(－2)kCx·x－k＝(－2)kCx(k＝0，1，…，n)，则前3项系数和1－2C＋4C＝49⇒1－2n＋2n(n－1)＝49⇒n＝6或n＝－4(舍)，故n＝6．(2)由(1)可知：Tk＋1＝(－2)k·C·x，令＝0⇒k＝2，即常数项为T3＝(－2)2C＝60． 类型3　二项式定理的灵活应用【例3】　(1)＋的展开式中的常数项为(　　)A．32 B．34C．36 D．38(2)(x＋y)(2x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)A．80 B．120C．240 D．320(1)D　(2)B　[(1)的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x3)4－r＝(－2)rCx12－4r，令12－4r＝0，可得r＝3，所以的展开式的常数项为(－2)3C＝－32，的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx8－k·＝Cx8－2k，令8－2k＝0，可得k＝4，所以的展开式的常数项为C＝70，所以＋的展开式中的常数项为－32＋70＝38．(2)∵(x＋y)(2x＋y)5＝(x＋y)(32x5＋80x4y＋80x3y2＋40x2y3＋10xy4＋y5)，故展开式中x3y3的系数40＋80＝120．]1．两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．(3)分别求解再相乘，求和即得．2．三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．[跟进训练]4．(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________；(2)(x2＋2)的展开式中的常数项为________．(1)3　(2)－25　[(1)由已知得(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4．故(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系数之和为4a＋4a＋1＋6＋1＝32，解得a＝3．(2)的通项为Tr＋1＝Cx6－r·＝(－1)r·C·x6－2r，则(x2＋2)的展开式的常数项须6－2r＝0或者6－2r＝－2，所以r＝3或r＝4，常数项为(－1)4C＋2×(－1)3·C＝15－40＝－25．]1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得(　　)A．(x－1)4 B．x4C．(x＋1)4 D．x5B　[原式＝[(x－1)＋1]4＝x4．]2．展开式中含x4项的系数是(　　)A．40 B．10C．－40 D．－10A　[根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr＋1＝C·(x2)5－r·＝C·(－2)r·x10－3r，要求x4的项的系数，∴10－3r＝4，∴r＝2，∴x4的项的系数是(－2)2·C＝40．]3．在的展开式中，中间项是________．－160x3　[由n＝6知中间一项是第4项，因为T4＝C(2x2)3·＝C·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3．]4．在的展开式中常数项是________．7　[Tk＋1＝C··＝(－1)k·C··x，当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C·＝7．]5．在的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．84　－　[Tk＋1＝C·(x2)9－k·＝·C·x18－3k，当k＝3时，T4＝·C·x9＝－x9，所以第4项的二项式系数为C＝84，项的系数为－．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出本节课所学的公式吗？[提示]　①二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn．②二项展开式的通项：第k＋1项Tk＋1＝Can－kbk．2．你能写出(a－b)n的展开式的通项吗？[提示]　Tk＋1＝(－1)kCan－kbk．3．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同吗？第k＋1项相同吗？[提示]　展开式相同，第k＋1项不同．(a＋b)n的展开式第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk，而(b＋a)n的展开式第k＋1项为Tk＋1＝Cbn－kak．